Filtro de paso bajo

Un filtro de paso bajo es un filtro que permite el paso de señales con una frecuencia inferior a una frecuencia de corte seleccionada y atenúa las señales con frecuencias superiores a dicha frecuencia. La respuesta en frecuencia exacta del filtro depende de su diseño . En aplicaciones de audio, a veces se le denomina filtro de corte de agudos o filtro de corte de agudos . Un filtro de paso bajo es el complemento de un filtro de paso alto .

En óptica, los términos paso alto y paso bajo pueden tener significados diferentes, dependiendo de si se refieren a la frecuencia o a la longitud de onda de la luz, ya que estas variables están inversamente relacionadas. Los filtros de frecuencia paso alto funcionarían como filtros de longitud de onda paso bajo, y viceversa. Por esta razón, es una buena práctica referirse a los filtros de longitud de onda como paso corto y paso largo para evitar confusiones, que corresponderían a las frecuencias de paso alto y paso bajo . ^{[ 1 ]}

Los filtros de paso bajo existen en diversas formas, incluyendo circuitos electrónicos como el filtro de siseo utilizado en audio , filtros anti-aliasing para acondicionar señales antes de la conversión analógica-digital , filtros digitales para suavizar conjuntos de datos, barreras acústicas, desenfoque de imágenes, etc. La operación de promedio móvil utilizada en campos como las finanzas es un tipo particular de filtro de paso bajo y puede analizarse con las mismas técnicas de procesamiento de señales que se utilizan para otros filtros de paso bajo. Los filtros de paso bajo proporcionan una forma más suave de una señal, eliminando las fluctuaciones a corto plazo y conservando la tendencia a largo plazo.

Los diseñadores de filtros suelen usar el filtro paso bajo como prototipo . Se trata de un filtro con ancho de banda e impedancia unitarios. El filtro deseado se obtiene a partir del prototipo escalándolo para obtener el ancho de banda y la impedancia deseados y transformándolo en la forma de banda deseada (es decir, paso bajo, paso alto, paso banda o rechazo de banda ).

Ejemplos

Ejemplos de filtros de paso bajo se encuentran en la acústica , la óptica y la electrónica .

Una barrera física rígida tiende a reflejar las frecuencias sonoras más altas, actuando como un filtro acústico de paso bajo para la transmisión del sonido. Cuando suena música en otra habitación, las notas graves se oyen con claridad, mientras que las agudas se atenúan.

Un filtro óptico con la misma función puede denominarse correctamente filtro de paso bajo, pero convencionalmente se le llama filtro de paso largo (la baja frecuencia corresponde a la longitud de onda larga), para evitar confusiones. ^{[ 1 ]}

En un filtro electrónico RC de paso bajo para señales de voltaje, las altas frecuencias de la señal de entrada se atenúan, pero la atenuación por debajo de la frecuencia de corte, determinada por su constante de tiempo RC , es mínima. Para señales de corriente, un circuito similar, que utiliza una resistencia y un condensador en paralelo , funciona de manera parecida. (Véase el divisor de corriente, que se describe con más detalle más adelante ).

Los filtros electrónicos de paso bajo se utilizan en las entradas de subwoofers y otros tipos de altavoces para bloquear los tonos agudos que no pueden reproducir con eficacia. Los transmisores de radio utilizan filtros de paso bajo para bloquear las emisiones armónicas que podrían interferir con otras comunicaciones. El control de tono de muchas guitarras eléctricas es un filtro de paso bajo que se utiliza para reducir la cantidad de agudos en el sonido. Un integrador es otro filtro de paso bajo de constante de tiempo . ^{[ 2 ]}

Las líneas telefónicas equipadas con divisores DSL utilizan filtros de paso bajo para separar las señales DSL de las POTS (y de paso alto viceversa), que comparten el mismo par de cables ( canal de transmisión ). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Los filtros de paso bajo también desempeñan un papel importante en la configuración del sonido creado por los sintetizadores analógicos y virtuales . Véase síntesis sustractiva .

Se utiliza un filtro de paso bajo como filtro anti-aliasing antes del muestreo y para la reconstrucción en la conversión digital-analógica .

Filtros ideales y reales

Respuesta en frecuencia de ganancia-magnitud de un filtro paso bajo de primer orden (un polo). La *ganancia de potencia* se muestra en decibelios (es decir, una disminución de 3 dB refleja una ganancia adicional). ${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$ atenuación). La frecuencia angular se muestra en una escala logarítmica en unidades de radianes por segundo.

An ideal low-pass filter completely eliminates all frequencies above the cutoff frequency while passing those below unchanged; its frequency response is a rectangular function and is a brick-wall filter. The transition region present in practical filters does not exist in an ideal filter. An ideal low-pass filter can be realized mathematically (theoretically) by multiplying a signal by the rectangular function in the frequency domain or, equivalently, convolution with its impulse response, a sinc function, in the time domain.

However, the ideal filter is impossible to realize without also having signals of infinite extent in time, and so generally needs to be approximated for real ongoing signals, because the sinc function's support region extends to all past and future times. The filter would therefore need to have infinite delay, or knowledge of the infinite future and past, to perform the convolution. It is effectively realizable for pre-recorded digital signals by assuming extensions of zero into the past and future, or, more typically, by making the signal repetitive and using Fourier analysis.

Real filters for real-time applications approximate the ideal filter by truncating and windowing the infinite impulse response to make a finite impulse response; applying that filter requires delaying the signal for a moderate period of time, allowing the computation to "see" a little bit into the future. This delay is manifested as phase shift. Greater accuracy in approximation requires a longer delay.

Truncating an ideal low-pass filter result in ringing artifacts via the Gibbs phenomenon, which can be reduced or worsened by the choice of windowing function. Design and choice of real filters involves understanding and minimizing these artifacts. For example, simple truncation of the sinc function will create severe ringing artifacts, which can be reduced using window functions that drop off more smoothly at the edges.^[5]

Time response

The time response of a low-pass filter is found by solving the response to the simple low-pass RC filter.

Using Kirchhoff's Laws we arrive at the differential equation^[6]

v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}

Step input response example

If we let $v_{\text{en}}(t)$ be a step function of magnitude $V_{i}$ then the differential equation has the solution^[7]

v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),

where $\omega _{0}={1 \over RC}$ is the cutoff frequency of the filter.

Frequency response

The most common way to characterize the frequency response of a circuit is to find its Laplace transform^[6] transfer function, $H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}$ . Taking the Laplace transform of our differential equation and solving for $H(s)$ we get

H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}

Difference equation through discrete time sampling

A discrete difference equation is easily obtained by sampling the step input response above at regular intervals of $nT$ where $n=0,1,...$ and $T$ is the time between samples. Taking the difference between two consecutive samples we have

v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})

Solving for $v_{\rm {out}}(nT)$ we get

v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}

Where $\beta =e^{-\omega _{0}T}$

Using the notation $V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)$ and $v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)$ , and substituting our sampled value, $v_{n}=V_{i}$ , we get the difference equation

V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}

Error analysis

Comparing the reconstructed output signal from the difference equation, $V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}$ , to the step input response, $v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})$ , we find that there is an exact reconstruction (0% error). This is the reconstructed output for a time-invariant input. However, if the input is time variant, such as $v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)$ , this model approximates the input signal as a series of step functions with duration $T$ producing an error in the reconstructed output signal. The error produced from time variant inputs is difficult to quantify but decreases as $T\rightarrow 0$ .

Discrete-time realization

Many digital filters are designed to give low-pass characteristics. Both infinite impulse response and finite impulse response low pass filters, as well as filters using Fourier transforms, are widely used.

Simple infinite impulse response filter

The effect of an infinite impulse response low-pass filter can be simulated on a computer by analyzing an RC filter's behavior in the time domain, and then discretizing the model.

From the circuit diagram to the right, according to Kirchhoff's Laws and the definition of capacitance:

where $Q_{c}(t)$ is the charge stored in the capacitor at time $t$ . Substituting equation Q into equation I gives $i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}$ , which can be substituted into equation V so that

v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.

This equation can be discretized. For simplicity, assume that samples of the input and output are taken at evenly spaced points in time separated by $\Delta _{T}$ time. Let the samples of $v_{\text{in}}$ be represented by the sequence $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ , and let $v_{\text{out}}$ be represented by the sequence $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ , which correspond to the same points in time. Making these substitutions,

x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.

Rearranging terms gives the recurrence relation

y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.

That is, this discrete-time implementation of a simple RC low-pass filter is the exponentially weighted moving average

{\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha

By definition, the smoothing factor is within the range $0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1$ . The expression for $α$ yields the equivalent time constant $RC$ in terms of the sampling period $\Delta _{T}$ and smoothing factor $α$ ,

RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).

Recalling that

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

so

RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},

note $α$ and $f_{c}$ are related by,

\alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}

and

f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.

If $α$ =0.5, then the RC time constant equals the sampling period. If $\alpha \;\ll \;0.5$ , then RC is significantly larger than the sampling interval, and $\Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC$ .

The filter recurrence relation provides a way to determine the output samples in terms of the input samples and the preceding output. The following pseudocode algorithm simulates the effect of a low-pass filter on a series of digital samples:

// Return RC low-pass filter output samples, given input samples, // time interval dt, and time constant RCfunction lowpass(real[1..n] x, real dt, real RC) varreal[1..n] y varreal α := dt / (RC + dt) y[1] := α * x[1] for i from 2 to n y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] return y

The loop that calculates each of the n outputs can be refactored into the equivalent:

for i from 2 to n y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

That is, the change from one filter output to the next is proportional to the difference between the previous output and the next input. This exponential smoothing property matches the exponential decay seen in the continuous-time system. As expected, as the time constantRC increases, the discrete-time smoothing parameter $\alpha$ decreases, and the output samples $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ respond more slowly to a change in the input samples $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ ; the system has more inertia. This filter is an infinite-impulse-response (IIR) single-pole low-pass filter.

Finite impulse response

Finite-impulse-response filters can be built that approximate the sinc function time-domain response of an ideal sharp-cutoff low-pass filter. For minimum distortion, the finite impulse response filter has an unbounded number of coefficients operating on an unbounded signal. In practice, the time-domain response must be time truncated and is often of a simplified shape; in the simplest case, a running average can be used, giving a square time response.^[8]

Fourier transform

For non-realtime filtering, to achieve a low pass filter, the entire signal is usually taken as a looped signal, the Fourier transform is taken, filtered in the frequency domain, followed by an inverse Fourier transform. Only O(n log(n)) operations are required compared to O(n²) for the time domain filtering algorithm.

This can also sometimes be done in real time, where the signal is delayed long enough to perform the Fourier transformation on shorter, overlapping blocks.

Continuous-time realization

{\displaystyle \omega _{0}=1} — Plot of the gain of Butterworth low-pass filters of orders 1 through 5, with cutoff frequency $\omega _{0}=1$ . Note that the slope is 20n dB/decade where n is the filter order.

There are many different types of filter circuits, with different responses to changing frequency. The frequency response of a filter is generally represented using a Bode plot, and the filter is characterized by its cutoff frequency and rate of frequency rolloff. In all cases, at the cutoff frequency, the filter attenuates the input power by half or 3 dB. So the order of the filter determines the amount of additional attenuation for frequencies higher than the cutoff frequency.

A first-order filter, for example, reduces the signal amplitude by half (so power reduces by a factor of 4, or 6 dB), every time the frequency doubles (goes up one octave); more precisely, the power rolloff approaches 20 dB per decade in the limit of high frequency. The magnitude Bode plot for a first-order filter looks like a horizontal line below the cutoff frequency, and a diagonal line above the cutoff frequency. There is also a "knee curve" at the boundary between the two, smoothly transitioning between the two straight-line regions. If the transfer function of a first-order low-pass filter has a zero as well as a pole, the Bode plot flattens out again, at some maximum attenuation of high frequencies; such an effect is caused for example by a little bit of the input leaking around the one-pole filter; this one-pole–one-zero filter is still a first-order low-pass. See Pole–zero plot and RC circuit.
Un filtro de segundo orden atenúa las altas frecuencias de forma más pronunciada. El diagrama de Bode para este tipo de filtro se asemeja al de un filtro de primer orden, excepto que la atenuación es más rápida. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segundo orden reduce la amplitud de la señal a una cuarta parte de su nivel original cada vez que la frecuencia se duplica (por lo que la potencia disminuye en 12 dB por octava, o 40 dB por década). Otros filtros de segundo orden con todos los polos pueden atenuarse inicialmente a diferentes velocidades dependiendo de su factor Q , pero se aproximan a la misma velocidad final de 12 dB por octava; al igual que con los filtros de primer orden, los ceros en la función de transferencia pueden cambiar la asíntota de alta frecuencia. Véase el circuito RLC .
Los filtros de tercer orden y superiores se definen de forma similar. En general, la tasa final de atenuación de potencia para un filtro de polos de orden $n es de 6$ $n$ dB por octava (20 $n$ dB por década).

En cualquier filtro Butterworth, si se extiende la línea horizontal hacia la derecha y la diagonal hacia la parte superior izquierda (las asíntotas de la función), se intersecan exactamente en la frecuencia de corte , 3 dB por debajo de la línea horizontal. Los distintos tipos de filtros ( filtro Butterworth , filtro Chebyshev , filtro Bessel , etc.) presentan curvas de inflexión de aspecto diferente . Muchos filtros de segundo orden tienen un pico o resonancia que sitúa su respuesta en frecuencia por encima de la línea horizontal en dicho pico.

Los significados de «bajo» y «alto» —es decir, la frecuencia de corte— dependen de las características del filtro. El término «filtro de paso bajo» simplemente se refiere a la forma de su respuesta; se podría construir un filtro de paso alto con una frecuencia de corte inferior a la de cualquier filtro de paso bajo; es su respuesta lo que los diferencia. Se pueden diseñar circuitos electrónicos para cualquier rango de frecuencia deseado, hasta frecuencias de microondas (superiores a 1 GHz) e incluso superiores.

notación de Laplace

Los filtros de tiempo continuo también pueden describirse mediante la transformada de Laplace de su respuesta impulsional , lo que facilita el análisis de todas sus características al considerar el patrón de polos y ceros de dicha transformada en el plano complejo. (En tiempo discreto, se puede considerar de forma similar la transformada Z de la respuesta impulsional).

Por ejemplo, un filtro paso bajo de primer orden puede describirse mediante la función de transferencia de tiempo continuo , en el dominio de Laplace , como:

H(s)={\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}=K{\frac {\alpha }{s+\alpha }}

donde H es la función de transferencia, s es la variable de la transformada de Laplace (frecuencia angular compleja), τ es la constante de tiempo del filtro , $\alpha$ es la frecuencia de corte, y K es la ganancia del filtro en la banda de paso . La frecuencia de corte está relacionada con la constante de tiempo mediante:

\alpha ={1 \over \tau }

Filtros electrónicos de paso bajo

Pasiva de primer orden

Filtro RC

Un circuito de filtro paso bajo simple consta de una resistencia en serie con una carga y un condensador en paralelo con la carga. El condensador presenta reactancia y bloquea las señales de baja frecuencia, forzándolas a pasar a través de la carga. A frecuencias más altas, la reactancia disminuye y el condensador funciona efectivamente como un cortocircuito. La combinación de resistencia y capacitancia da la constante de tiempo del filtro. $\tau \;=\;RC$ (representada por la letra griega tau ). La frecuencia de ruptura, también llamada frecuencia de rotación, frecuencia de esquina o frecuencia de corte (en hercios), está determinada por la constante de tiempo:

f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}

o equivalentemente (en radianes por segundo):

\omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}

Este circuito puede entenderse considerando el tiempo que necesita el condensador para cargarse o descargarse a través de la resistencia:

A bajas frecuencias, el condensador tiene tiempo suficiente para cargarse hasta alcanzar prácticamente el mismo voltaje que el voltaje de entrada.
A altas frecuencias, el condensador solo tiene tiempo de cargarse ligeramente antes de que la entrada cambie de dirección. La salida varía solo una pequeña fracción de la variación de la entrada. Al doble de frecuencia, solo tiene tiempo para cargarse a la mitad.

Otra forma de entender este circuito es a través del concepto de reactancia a una frecuencia determinada:

Dado que la corriente continua (CC) no puede fluir a través del condensador, la entrada de CC debe fluir por la ruta marcada. $V_{\mathrm {out} }$ (análogo a la extracción del condensador).
Dado que la corriente alterna (CA) fluye muy bien a través del condensador, casi tan bien como fluye a través de un cable sólido, la entrada de CA sale a través del condensador, cortocircuitando efectivamente a tierra (análogo a reemplazar el condensador con solo un cable).

El condensador no es un objeto de tipo "encendido/apagado" (como en la explicación anterior sobre el bloqueo o el paso de fluidos). Su comportamiento varía entre estos dos extremos. El diagrama de Bode y la respuesta en frecuencia son los que muestran esta variabilidad.

Filtro RL

Un circuito resistor-inductor o filtro RL es un circuito eléctrico compuesto por resistores e inductores alimentados por una fuente de voltaje o corriente . Un circuito RL de primer orden está compuesto por un resistor y un inductor, y es el tipo más simple de circuito RL.

Un circuito RL de primer orden es uno de los filtros electrónicos analógicos de respuesta de impulso infinita más simples . Consta de una resistencia y un inductor , ya sea en serie alimentados por una fuente de tensión o en paralelo alimentados por una fuente de corriente.

Pasiva de segundo orden

Filtro RLC

Un circuito RLC (las letras R, L y C pueden estar en un orden diferente) es un circuito eléctrico compuesto por una resistencia , un inductor y un condensador , conectados en serie o en paralelo. La denominación RLC se debe a que estas letras son los símbolos eléctricos habituales para resistencia , inductancia y capacitancia , respectivamente. El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resonará de forma similar a un circuito LC . La principal diferencia que supone la presencia de la resistencia es que cualquier oscilación inducida en el circuito se atenúa con el tiempo si no se mantiene mediante una fuente. Este efecto de la resistencia se denomina amortiguación . La presencia de la resistencia también reduce ligeramente la frecuencia de resonancia máxima. Cierta resistencia es inevitable en los circuitos reales, incluso si no se incluye específicamente una resistencia como componente. Un circuito LC ideal y puro es una abstracción con fines teóricos.

Este circuito tiene numerosas aplicaciones. Se utiliza en diversos tipos de circuitos osciladores . Otra aplicación importante es la sintonización , por ejemplo, en receptores de radio o televisores , donde se emplea para seleccionar un rango estrecho de frecuencias de las ondas de radio ambientales. En este caso, el circuito se denomina a menudo circuito sintonizado. Un circuito RLC puede utilizarse como filtro paso banda , filtro rechaza banda , filtro paso bajo o filtro paso alto . El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito puede describirse mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos.

Filtro paso bajo de segundo orden en formato estándar

La función de transferencia $H_{LP}(f)$ La respuesta de un filtro paso bajo de segundo orden se puede expresar como una función de la frecuencia. $f$ como se muestra en la ecuación 1, la forma estándar del filtro paso bajo de segundo orden.

H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)

En esta ecuación, $f$ es la variable de frecuencia, $f_{c}$ es la frecuencia de corte, $f_{FSF}$ es el factor de escala de frecuencia, y $Q$ es el factor de calidad. La ecuación 1 describe tres regiones de operación: por debajo del punto de corte, en la zona de corte y por encima del punto de corte. Para cada zona, la ecuación 1 se reduce a:

$f\ll f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx K$ - El circuito transmite señales multiplicadas por el factor de ganancia. $K$ .
${\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}$ : $H_{LP}(f)=jKQ$ - Las señales se desfasan 90° y se modifican mediante el factor de calidad. $Q$ .
$f\gg f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}$ - Las señales se desfasan 180° y se atenúan en el cuadrado de la relación de frecuencias. Este comportamiento se detalla en "Active Low-Pass Filter Design" (Texas Instruments, 2023) por Jim Karki. ^{[ 9 ]}

Con atenuación en frecuencias superiores $f_{c}$ Al aumentar en una potencia de dos, la última fórmula describe un filtro paso bajo de segundo orden. El factor de escala de frecuencia $f_{FSF}$ Se utiliza para ajustar la frecuencia de corte del filtro de manera que cumpla con las definiciones dadas anteriormente.

Filtros pasivos de orden superior

También se pueden construir filtros pasivos de orden superior (véase el diagrama para un ejemplo de tercer orden).

Un filtro paso bajo de tercer orden ( _topologíade Cauer ). El filtro se convierte en un filtro Butterworth con frecuencia de corte ωc = 1 cuando (por ejemplo) C2 ₌ 4/3 faradios, R4 ₌ 1 ohmio, L1 ₌ 3/2 henrios y L3 ₌ 1/2 henrios.

Primer orden activo

Un filtro paso bajo activo añade un dispositivo activo para crear un filtro activo que permite la ganancia en la banda de paso.

En el circuito amplificador operacional que se muestra en la figura, la frecuencia de corte (en hercios ) se define como:

f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}

o equivalentemente (en radianes por segundo):

\omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}

La ganancia en la banda de paso es − R ₂ / R ₁ , y la banda de rechazo cae a −6 dB por octava (es decir −20 dB por década) ya que es un filtro de primer orden.

Véase también

Referencias

1 2 Información sobre filtros de paso largo y filtros de paso corto , consultado el 4 de octubre de 2017.
↑ Sedra, Adel ; Smith, Kenneth C. (1991). Circuitos microelectrónicos, 3.ª ed . Saunders College Publishing. pág . 60. ISBN 0-03-051648-X.
↑ "Filtros ADSL explicados" . Epanorama.net . Consultado el 24 de septiembre de 2013 .
↑ "Redes domésticas – Red de área local" . Pcweenie.com. 12 de abril de 2009. Archivado del original el 27 de septiembre de 2013. Consultado el 24 de septiembre de 2013 .
↑ Dominando Windows: Mejorando la reconstrucción
1 2 Hayt, William H. Jr. y Kemmerly, Jack E. (1978). Análisis de circuitos de ingeniería . Nueva York: McGRAW-HILL BOOK COMPANY. págs. 211–224 , 684–729 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Boyce, William y DiPrima, Richard (1965). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera . Nueva York: JOHN WILEY & SONS. págs. 11–24 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Whilmshurst, TH (1990) Recuperación de señales a partir del ruido en instrumentación electrónica. ISBN 9780750300582
↑ Diseño de filtro paso bajo activo" (Texas Instruments, 2023)

Enlaces externos

Simulador Java de filtro de paso bajo
ECE 209: Repaso de circuitos como sistemas LTI , una breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
ECE 209: Fuentes de desfase , una explicación intuitiva de la fuente de desfase en un filtro paso bajo. También verifica la función de transferencia de un filtro paso bajo pasivo simple mediante una identidad trigonométrica.
Generador de código C para la implementación digital de los filtros Butterworth, Bessel y Chebyshev, creado por el difunto Dr. Tony Fisher de la Universidad de York (York, Inglaterra).

[globalspec.com-1] 1 2 Información sobre filtros de paso largo y filtros de paso corto , consultado el 4 de octubre de 2017.

[2] Sedra, Adel ; Smith, Kenneth C. (1991). Circuitos microelectrónicos, 3.ª ed . Saunders College Publishing. pág . 60. ISBN 0-03-051648-X.

[3] "Filtros ADSL explicados" . Epanorama.net . Consultado el 24 de septiembre de 2013 .

[4] "Redes domésticas – Red de área local" . Pcweenie.com. 12 de abril de 2009. Archivado del original el 27 de septiembre de 2013. Consultado el 24 de septiembre de 2013 .

[5] Dominando Windows: Mejorando la reconstrucción

[:0-6] 1 2 Hayt, William H. Jr. y Kemmerly, Jack E. (1978). Análisis de circuitos de ingeniería . Nueva York: McGRAW-HILL BOOK COMPANY. págs. 211–224 , 684–729 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[7] Boyce, William y DiPrima, Richard (1965). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera . Nueva York: JOHN WILEY & SONS. págs. 11–24 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[8] Whilmshurst, TH (1990) Recuperación de señales a partir del ruido en instrumentación electrónica. ISBN 9780750300582

[9] Diseño de filtro paso bajo activo" (Texas Instruments, 2023)

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