Conjunto de contornos

En matemáticas , los conjuntos de contornos generalizan y formalizan las nociones cotidianas de

• Todo lo que es superior a algo
• Todo lo que es superior o equivalente a algo
• Todo lo que es inferior a algo
• todo lo que es inferior o equivalente a algo.

Dada una relación sobre pares de elementos de un conjunto ${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$

y un elemento de${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle x\en X}$

El conjunto de contorno superior de es el conjunto de todos los que están relacionados con : ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

El conjunto de contorno inferior de es el conjunto de todos los que están relacionados con ellos: ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

El conjunto de contorno superior estricto de es el conjunto de todos los que están relacionados con sin estar relacionados de esta manera con ninguno de ellos: ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lno (x\succcurlyeq y)\right\}}$

El conjunto de contorno inferior estricto de es el conjunto de todos los que están relacionados con ellos sin que ninguno de ellos esté relacionado de esta manera con : ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lno (y\succcurlyeq x)\right\}}$

Las expresiones formales de los dos últimos pueden simplificarse si hemos definido

${\displaystyle \succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}}$

por lo que está relacionado con pero no está relacionado con , en cuyo caso el conjunto de contorno superior estricto de es ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

y el conjunto de contorno inferior estricto es ${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

En el caso de una función considerada en términos de relación , la referencia a los conjuntos de contorno de la función es implícitamente a los conjuntos de contorno de la relación implícita. ${\estilo de visualización f()}$${\displaystyle \triánguloderecho}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Flecha izquierda ~[f(a)\triángulo derecho f(b)]}$

Consideremos un número real y la relación . Entonces ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización \geq}$

• El conjunto de contorno superior de sería el conjunto de números que fueran mayores o iguales a ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• El conjunto de contorno superior estricto de sería el conjunto de números que fueran mayores que ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• el conjunto de contorno inferior de sería el conjunto de números que fueran menores o iguales a , y${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de números que fueran menores que .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

Consideremos, de manera más general, la relación

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Flecha izquierda ~[f(a)\geq f(b)]}$

Entonces

• el conjunto de contorno superior de sería el conjunto de todos tales que ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$
• El conjunto de contorno superior estricto de sería el conjunto de todos los tales que ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle f(y)>f(x)}$
• el conjunto de contorno inferior de sería el conjunto de todos tales que , y${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de todos los tales que .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle f(x)>f(y)}$

Sería técnicamente posible definir conjuntos de contornos en términos de la relación

${\displaystyle (a\leq b)~\Flecha izquierda ~[f(a)\leq f(b)]}$

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión inmediata.

En el caso de una función de valor real (cuyos argumentos pueden o no ser números reales), la referencia a los conjuntos de contorno de la función es implícitamente a los conjuntos de contorno de la relación. ${\estilo de visualización f()}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Flecha izquierda ~[f(a)\geq f(b)]}$

Tenga en cuenta que los argumentos podrían ser vectores y que la notación utilizada podría ser ${\estilo de visualización f()}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

En economía , el conjunto podría interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de resultados posibles , la relación como preferencia estricta y la relación como preferencia débil . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \succ}$${\displaystyle \succcurlyeq}$

• el conjunto de contorno superior, o mejor conjunto , ^[1] de sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueran al menos tan deseados como ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• El conjunto de contorno superior estricto sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que eran más deseados que ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• el conjunto de contorno inferior, o peor conjunto , ^[1] de sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que no fueran más deseados que , y${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueran menos deseados que .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

Estas preferencias podrían ser capturadas por una función de utilidad , en cuyo caso ${\estilo de visualización u()}$

• el conjunto de contorno superior de sería el conjunto de todos tales que ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$
• El conjunto de contorno superior estricto de sería el conjunto de todos los tales que ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle u(y)>u(x)}$
• el conjunto de contorno inferior de sería el conjunto de todos tales que , y${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de todos los tales que .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle u(x)>u(y)}$

Suponiendo que es un ordenamiento total de , el complemento del conjunto de contorno superior es el conjunto de contorno inferior estricto. ${\displaystyle \succcurlyeq}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle X^{2}\barra invertida \izquierda\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\derecha\}=\izquierda\{y~\backepsilon ~x\succ y\derecha\}}$

${\displaystyle X^{2}\barra invertida \izquierda\{y~\backepsilon ~x\succ y\derecha\}=\izquierda\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\derecha\}}$

y el complemento del conjunto de contorno superior estricto es el conjunto de contorno inferior.

${\displaystyle X^{2}\barra invertida \izquierda\{y~\backepsilon ~y\succ x\derecha\}=\izquierda\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\derecha\}}$

${\displaystyle X^{2}\barra invertida \izquierda\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\derecha\}=\izquierda\{y~\backepsilon ~y\succ x\derecha\}}$

• Epígrafe
• Hipógrafo

• Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston y Jerry R. Green, Microeconomic Theory ( LCC  HB172.M6247 1995), pág. 43. ISBN 0-19-507340-1 (tela) ISBN 0-19-510268-1 (papel)