Peter Ludvig Sylow

Sylow asistió a la Escuela de la Catedral de Christiania, graduándose en 1850 tras aprobar el examen artium . ^{[ 1 ]} Luego se convirtió en estudiante de la Universidad de Oslo, donde comenzó sus estudios de ciencias naturales. ^{[ 2 ]} En 1853, la Universidad de Oslo le otorgó la medalla de oro del Príncipe Heredero ( Kronprinsens gullmedalje ) por un trabajo de matemáticas sobre gnomónica . ^{[ 3 ]} En 1856 aprobó el examen de profesor de matemáticas de secundaria ( Realkandidat , en noruego Real candidate) con excelentes calificaciones. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

Se graduó en 1856, pero como no había plazas universitarias disponibles, enseñó durante dos años en la Escuela Hartvig Nissen , una escuela independiente para niñas en el distrito de Uranienborg de Christiania , fundada por Hartvig Nissen y Ole Jacob Broch . ^{[ 2 ]} Sus años allí coincidieron con el período universitario más activo de Broch, y fue Broch quien inspiró a Sylow a estudiar , entre otras cosas, la obra fundamental de Carl Gustav Jacob Jacobi sobre funciones elípticas . ^{[ 2 ]}

En 1858, Sylow se trasladó a la ciudad de Fredrikshald (ahora llamada Halden ) en el condado de Østfold, donde enseñó en la Escuela Latina de Fredrikshald (en noruego: Fredrikshalds lærde og realskole) como director de matemáticas y ciencias, un puesto modesto que ocupó durante 40 años, desde 1858 hasta 1898, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} excepto en 1861 y 62, cuando continuó sus estudios en París y Berlín y cuando impartió clases como profesor sustituto de Broch en la Universidad de Christiania .

Durante sus estudios, Sylow se interesó por la obra de Niels Henrik Abel , y especialmente por un trabajo inacabado sobre teoría de ecuaciones que había quedado sin terminar. ^{[ 1 ]} Sin embargo, fue solo en la Escuela Hartvig Nissen (1856-1858) donde comenzó a investigar esa obra con mayor profundidad, en parte gracias a Ole Jacob Broch, quien era el profesor de matemáticas puras de la escuela en ese momento. ^{[ 2 ]} Fue Broch quien animó mucho al joven profesor Sylow a continuar con sus investigaciones matemáticas avanzadas. ^{[ 2 ]} Aunque al principio a Sylow le resultó difícil leer los trabajos de Abel, logró superarlos y pronto descubrió que Abel había alcanzado una comprensión mucho más profunda de la teoría de ecuaciones de la que había plasmado en sus artículos publicados. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Algunos de los primeros intentos de Sylow por publicar algunos de los resultados inéditos de Abel que había encontrado en sus artículos resultaron infructuosos. Por ejemplo, envió uno de estos artículos a la revista Crelle's Journal en Berlín, pero el editor, Leopold Kronecker , lo rechazó. Sylow presentó sus descubrimientos en una reunión escandinava de naturalistas en Copenhague en 1860, donde ofreció una sólida interpretación de un extraño tratado de teoría de ecuaciones de Abel, editado solo en fragmentos. ^{[ 1 ]}

En 1861, Sylow obtuvo una beca para estudiar en París y Berlín. ^{[ 1 ] [ 2 ]} En París, asistió a las clases de Michel Chasles sobre la teoría de las cónicas , de Joseph Liouville sobre mecánica racional y de Jean-Marie Duhamel sobre la teoría de los límites. También aprovechó esta beca para familiarizarse con trabajos más recientes, especialmente en la teoría de ecuaciones. ^{[ 2 ]} En Berlín, Sylow mantuvo conversaciones provechosas con Kronecker, pero no pudo asistir a los cursos de Karl Weierstrass , quien se encontraba enfermo en ese momento. Dado que no se impartían otros cursos en Berlín que le interesaran, Sylow decidió trabajar en la biblioteca, estudiando teoría de números y teoría de ecuaciones. ^{[ 2 ]}

Al año siguiente, en 1862, Sylow impartió clases en la Universidad de Christiania como sustituto del profesor Ole Jacob Broch, quien había sido elegido miembro del Storting , el parlamento noruego. ^{[ 1 ] [ 2 ]} En sus clases, Sylow explicó el trabajo de Abel y Galois sobre ecuaciones algebraicas, convirtiéndose así en uno de los primeros en Europa en impartir clases sobre la obra de Évariste Galois . ^{[ 2 ]} Entre sus oyentes se encontraba el joven Sophus Lie , quien más tarde crearía una nueva y singular ciencia basada en estas ideas: la teoría de la simetría continua . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Lie comentó una vez que Sylow merecía un puesto universitario debido a su "amplio conocimiento, su aguda capacidad crítica y su destacado trabajo matemático". ^{[ 2 ]} Y durante un tiempo, pareció que la universidad finalmente apostaría por él, ya que había recibido una beca para viajar a Berlín y París en 1861, y luego pasó un año dando clases de matemáticas en la Universidad de Christiania durante la ausencia de Broch en el extranjero, durante el cual también comenzó a tratar y dar clases sobre la teoría de grupos de Galois . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Pero en cambio, su carrera simplemente se detuvo. Cuando Broch volvió a ser diputado en el Storting de 1865 a 1868, estaba deseoso de que Sylow se hiciera cargo de la docencia en su universidad durante ese tiempo, pero la escuela en Fredrikshald en la que Sylow era profesor se negó a darle permiso para enseñar en la Universidad de Christiania, y recibieron apoyo del ministerio. ^{[ 2 ]} Broch dejó su cátedra como profesor de matemáticas puras en 1869, dejando así una vacante que Sylow estaba bien cualificado para haber ocupado, y de hecho, todos esperaban que Sylow asumiera su cátedra de matemáticas puras. Sin embargo, la Universidad de Christiania no valoraba mucho las matemáticas puras en ese momento, prefiriendo matemáticas más prácticas, útiles y terrenales con temas más aplicables, y Sylow era demasiado teórico en su enfoque, por lo que no fue nombrado. ^{[ 2 ]} En cambio , el profesor de matemáticas aplicadas, Carl Anton Bjerknes , fue presionado para ocupar el puesto de Broch, para que Cato Guldberg pudiera hacerse cargo de las matemáticas aplicadas. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dado que pocos matemáticos contemporáneos estaban tan familiarizados con la obra de Abel como Sylow, el profesor Carl Anton Bjerknes le aconsejó que estudiara los trabajos de Évariste Galois sobre teoría de grupos , en los que Abel también había contribuido significativamente. ^{[ 1 ]} Sin embargo, fue solo cuando Sylow comenzó a impartir clases sobre la obra de Abel y Galois sobre ecuaciones algebraicas en 1862, que empezó a desarrollar aún más sus trabajos innovadores, especialmente aquellos relacionados con la teoría de grupos, y de hecho, a finales de ese año, Sylow ya había demostrado resultados fundamentales en teoría de grupos, que ahora se conocen como teoremas de Sylow y p-grupos , conocidos como subgrupos de Sylow , que ahora son términos básicos en teoría de grupos. ^{[ 1 ]} Fue así uno de los primeros matemáticos en penetrar en la teoría de grupos de Galois. Sin embargo, no fue hasta 1872, diez años después, que Sylow publicó sus descubrimientos más importantes en teoría de grupos en la revista de Alfred Clebsch ( Math. Ann. ), en un pequeño tratado de diez páginas titulado Theorémes sur les groupes de substitutions , en el que Sylow generaliza sus descubrimientos y demuestra el que es quizás el resultado más profundo en la teoría de grupos finitos. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Casi todos los trabajos sobre grupos finitos utilizan los teoremas de Sylow. ^{[ 2 ]}

Cuando el famoso matemático francés Camille Jordan publicó la obra de referencia Théorie des Substitutions en 1870, Sylow ya conocía la mayor parte de su contenido, e incluso más. ^{[ 2 ]} Cuando Jordan visitó Christiania en 1872, Sophus Lie lo acompañó en una excursión a Frognerseteren junto con Sylow, quien le describió lo que hoy se conoce como el "teorema de Sylow", que ya conocía desde 1862. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Jordan se mostró asombrado y algo escéptico, pero poco después escribió con entusiasmo desde Suecia y ayudó a Sylow a publicar su tesis de 10 páginas ese mismo año, en 1872. Dicha tesis convirtió a Sylow en un matemático europeo de renombre. ^{[ 2 ]}

En 1868 fue elegido miembro de la Academia Noruega de Ciencias y Letras ( Det Norske Widenskaps-Akademi ). ^{[ 1 ]} Entre 1870 y 1871, Sylow intercambió nueve cartas con Julius Petersen , quien en ese momento trabajaba en su tesis doctoral. Petersen solicitó el consejo de Sylow sobre el teorema principal de su tesis, y todas estas cartas tratan sobre este tema. Los dos matemáticos intercambiaron otras dieciséis cartas unos años después, en 1876 y 1877. ^{[ 2 ]}

Sin embargo, la obra escrita más conocida de Sylow se basa en su tesis de 10 páginas publicada en 1872, titulada Théorèmes sur les groupes de substitutions (Teoremas sobre grupos de sustitución), que se publicó en Mathematische Annalen Volumen 5 (páginas 584 a 594). ^{[ 2 ]} Este artículo contiene los tres teoremas de Sylow, que demuestran resultados fundamentales en la teoría de grupos. Sylow ya había demostrado esto en 1862, pero no lo publicó hasta 1872, y para entonces, Augustin-Louis Cauchy ya había demostrado que un grupo cuyo orden es divisible por un primo p tiene un subgrupo de orden p . ^{[ 2 ]} Winfried Scharlau describió cómo Sylow llegó a su descubrimiento mediante el estudio del trabajo de Galois, en particular del criterio de Galois para la resolubilidad de ecuaciones de grado primo. El artículo explica cómo Sylow utilizó métodos de la teoría de Galois en sus demostraciones. ^{[ 2 ]}

Además de la tesis de 1872, el trabajo principal de Sylow fue la nueva edición de los escritos completos de Abel que consiguió en asociación con su antiguo alumno Sophus Lie de forma pública, cuando en 1873, Sylow y Lie recibieron el encargo de proporcionar una nueva edición de las obras completas de Niels Henrik Abel, financiada por el Estado. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los preparativos para la publicación de esta obra duraron ocho años, de 1873 a 1881, durante los cuales solo tuvo una licencia parcial de su trabajo docente, estando de baja de la escuela durante cuatro años. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sylow y Lie prepararon una edición de la obra completa de Abel publicada bajo el título Oeuvres complète de Niels Henrik Abel (en francés: Obras completas de Niels Henrik Abel). ^{[ 2 ]} La motivación para esto provino de la Academia Noruega de Ciencias, que solicitó al Parlamento noruego financiación para el proyecto, que fue concedida rápidamente. Esta financiación permitió a Sylow tomarse una excedencia de su escuela en Fredrikshald durante cuatro años para dedicarse al proyecto. ^{[ 2 ]} Sylow quería que se publicara la mayor cantidad posible de las primeras obras de Abel, no solo sus grandes tratados con su ejemplar rigor, y así, aprovechó esta oportunidad para desenterrar más de sus primeras obras, y de hecho, se publicó mucho más material adicional de Abel en la edición de Sylow/Lie que apareció el 9 de diciembre de 1881, que el que Bjerknes utilizó en su biografía de Abel de 1880. ^{[ 2 ]}

En 1902, Sylow, en colaboración con Elling Holst , publicó la correspondencia de Abel. Se descubrieron más documentos de Abel después de la publicación del libro de Sylow y Lie en 1881 y, en el Tercer Congreso Escandinavo de Matemáticos , celebrado en Kristiania en 1913, Sylow discutió este nuevo material. ^{[ 2 ]} Además de los teoremas de Sylow y el material de Abel, Sylow también publicó algunos artículos sobre funciones elípticas, particularmente sobre multiplicación compleja , así como artículos sobre teoría de grupos. ^{[ 2 ]}

En 1883, Sylow se convirtió en editor de Acta Mathematica , fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Göttingen y, en 1894, la Universidad de Copenhague le otorgó un doctorado honoris causa. ^{[ 2 ]}

Un par de veces en su juventud, Sylow tuvo brevemente la perspectiva de convertirse en profesor universitario, donde sin duda había pertenecido desde el primer momento, pero el desfavor de la época lo dejó desapercibido en su tierra natal a pesar de que su nombre ya era ampliamente conocido fuera de Noruega. ^{[ 1 ]} Como resultado, Sylow pasó 40 años, de 1858 a 1898, ocupando el modesto puesto de jefe de departamento de matemáticas y ciencias en la Escuela Latina Fredrikshald, un largo reinado que llegó a su fin cuando Sylow fue finalmente nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Oslo en 1898, ^{[ 3 ]} y a pesar de tener ya 65 años cuando obtuvo un puesto universitario, pudo mantener este puesto durante 20 años, hasta 1918, cuando murió a la edad de 85 años. ^{[ 2 ]} Su raro talento para las matemáticas se reveló inmediatamente a su llegada a la universidad, a la que aportó conocimientos que iban mucho más allá de las matemáticas elementales. ^{[ 3 ]} Al principio, se le pagaba un salario de director, que era aproximadamente la mitad del salario de un profesor universitario, pero luego recibió aumentos salariales. ^{[ 2 ]}

En el centenario del nacimiento de Abel en 1902, Sylow pronunció el discurso de bienvenida en una conferencia para conmemorar el centenario de su nacimiento, ^{[ 2 ]} dando una caracterización de su predecesor, quien fue aclamado por todos los famosos matemáticos de los diversos países que se habían reunido como aquel que se mantendría como el permanente. ^{[ 1 ]}