Modelo de elementos concentrados

Un concepto útil en aplicaciones de transferencia de calor, una vez alcanzada la condición de conducción de calor en estado estacionario, es la representación de la transferencia térmica mediante circuitos térmicos. Un circuito térmico representa la resistencia al flujo de calor en cada elemento del circuito, como si se tratara de una resistencia eléctrica . El calor transferido es análogo a la corriente eléctrica y la resistencia térmica es análoga a la resistencia eléctrica. Los valores de la resistencia térmica para los diferentes modos de transferencia de calor se calculan como denominadores de las ecuaciones desarrolladas. Las resistencias térmicas de los diferentes modos de transferencia de calor se utilizan para analizar modos combinados de transferencia de calor. La ausencia de elementos capacitivos en el siguiente ejemplo puramente resistivo significa que ninguna sección del circuito absorbe energía ni cambia su distribución de temperatura. Esto equivale a exigir que se haya establecido un estado de conducción de calor (o transferencia, como en la radiación) en estado estacionario.

Las ecuaciones que describen los tres modos de transferencia de calor y sus resistencias térmicas en condiciones de estado estacionario, como se explicó anteriormente, se resumen en la siguiente tabla:

En los casos en que se produce transferencia de calor a través de diferentes medios (por ejemplo, a través de un material compuesto ), la resistencia equivalente es la suma de las resistencias de los componentes que conforman el compuesto. Probablemente, en los casos en que existen diferentes modos de transferencia de calor, la resistencia total es la suma de las resistencias de los diferentes modos. Utilizando el concepto de circuito térmico, la cantidad de calor transferido a través de cualquier medio es el cociente entre el cambio de temperatura y la resistencia térmica total del medio.

Como ejemplo, consideremos una pared compuesta de área de sección transversal${\displaystyle A}$El compuesto está hecho de un${\displaystyle L_{1}}$yeso de cemento largo con un coeficiente térmico${\displaystyle k_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$Fibra de vidrio larga revestida de papel, con coeficiente térmico${\displaystyle k_{2}}$. La superficie izquierda de la pared está en${\displaystyle T_{i}}$y expuesto al aire con un coeficiente de convección de${\displaystyle h_{i}}$. La superficie derecha de la pared está en${\displaystyle T_{o}}$y expuesto al aire con coeficiente de convección${\displaystyle h_{o}}$.

Utilizando el concepto de resistencia térmica, el flujo de calor a través del material compuesto es el siguiente: $${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$$ dónde${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$,${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$,${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$, y${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

La ley de enfriamiento de Newton es una relación empírica atribuida al físico inglés Sir Isaac Newton (1642-1727). Esta ley, expresada en forma no matemática, es la siguiente:

La tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y su entorno.

O bien, utilizando símbolos: $${\displaystyle {\text{Tasa de enfriamiento}}\sim \Delta T}$$

Un objeto cuya temperatura difiere de la de su entorno finalmente alcanzará una temperatura similar a la de dicho entorno. Un objeto relativamente caliente se enfría al calentar su entorno; un objeto frío se calienta gracias a su entorno. Al considerar la rapidez (o lentitud) con la que algo se enfría, hablamos de su tasa de enfriamiento: cuántos grados de cambio de temperatura se producen por unidad de tiempo.

La velocidad de enfriamiento de un objeto depende de la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno. El cambio de temperatura por minuto de un pastel de manzana caliente será mayor si se coloca en un congelador frío que si se deja sobre la mesa de la cocina. Cuando el pastel se enfría en el congelador, la diferencia de temperatura entre este y su entorno es mayor. En un día frío, una casa cálida perderá calor hacia el exterior a mayor velocidad cuando exista una gran diferencia entre la temperatura interior y la exterior. Por lo tanto, mantener el interior de una casa a una temperatura alta en un día frío resulta más costoso que mantenerlo a una temperatura más baja. Si la diferencia de temperatura se mantiene pequeña, la velocidad de enfriamiento será correspondientemente baja.

Como establece la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento de un objeto —ya sea por conducción , convección o radiación— es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura ΔT . Los alimentos congelados se calentarán más rápido en una habitación cálida que en una fría. Cabe destacar que la velocidad de enfriamiento en un día frío puede aumentar debido al efecto de convección del viento . Esto se conoce como sensación térmica . Por ejemplo, una sensación térmica de -20  °C significa que se pierde calor al mismo ritmo que si la temperatura fuera de -20  °C sin viento.

Esta ley describe muchas situaciones en las que un objeto con gran capacidad térmica y alta conductividad se sumerge repentinamente en un baño uniforme con baja conductividad térmica. Es un ejemplo de circuito térmico con un elemento resistivo y otro capacitivo. Para que la ley sea correcta, las temperaturas en todos los puntos del cuerpo deben ser aproximadamente iguales en cada instante, incluyendo la temperatura de su superficie. Por lo tanto, la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el entorno no depende de la parte del cuerpo que se elija, ya que todas las partes del cuerpo tienen prácticamente la misma temperatura. En estas situaciones, el material del cuerpo no aísla otras partes del flujo de calor, y todo el aislamiento significativo (o resistencia térmica) que controla la velocidad del flujo de calor reside en la zona de contacto entre el cuerpo y su entorno. Al cruzar este límite, el valor de la temperatura varía de forma discontinua.

En tales situaciones, el calor puede transferirse del exterior al interior de un cuerpo, a través de la barrera aislante, por convección, conducción o difusión, siempre que dicha barrera sea un conductor relativamente deficiente con respecto al interior del objeto. No se requiere la presencia de un aislante físico, siempre que el proceso de transferencia de calor a través de la barrera sea lento en comparación con la transferencia de calor por conducción dentro del cuerpo (o dentro de la región de interés, el "bulto" descrito anteriormente).

En esta situación, el objeto actúa como elemento capacitivo del circuito, y la resistencia del contacto térmico en el límite actúa como resistencia térmica (única). En los circuitos eléctricos, esta combinación se cargaría o descargaría en función de la tensión de entrada, siguiendo una ley exponencial simple en el tiempo. En el circuito térmico, esta configuración produce el mismo comportamiento en la temperatura: una aproximación exponencial de la temperatura del objeto a la del baño térmico.

La ley de Newton se expresa matemáticamente mediante la siguiente ecuación diferencial simple de primer orden: $${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)}$$ dónde

• Q es la energía térmica en julios.
• h es el coeficiente de transferencia de calor entre la superficie y el fluido.
• A es el área de la superficie del calor que se transfiere.
• T es la temperatura de la superficie y del interior del objeto (ya que son iguales en esta aproximación).
• T _env es la temperatura del ambiente.
• Δ T ( t ) = T ( t ) − T _{env es el} gradiente térmico dependiente del tiempo entre el entorno y el objeto

En ocasiones, expresar las transferencias de calor de esta forma no constituye una buena aproximación, dependiendo de las relaciones de conductancia térmica en el sistema. Si las diferencias no son significativas, una formulación precisa de las transferencias de calor en el sistema puede requerir un análisis del flujo de calor basado en la ecuación de transferencia de calor (transitoria) en medios no homogéneos o de baja conductividad.

Si se trata todo el cuerpo como un depósito de calor de capacidad concentrada, con un contenido de calor total que es proporcional a la capacidad calorífica total simple.${\displaystyle C}$, y${\displaystyle T}$la temperatura del cuerpo, o${\displaystyle Q=CT}$Se espera que el sistema experimente una disminución exponencial con el tiempo en la temperatura de un cuerpo.

A partir de la definición de capacidad calorífica${\displaystyle C}$viene la relación${\displaystyle C=dQ/dT}$Al derivar esta ecuación con respecto al tiempo, se obtiene la identidad (válida siempre que las temperaturas en el objeto sean uniformes en cualquier momento dado): ${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$Esta expresión puede usarse para reemplazar${\displaystyle dQ/dt}$en la primera ecuación que inicia esta sección, arriba. Entonces, si${\displaystyle T(t)}$es la temperatura de dicho cuerpo en el tiempo${\displaystyle t}$, y${\displaystyle T_{\text{env}}}$es la temperatura del ambiente que rodea al cuerpo: $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)}$$ dónde${\displaystyle r=hA/C}$es una constante positiva característica del sistema, que debe estar en unidades de${\displaystyle s^{-1}}$y, por lo tanto, a veces se expresa en términos de una constante de tiempo característica.${\displaystyle t_{0}}$dado por:${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$. Por lo tanto, en los sistemas térmicos,${\displaystyle t_{0}=C/hA}$. (La capacidad calorífica total${\displaystyle C}$de un sistema puede representarse además por su capacidad calorífica específica de masa${\displaystyle c_{p}}$multiplicado por su masa${\displaystyle m}$, de modo que la constante de tiempo${\displaystyle t_{0}}$también se da por${\displaystyle mc_{p}/hA}$).

La solución de esta ecuación diferencial, mediante métodos estándar de integración y sustitución de condiciones de contorno, da como resultado: $${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.}$$

Si:

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$se define como  :${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$dónde${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$es la diferencia de temperatura inicial en el tiempo 0,

Entonces, la solución newtoniana se escribe como: $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.}$$

Esta misma solución resulta casi inmediatamente evidente si la ecuación diferencial inicial se escribe en términos de${\displaystyle \Delta T(t)}$, como la única función a resolver. $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)}$$