Teorema de Lusin

En el campo del análisis matemático , el teorema de Lusin (o teorema de Luzin , llamado así en honor a Nikolai Luzin ) o criterio de Lusin establece que una función casi finita en todo su dominio es medible si y solo si es continua en casi todo su dominio. En la formulación informal de J. E. Littlewood , "toda función medible es casi continua".

Para un intervalo [ a , b ], sea 

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$

sea ​​una función medible. Entonces, para cada ε  >  0, existe un E  compacto ⊆  [ a , b ] tal que f restringida a E es continua y 

${\displaystyle \mu (E)>ba-\varepsilon .}$

Nótese que E hereda la topología de subespacio de [ a , b ]; la continuidad de f restringida a E se define utilizando esta topología. 

Además, para cualquier función f , definida en el intervalo [ a,  b ] y casi en todas partes finita, si para cualquier ε  >  0 existe una función ϕ , continua en [ a,  b ], tal que la medida del conjunto

${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\}}$

es menor que ε , entonces f es medible. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$Sea Y un espacio de medida de Radon y Y un espacio topológico segundo numerable equipado con un álgebra de Borel , y sea${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ser una función medible. Dado${\displaystyle \varepsilon >0}$, por cada${\displaystyle A\in \Sigma }$de medida finita hay un conjunto cerrado${\displaystyle E}$con${\displaystyle \mu (A\setminus E)<\varepsilon }$de tal manera que${\displaystyle f}$restringido a${\displaystyle E}$es continuo.

(Si${\displaystyle A}$es localmente compacto y${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{d}}$, podemos elegir${\displaystyle E}$ser compacto e incluso encontrar una función continua${\displaystyle f_{\varepsilon }:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$con soporte compacto que coincide con${\displaystyle f}$en${\displaystyle E}$y tal que

${\displaystyle \ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|}$.)

De manera informal, las funciones medibles en espacios con base numerable pueden aproximarse mediante funciones continuas en una porción arbitrariamente grande de su dominio.

La demostración del teorema de Lusin se encuentra en numerosos libros clásicos. Intuitivamente, se espera que sea una consecuencia del teorema de Egorov y de la densidad de funciones suaves. El teorema de Egorov establece que la convergencia puntual es casi uniforme, y la convergencia uniforme preserva la continuidad.

La fuerza del teorema de Lusin puede no ser evidente a simple vista, como se puede demostrar con un ejemplo. Consideremos la función de Dirichlet , es decir, la función indicadora.${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}}$en el intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$tomando el valor de uno en los racionales, y cero en los demás casos. Claramente, la medida de esta función debería ser cero, pero ¿cómo se pueden encontrar regiones que sean continuas, dado que los racionales son densos en los reales? Los requisitos del teorema de Lusin se pueden satisfacer con la siguiente construcción de un conjunto${\displaystyle E.}$

Dejar${\displaystyle \{x_{n};n=1,2,\dots \}}$ser cualquier enumeración de${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Colocar

${\displaystyle G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})}$

y

${\displaystyle E:=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}}$.

Luego, la secuencia de conjuntos abiertos${\displaystyle G_{n}}$"elimina" todos los racionales, dejando un conjunto compacto y cerrado.${\displaystyle E}$que no contiene racionales y tiene una medida de más de${\displaystyle 1-2\varepsilon }$.

Fuentes

• N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688-1690.
• G. Folland. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , 2.ª ed. Capítulo 7
• W. Zygmunt. Propiedad Scorza-Dragoni (en polaco), UMCS, Lublin, 1990
• MB Feldman, "Una demostración del teorema de Lusin", American Math. Monthly, 88 (1981), 191-2
• Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, "Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones", CRC Press Taylor & Francis Group, Libros de texto de matemáticas, Teorema 1.14

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