Espacio Luzin

En matemáticas , un espacio de Luzin (o espacio de Lusin ), llamado _así por N.N. Luzin , es un espacio topológico T1 no numerable sin puntos aislados en el que todo subconjunto no denso en ninguna parte _es numerable . Existen muchas variaciones menores de esta definición: la condición T1 _puede reemplazarse por T2 o T3 _, y algunos autores permiten un número numerable o incluso arbitrario de puntos aislados.

La existencia de un espacio de Luzin es independiente de los axiomas de ZFC . Lusin (1914) demostró que la hipótesis del continuo implica la existencia de un espacio de Luzin. Kunen (1977) demostró que, asumiendo el axioma de Martin y la negación de la hipótesis del continuo , no existen espacios de Luzin de Hausdorff .

En análisis real y teoría descriptiva de conjuntos , un conjunto de Luzin (o conjunto de Lusin ) se define como un subconjunto no numerable A de los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$de tal manera que cada subconjunto incontable de A no es escaso (es decir, de la segunda categoría de Baire) en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ De forma equivalente, A es un subconjunto no numerable de${\displaystyle \mathbb {R} }$que satisface cada escaso subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$(es decir, primer conjunto de categorías) en solo una cantidad numerable de puntos. Equivalentemente, A es un subconjunto no numerable de${\displaystyle \mathbb {R} }$que cumple con cada subconjunto denso de ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$(es decir, el primer conjunto de categorías) en una cantidad contable de puntos.

Luzin demostró que, si la hipótesis del continuo es válida, entonces todo conjunto no escaso en${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene un subconjunto de Luzin . Las propiedades obvias de un conjunto de Luzin son que debe ser no pobre (de lo contrario, el conjunto mismo es un subconjunto pobre no numerable ) y de medida cero , porque todo conjunto de medida positiva contiene un conjunto pobre que también tiene medida positiva y, por lo tanto, es no numerable.

Un conjunto débilmente Luzin es un subconjunto no numerable de un espacio vectorial real tal que, para cualquier subconjunto no numerable, el conjunto de direcciones entre diferentes elementos del subconjunto es denso en la esfera de direcciones.

La dualidad categoría-medida proporciona un análogo de medida para los conjuntos de Luzin: conjuntos de medida externa positiva , de los cuales cada subconjunto no numerable tiene medida externa positiva. Estos conjuntos se denominan conjuntos de Sierpiński , en honor a Wacław Sierpiński . Los conjuntos de Sierpiński son conjuntos de Luzin débiles, pero no son conjuntos de Luzin.

Elija una colección de 2 ^{ℵ ₀} subconjuntos escasos de R tales que cada subconjunto escaso esté contenido en uno de ellos. Por la hipótesis del continuo, es posible enumerarlos como S _α para ordinales numerables α . Para cada ordinal numerable β elija un número real x _β que no esté en ninguno de los conjuntos S _α para α < β , lo cual es posible ya que la unión de estos conjuntos es escasa y, por lo tanto, no es todo R . Entonces, el conjunto no numerable X de todos estos números reales x _β tiene solo un número numerable de elementos en cada conjunto S _α , por lo que es un conjunto de Luzin.

Variaciones más complejas de esta construcción producen ejemplos de conjuntos de Luzin que son subgrupos , subcampos o subcampos cerrados reales de los números reales.

• Arkhangelskii, AV (1978), "Estructura y clasificación de espacios topológicos e invariantes cardinales" , Russian Mathematical Surveys , 33 (6): 33–96 , Bibcode : 1978RuMaS..33...33A , doi : 10.1070/RM1978v033n06ABEH003884Documento que menciona los espacios de Luzin
• Efimov, BA (2001) [1994], "Luzin space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kunen, Kenneth (1977), "Luzin spaces" (PDF) , Topology Proceedings , 1 : 191–199 , MR 0450063 , Zbl 0389.54004  
• Lusin, NN (1914), "Sur un problème de M. Baire", CR Acad. Ciencia. París , 158 : 1258-1261​
• Oxtoby, John C. (1980), Medida y categoría: un estudio de las analogías entre espacios topológicos y de medida , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90508-1