Teoría M

Uno de los problemas más profundos de la física moderna es el de la gravedad cuántica . La comprensión actual de la gravedad se basa en la teoría general de la relatividad de Albert Einstein , formulada dentro del marco de la física clásica . Sin embargo, las fuerzas no gravitacionales se describen dentro del marco de la mecánica cuántica , un formalismo radicalmente diferente para describir fenómenos físicos basados ​​en la probabilidad . ^{[ a ]} Se necesita una teoría cuántica de la gravedad para conciliar la relatividad general con los principios de la mecánica cuántica, ^{[ b ]} pero surgen dificultades al intentar aplicar las prescripciones habituales de la teoría cuántica a la fuerza de la gravedad. ^{[ c ]}

La teoría de cuerdas es un marco teórico que intenta conciliar la gravedad y la mecánica cuántica. En la teoría de cuerdas, las partículas puntuales de la física de partículas se reemplazan por objetos unidimensionales llamados cuerdas . La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan por el espacio e interactúan entre sí. En una versión dada de la teoría de cuerdas, solo existe un tipo de cuerda, que puede parecer un pequeño bucle o segmento de cuerda ordinaria, y puede vibrar de diferentes maneras. En escalas de distancia mayores que la escala de la cuerda, una cuerda se comporta como una partícula ordinaria, con su masa , carga y otras propiedades determinadas por el estado vibracional de la cuerda. De esta manera, todas las diferentes partículas elementales pueden considerarse como cuerdas vibrantes. Uno de los estados vibracionales de una cuerda da origen al gravitón , una partícula de la mecánica cuántica que transporta la fuerza gravitatoria. ^{[ d ]}

Hay varias versiones de la teoría de cuerdas: tipo I , tipo IIA , tipo IIB y dos sabores de la teoría de cuerdas heteróticas ( Spin (32)${\displaystyle /\mathbb {Z} _ {2}}$y E ₈ × E ₈ ). Las diferentes teorías permiten diferentes tipos de cuerdas, y las partículas que surgen a bajas energías exhiben diferentes simetrías . Por ejemplo, a nivel perturbativo , la teoría de tipo I incluye tanto cuerdas abiertas (que son segmentos con extremos) como cuerdas cerradas (que forman bucles cerrados), mientras que los tipos IIA y IIB incluyen solo cuerdas cerradas. ^{[ 2 ]} (No perturbativamente, las cuerdas abiertas pueden existir en todas ellas). Cada una de estas cinco teorías de cuerdas surge como un caso límite especial de la teoría M. Esta teoría, al igual que sus predecesoras de la teoría de cuerdas, es un ejemplo de una teoría cuántica de la gravedad. Describe una fuerza como la conocida fuerza gravitatoria sujeta a las reglas de la mecánica cuántica. ^{[ 3 ]}

En la vida cotidiana, existen tres dimensiones espaciales familiares: altura, anchura y profundidad. La teoría general de la relatividad de Einstein trata el tiempo como una dimensión a la par de las tres dimensiones espaciales; en la relatividad general, el espacio y el tiempo no se modelan como entidades separadas, sino que se unifican en un espaciotiempo de cuatro dimensiones : tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. En este marco, el fenómeno de la gravedad se considera una consecuencia de la geometría del espaciotiempo. ^{[ 4 ]}

A pesar de que el universo se describe bien mediante el espaciotiempo de cuatro dimensiones, existen varias razones por las que los físicos consideran teorías en otras dimensiones. En algunos casos, al modelar el espaciotiempo en un número diferente de dimensiones, una teoría se vuelve matemáticamente más manejable , y se pueden realizar cálculos y obtener conocimientos generales con mayor facilidad. ^{[ e ]} También hay situaciones en las que las teorías en dos o tres dimensiones del espaciotiempo son útiles para describir fenómenos en la física de la materia condensada . ^{[ 5 ]} Finalmente, existen escenarios en los que podría haber más de cuatro dimensiones del espaciotiempo que, sin embargo, han pasado desapercibidas. ^{[ 6 ]}

Una característica notable de la teoría de cuerdas y la teoría M es que estas teorías requieren dimensiones adicionales del espacio-tiempo para su consistencia matemática. En la teoría de cuerdas, el espacio-tiempo es de diez dimensiones (nueve dimensiones espaciales y una dimensión temporal),Mientras que en la teoría M es de once dimensiones (diez dimensiones espaciales y una dimensión temporal). Para describir fenómenos físicos reales utilizando estas teorías, es necesario imaginar escenarios en los que estas dimensiones adicionales no se observen en los experimentos. ^{[ 7 ]}

La compactificación es una forma de modificar el número de dimensiones en una teoría física. ^{[ f ]} En la compactificación, se supone que algunas de las dimensiones adicionales se "cierran" sobre sí mismas para formar círculos. ^{[ 8 ]} En el límite donde estas dimensiones enrolladas se vuelven muy pequeñas, se obtiene una teoría en la que el espacio-tiempo tiene efectivamente un número menor de dimensiones. Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se observa desde una distancia suficiente, parece tener solo una dimensión, su longitud. Sin embargo, a medida que uno se acerca a la manguera, descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Por lo tanto, una hormiga que se arrastra sobre la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones. ^{[ g ]}

Las teorías que surgen como diferentes límites de la teoría M resultan estar relacionadas de maneras muy no triviales. Una de las relaciones que puede existir entre estas diferentes teorías físicas se llama dualidad S. Esta es una relación que dice que una colección de partículas que interactúan fuertemente en una teoría puede, en algunos casos, ser vista como una colección de partículas que interactúan débilmente en una teoría completamente diferente. En términos generales, se dice que una colección de partículas interactúa fuertemente si se combinan y desintegran con frecuencia y que interactúa débilmente si lo hacen con poca frecuencia. La teoría de cuerdas de tipo I resulta ser equivalente por dualidad S a la${\displaystyle \mathrm {Girar} (32)/\mathbb {Z} _{2}}$teoría de cuerdas heteróticas. De manera similar, la teoría de cuerdas de tipo IIB se relaciona consigo misma de una forma no trivial mediante la dualidad S. ^{[ 10 ]}

Otra relación entre diferentes teorías de cuerdas es la dualidad T. Aquí se consideran cuerdas que se propagan alrededor de una dimensión extra circular. La dualidad T establece que una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio R es equivalente a una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio 1/ R, en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. Por ejemplo, una cuerda tiene momento al propagarse alrededor de un círculo, y también puede enrollarse alrededor del círculo una o más veces. El número de veces que la cuerda se enrolla alrededor de un círculo se llama número de enrollamiento . Si una cuerda tiene momento p y número de enrollamiento n en una descripción, tendrá momento n y número de enrollamiento p en la descripción dual. Por ejemplo, la teoría de cuerdas de tipo IIA es equivalente a la teoría de cuerdas de tipo IIB mediante la dualidad T, y las dos versiones de la teoría de cuerdas heteróticas también están relacionadas por la dualidad T. ^{[ 10 ]}

En general, el término dualidad se refiere a una situación en la que dos sistemas físicos aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si dos teorías están relacionadas por una dualidad, significa que una teoría puede transformarse de tal manera que termine pareciéndose a la otra. Se dice entonces que las dos teorías son duales entre sí bajo dicha transformación. Dicho de otro modo, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes del mismo fenómeno. ^{[ 11 ]}

Otra idea teórica importante que desempeña un papel en la teoría M es la supersimetría . Se trata de una relación matemática que existe en ciertas teorías físicas entre una clase de partículas llamadas bosones y una clase de partículas llamadas fermiones . En términos generales, los fermiones son los constituyentes de la materia, mientras que los bosones median las interacciones entre partículas. En las teorías con supersimetría, cada bosón tiene una contraparte que es un fermión, y viceversa. Cuando la supersimetría se impone como una simetría local, se obtiene automáticamente una teoría de la mecánica cuántica que incluye la gravedad. Dicha teoría se denomina teoría de la supergravedad . ^{[ 12 ]}

Una teoría de cuerdas que incorpora la idea de supersimetría se denomina teoría de supercuerdas . Existen varias versiones diferentes de la teoría de supercuerdas, todas ellas englobadas dentro del marco de la teoría M. A bajas energías , las teorías de supercuerdas se aproximan mediante una de las tres supergravedades en diez dimensiones, conocidas como supergravedad de tipo I , tipo IIA y tipo IIB . De manera similar, la teoría M se aproxima a bajas energías mediante la supergravedad en once dimensiones. ^{[ 3 ]}

En la teoría de cuerdas y teorías relacionadas, como las teorías de supergravedad, una brana es un objeto físico que generaliza la noción de partícula puntual a dimensiones superiores. Por ejemplo, una partícula puntual puede considerarse una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede considerarse una brana de dimensión uno. También es posible considerar branas de dimensiones superiores. En la dimensión p , estas se denominan p -branas. Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo según las reglas de la mecánica cuántica. Pueden tener masa y otros atributos, como carga. Una p -brana abarca un volumen de ( p  +  1) dimensiones en el espacio-tiempo, denominado su volumen de mundo . Los físicos suelen estudiar campos análogos al campo electromagnético que residen en el volumen de mundo de una brana. La palabra brana proviene de la palabra "membrana", que se refiere a una brana bidimensional. ^{[ 13 ]}

En la teoría de cuerdas, los objetos fundamentales que dan origen a las partículas elementales son las cuerdas unidimensionales. Aunque los fenómenos físicos descritos por la teoría M aún no se comprenden del todo, los físicos saben que la teoría describe branas bidimensionales y pentadimensionales. Gran parte de la investigación actual en teoría M intenta comprender mejor las propiedades de estas branas. ^{[ h ]}

A principios del siglo XX, físicos y matemáticos como Albert Einstein y Hermann Minkowski fueron pioneros en el uso de la geometría tetradimensional para describir el mundo físico. ^{[ 14 ]} Estos esfuerzos culminaron en la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein, que relaciona la gravedad con la geometría del espacio-tiempo tetradimensional. ^{[ 15 ]}

El éxito de la relatividad general impulsó los esfuerzos por aplicar la geometría de dimensiones superiores para explicar otras fuerzas. En 1919, el trabajo de Theodor Kaluza demostró que, al pasar al espaciotiempo pentadimensional, se puede unificar la gravedad y el electromagnetismo en una sola fuerza. ^{[ 15 ]} Esta idea fue mejorada por el físico Oskar Klein , quien sugirió que la dimensión adicional propuesta por Kaluza podría adoptar la forma de un círculo con un radio de aproximadamente 10 ⁻³⁰ cm. ^{[ 16 ]}

La teoría de Kaluza-Klein y los posteriores intentos de Einstein por desarrollar la teoría del campo unificado nunca tuvieron un éxito completo. Esto se debió, en parte, a que la teoría de Kaluza-Klein predecía una partícula (el radión ) cuya existencia nunca se ha demostrado, y en parte a que no lograba predecir correctamente la relación entre la masa y la carga de un electrón. Además, estas teorías se desarrollaban justo cuando otros físicos comenzaban a descubrir la mecánica cuántica, que finalmente resultaría exitosa al describir fuerzas conocidas como el electromagnetismo, así como nuevas fuerzas nucleares que se descubrían a mediados de siglo. Por lo tanto, transcurrieron casi cincuenta años antes de que la idea de nuevas dimensiones volviera a tomarse en serio. ^{[ 17 ]}

Nuevos conceptos y herramientas matemáticas aportaron nuevas perspectivas a la relatividad general, dando lugar a un período entre las décadas de 1960 y 1970 conocido como la edad de oro de la relatividad general . ^{[ 18 ]} A mediados de la década de 1970, los físicos comenzaron a estudiar teorías de dimensiones superiores que combinaban la relatividad general con la supersimetría, las llamadas teorías de supergravedad. ^{[ 19 ]}

La relatividad general no impone límites a las posibles dimensiones del espaciotiempo. Aunque la teoría se formula típicamente en cuatro dimensiones, se pueden escribir las mismas ecuaciones para el campo gravitatorio en cualquier número de dimensiones. La supergravedad es más restrictiva porque impone un límite superior al número de dimensiones. ^{[ 12 ]} En 1978, el trabajo de Werner Nahm demostró que la dimensión máxima del espaciotiempo en la que se puede formular una teoría supersimétrica consistente es once. ^{[ 20 ]} Ese mismo año, Eugène Cremmer , Bernard Julia y Joël Scherk de la École Normale Supérieure demostraron que la supergravedad no solo permite hasta once dimensiones, sino que de hecho es más elegante en este número máximo de dimensiones. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Inicialmente, muchos físicos esperaban que, al compactificar la supergravedad de once dimensiones, fuera posible construir modelos realistas de nuestro mundo de cuatro dimensiones. La esperanza era que dichos modelos proporcionaran una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: el electromagnetismo, las fuerzas nucleares fuerte y débil , y la gravedad. El interés en la supergravedad de once dimensiones pronto disminuyó al descubrirse diversas deficiencias en este esquema. Uno de los problemas era que las leyes de la física parecen distinguir entre el sentido horario y el antihorario, un fenómeno conocido como quiralidad . Edward Witten y otros observaron que esta propiedad de quiralidad no puede derivarse fácilmente mediante la compactificación a partir de once dimensiones. ^{[ 22 ]}

En la primera revolución de supercuerdas en 1984, muchos físicos recurrieron a la teoría de cuerdas como una teoría unificada de la física de partículas y la gravedad cuántica. A diferencia de la teoría de la supergravedad, la teoría de cuerdas pudo acomodar la quiralidad del modelo estándar y proporcionó una teoría de la gravedad consistente con los efectos cuánticos. ^{[ 22 ]} Otra característica de la teoría de cuerdas que atrajo a muchos físicos en las décadas de 1980 y 1990 fue su alto grado de unicidad. En las teorías de partículas ordinarias, se puede considerar cualquier conjunto de partículas elementales cuyo comportamiento clásico se describe mediante un lagrangiano arbitrario . En la teoría de cuerdas, las posibilidades son mucho más restringidas: para la década de 1990, los físicos habían argumentado que solo existían cinco versiones supersimétricas consistentes de la teoría. ^{[ 22 ]}

Aunque solo existían unas pocas teorías de supercuerdas consistentes, seguía siendo un misterio por qué no había una única formulación consistente. ^{[ 22 ]} Sin embargo, a medida que los físicos comenzaron a examinar la teoría de cuerdas con mayor detenimiento, se dieron cuenta de que estas teorías están relacionadas de maneras intrincadas y no triviales. ^{[ 23 ]}

A finales de la década de 1970, Claus Montonen y David Olive conjeturaron una propiedad especial de ciertas teorías físicas. ^{[ 24 ]} Una versión más precisa de su conjetura se refiere a una teoría llamada teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 , que describe partículas teóricas formalmente similares a los quarks y gluones que componen los núcleos atómicos . La fuerza con la que interactúan las partículas de esta teoría se mide mediante un número llamado constante de acoplamiento . El resultado de Montonen y Olive, ahora conocido como dualidad de Montonen-Olive , establece que la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 con constante de acoplamiento g es equivalente a la misma teoría con constante de acoplamiento 1/ g . En otras palabras, un sistema de partículas que interactúan fuertemente (constante de acoplamiento grande) tiene una descripción equivalente a la de un sistema de partículas que interactúan débilmente (constante de acoplamiento pequeña) y viceversa ^{[ 25 ]} por espín-momento.

En la década de 1990, varios teóricos generalizaron la dualidad de Montonen-Olive a la relación de dualidad S, que conecta diferentes teorías de cuerdas. Ashoke Sen estudió la dualidad S en el contexto de cuerdas heteróticas en cuatro dimensiones. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Chris Hull y Paul Townsend demostraron que la teoría de cuerdas de tipo IIB con una constante de acoplamiento grande es equivalente, mediante la dualidad S, a la misma teoría con una constante de acoplamiento pequeña. ^{[ 28 ]} Los teóricos también encontraron que diferentes teorías de cuerdas pueden estar relacionadas por la dualidad T. Esta dualidad implica que las cuerdas que se propagan en geometrías espaciotemporales completamente diferentes pueden ser físicamente equivalentes. ^{[ 29 ]}

La teoría de cuerdas extiende la física de partículas ordinaria al reemplazar las partículas puntuales cero-dimensionales por objetos unidimensionales llamados cuerdas. A finales de la década de 1980, era natural que los teóricos intentaran formular otras extensiones en las que las partículas se reemplazan por supermembranas bidimensionales o por objetos de dimensiones superiores llamados branas. Dichos objetos habían sido considerados ya en 1962 por Paul Dirac , ^{[ 30 ]} y fueron reconsiderados por un pequeño pero entusiasta grupo de físicos en la década de 1980. ^{[ 22 ]}

La supersimetría restringe severamente el número posible de dimensiones de una brana. En 1987, Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin y Paul Townsend demostraron que la supergravedad de once dimensiones incluye branas bidimensionales. ^{[ 31 ]} Intuitivamente, estos objetos parecen láminas o membranas que se propagan a través del espaciotiempo de once dimensiones. Poco después de este descubrimiento, Michael Duff , Paul Howe, Takeo Inami y Kellogg Stelle consideraron una compactificación particular de la supergravedad de once dimensiones con una de las dimensiones enrollada en un círculo. ^{[ 32 ]} En este contexto, se puede imaginar la membrana envolviendo la dimensión circular. Si el radio del círculo es suficientemente pequeño, esta membrana se parece a una cuerda en el espaciotiempo de diez dimensiones. De hecho, Duff y sus colaboradores demostraron que esta construcción reproduce exactamente las cuerdas que aparecen en la teoría de supercuerdas de tipo IIA. ^{[ 25 ]}

En 1990, Andrew Strominger publicó un resultado similar que sugería que las cuerdas con interacción fuerte en diez dimensiones podrían tener una descripción equivalente en términos de branas de cinco dimensiones con interacción débil. ^{[ 33 ]} Inicialmente, los físicos no pudieron probar esta relación por dos razones importantes. Por un lado, la dualidad de Montonen-Olive aún no se había demostrado, por lo que la conjetura de Strominger era aún más tenue. Por otro lado, existían muchos problemas técnicos relacionados con las propiedades cuánticas de las branas de cinco dimensiones. ^{[ 34 ]} El primero de estos problemas se resolvió en 1993 cuando Ashoke Sen estableció que ciertas teorías físicas requieren la existencia de objetos con carga eléctrica y magnética , predichos por el trabajo de Montonen y Olive. ^{[ 35 ]}

A pesar de este progreso, la relación entre cuerdas y branas pentadimensionales seguía siendo conjetural, ya que los teóricos no podían cuantizar las branas. A partir de 1991, un equipo de investigadores, entre los que se encontraban Michael Duff, Ramzi Khuri, Jianxin Lu y Ruben Minasian, consideró una compactificación especial de la teoría de cuerdas en la que cuatro de las diez dimensiones se enrollan. Si se considera una brana pentadimensional enrollada alrededor de estas dimensiones adicionales, entonces la brana se asemeja a una cuerda unidimensional. De esta forma, la relación conjetural entre cuerdas y branas se redujo a una relación entre cuerdas y cuerdas, y esta última pudo comprobarse utilizando técnicas teóricas ya establecidas. ^{[ 29 ]}

En su intervención en Strings '95 en la Universidad del Sur de California en 1995, Edward Witten, del Instituto de Estudios Avanzados, sugirió sorprendentemente que las cinco teorías de supercuerdas eran, de hecho, casos límite diferentes de una única teoría en once dimensiones espaciotemporales. El anuncio de Witten reunió todos los resultados previos sobre la dualidad S y T y la aparición de branas bidimensionales y pentadimensionales en la teoría de cuerdas. ^{[ 36 ]} En los meses posteriores al anuncio de Witten, cientos de nuevos artículos aparecieron en Internet confirmando que la nueva teoría involucraba membranas de manera importante. ^{[ 37 ]} Hoy en día, esta intensa actividad se conoce como la segunda revolución de las supercuerdas . ^{[ 38 ]}

Uno de los desarrollos importantes tras el anuncio de Witten fue su trabajo en 1996 con el teórico de cuerdas Petr Hořava . ^{[ 39 ] [ 40 ]} Witten y Hořava estudiaron la teoría M en una geometría especial del espaciotiempo con dos componentes de frontera de diez dimensiones. Su trabajo arrojó luz sobre la estructura matemática de la teoría M y sugirió posibles maneras de conectar la teoría M con la física del mundo real. ^{[ 41 ]}

Inicialmente, algunos físicos sugirieron que la nueva teoría era una teoría fundamental de las membranas, pero Witten se mostró escéptico sobre el papel de las membranas en la teoría. En un artículo de 1996, Hořava y Witten escribieron:

Dado que se ha propuesto que la teoría de once dimensiones es una teoría de supermembranas, pero existen algunas razones para dudar de esa interpretación, la llamaremos, sin comprometernos, teoría M, dejando para el futuro la relación de M con las membranas. ^{[ 39 ]}

Ante la falta de comprensión del verdadero significado y estructura de la teoría M, Witten sugirió que la M debería significar "magia", "misterio" o "membrana", según el gusto, y que el verdadero significado del título debería decidirse cuando se conociera una formulación más fundamental de la teoría. ^{[ 1 ]} Años después, declararía: "Pensé que mis colegas entenderían que realmente significaba membrana. Desafortunadamente, causó confusión". ^{[ 42 ]}

En matemáticas, una matriz es una disposición rectangular de números u otros datos. En física, un modelo matricial es un tipo particular de teoría física cuya formulación matemática involucra la noción de matriz de manera importante. Un modelo matricial describe el comportamiento de un conjunto de matrices dentro del marco de la mecánica cuántica. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Un ejemplo importante de modelo matricial es el modelo matricial BFSS propuesto por Tom Banks , Willy Fischler , Stephen Shenker y Leonard Susskind en 1997. Esta teoría describe el comportamiento de un conjunto de nueve matrices grandes. En su artículo original, estos autores demostraron, entre otras cosas, que el límite de baja energía de este modelo matricial se describe mediante la supergravedad de once dimensiones. Estos cálculos los llevaron a proponer que el modelo matricial BFSS es exactamente equivalente a la teoría M. Por lo tanto, el modelo matricial BFSS puede utilizarse como prototipo para una formulación correcta de la teoría M y como herramienta para investigar las propiedades de la teoría M en un entorno relativamente simple. ^{[ 43 ]}

En geometría, a menudo resulta útil introducir coordenadas . Por ejemplo, para estudiar la geometría del plano euclidiano , se definen las coordenadas x e y como las distancias entre cualquier punto del plano y un par de ejes . En geometría ordinaria, las coordenadas de un punto son números, por lo que se pueden multiplicar, y el producto de dos coordenadas no depende del orden de la multiplicación. Es decir, xy = yx . Esta propiedad de la multiplicación se conoce como ley conmutativa , y esta relación entre la geometría y el álgebra conmutativa de coordenadas es el punto de partida de gran parte de la geometría moderna. ^{[ 45 ]}

La geometría no conmutativa es una rama de las matemáticas que intenta generalizar esta situación. En lugar de trabajar con números ordinarios, se consideran objetos similares, como matrices, cuya multiplicación no satisface la ley conmutativa (es decir, objetos para los que xy no es necesariamente igual a yx ). Se imagina que estos objetos no conmutativos son coordenadas en una noción más general de "espacio" y se demuestran teoremas sobre estos espacios generalizados aprovechando la analogía con la geometría ordinaria. ^{[ 46 ]}

En un artículo de 1998, Alain Connes , Michael R. Douglas y Albert Schwarz demostraron que algunos aspectos de los modelos matriciales y la teoría M se describen mediante una teoría cuántica de campos no conmutativa , un tipo especial de teoría física en la que las coordenadas en el espacio-tiempo no satisfacen la propiedad de conmutatividad. ^{[ 44 ]} Esto estableció un vínculo entre los modelos matriciales y la teoría M, por un lado, y la geometría no conmutativa, por otro. Rápidamente condujo al descubrimiento de otros vínculos importantes entre la geometría no conmutativa y diversas teorías físicas. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

La aplicación de la mecánica cuántica a objetos físicos como el campo electromagnético, que se extienden en el espacio y el tiempo, se conoce como teoría cuántica de campos . ^{[ i ]} En física de partículas, las teorías cuánticas de campos constituyen la base de nuestra comprensión de las partículas elementales, que se modelan como excitaciones en los campos fundamentales. Las teorías cuánticas de campos también se utilizan en toda la física de la materia condensada para modelar objetos similares a partículas llamados cuasipartículas . ^{[ j ]}

Una forma de formular la teoría M y estudiar sus propiedades la proporciona la correspondencia anti-de Sitter/teoría de campos conformes (AdS/CFT) . Propuesta por Juan Maldacena a finales de 1997, la correspondencia AdS/CFT es un resultado teórico que implica que la teoría M es, en algunos casos, equivalente a una teoría cuántica de campos. ^{[ 49 ]} Además de aportar información sobre la estructura matemática de la teoría de cuerdas y la teoría M, la correspondencia AdS/CFT ha esclarecido muchos aspectos de la teoría cuántica de campos en regímenes donde las técnicas de cálculo tradicionales resultan ineficaces. ^{[ 50 ]}

En la correspondencia AdS/CFT, la geometría del espaciotiempo se describe en términos de una cierta solución de vacío de la ecuación de Einstein llamada espacio anti-de Sitter . ^{[ 51 ]} En términos muy elementales, el espacio anti-de Sitter es un modelo matemático del espaciotiempo en el que la noción de distancia entre puntos (la métrica ) es diferente de la noción de distancia en la geometría euclidiana ordinaria . Está estrechamente relacionado con el espacio hiperbólico , que puede verse como un disco como se ilustra a la izquierda. ^{[ 52 ]} Esta imagen muestra una teselación de un disco por triángulos y cuadrados. Se puede definir la distancia entre los puntos de este disco de tal manera que todos los triángulos y cuadrados tengan el mismo tamaño y el límite exterior circular esté infinitamente lejos de cualquier punto en el interior. ^{[ 53 ]}

Ahora imaginemos una pila de discos hiperbólicos donde cada disco representa el estado del universo en un momento dado. El objeto geométrico resultante es el espacio anti-de Sitter tridimensional. ^{[ 52 ]} Tiene la apariencia de un cilindro sólido en el que cualquier sección transversal es una copia del disco hiperbólico. En esta imagen, el tiempo transcurre en la dirección vertical. La superficie de este cilindro juega un papel importante en la correspondencia AdS/CFT. Al igual que el plano hiperbólico, el espacio anti-de Sitter está curvado de tal manera que cualquier punto en su interior se encuentra, en realidad, infinitamente lejos de esta superficie límite. ^{[ 53 ]}

Esta construcción describe un universo hipotético con solo dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal, pero puede generalizarse a cualquier número de dimensiones. De hecho, el espacio hiperbólico puede tener más de dos dimensiones y se pueden "apilar" copias del espacio hiperbólico para obtener modelos de dimensiones superiores del espacio anti-de Sitter. ^{[ 52 ]}

Una característica importante del espacio anti-de Sitter es su frontera (que se asemeja a un cilindro en el caso del espacio anti-de Sitter tridimensional). Una propiedad de esta frontera es que, dentro de una pequeña región en la superficie alrededor de cualquier punto dado, se asemeja al espacio de Minkowski , el modelo de espaciotiempo utilizado en la física no gravitacional. ^{[ 54 ]} Por lo tanto, se puede considerar una teoría auxiliar en la que el "espaciotiempo" viene dado por la frontera del espacio anti-de Sitter. Esta observación es el punto de partida de la correspondencia AdS/CFT, que establece que la frontera del espacio anti-de Sitter puede considerarse como el "espaciotiempo" para una teoría cuántica de campos. La afirmación es que esta teoría cuántica de campos es equivalente a la teoría gravitacional en el espacio anti-de Sitter en el sentido de que existe un "diccionario" para traducir entidades y cálculos de una teoría a sus contrapartes en la otra. Por ejemplo, una sola partícula en la teoría gravitacional podría corresponder a alguna colección de partículas en la teoría de frontera. Además, las predicciones de ambas teorías son cuantitativamente idénticas, de modo que si dos partículas tienen un 40 por ciento de probabilidad de colisionar en la teoría gravitacional, entonces las colecciones correspondientes en la teoría de frontera también tendrían un 40 por ciento de probabilidad de colisionar. ^{[ 55 ]}

Una realización particular de la correspondencia AdS/CFT establece que la teoría M en el espacio producto AdS ₇ × S ⁴ es equivalente a la llamada teoría (2,0) en el límite de seis dimensiones. ^{[ 49 ]} Aquí "(2,0)" se refiere al tipo particular de supersimetría que aparece en la teoría. En este ejemplo, el espaciotiempo de la teoría gravitacional es efectivamente de siete dimensiones (de ahí la notación AdS ₇ ), y hay cuatro dimensiones " compactas " adicionales (codificadas por el factor S ⁴ ). En el mundo real, el espaciotiempo es de cuatro dimensiones, al menos macroscópicamente, por lo que esta versión de la correspondencia no proporciona un modelo realista de la gravedad. Del mismo modo, la teoría dual no es un modelo viable de ningún sistema del mundo real, ya que describe un mundo con seis dimensiones espaciotemporales. ^{[ k ]}

Sin embargo, la teoría (2,0) ha demostrado ser importante para el estudio de las propiedades generales de las teorías cuánticas de campos. De hecho, esta teoría engloba muchas teorías cuánticas de campos efectivas de interés matemático y señala nuevas dualidades que relacionan estas teorías. Por ejemplo, Luis Alday, Davide Gaiotto y Yuji Tachikawa demostraron que al compactificar esta teoría en una superficie , se obtiene una teoría cuántica de campos de cuatro dimensiones, y existe una dualidad conocida como la correspondencia AGT que relaciona la física de esta teoría con ciertos conceptos físicos asociados a la superficie misma. ^{[ 56 ]} Más recientemente, los teóricos han extendido estas ideas para estudiar las teorías obtenidas al compactificar hasta tres dimensiones. ^{[ 57 ]}

Además de sus aplicaciones en la teoría cuántica de campos, la teoría (2,0) ha generado resultados importantes en matemáticas puras . Por ejemplo, Witten utilizó la existencia de la teoría (2,0) para dar una explicación "física" a una relación conjetural en matemáticas llamada correspondencia geométrica de Langlands . ^{[ 58 ]} En trabajos posteriores, Witten demostró que la teoría (2,0) podía utilizarse para comprender un concepto matemático llamado homología de Khovanov . ^{[ 59 ]} Desarrollada por Mikhail Khovanov alrededor del año 2000, la homología de Khovanov proporciona una herramienta en la teoría de nudos , la rama de las matemáticas que estudia y clasifica las diferentes formas de los nudos. ^{[ 60 ]} Otra aplicación de la teoría (2,0) en matemáticas es el trabajo de Davide Gaiotto , Greg Moore y Andrew Neitzke , que utilizó ideas físicas para derivar nuevos resultados en geometría hiperkähler . ^{[ 61 ]}

Otra realización de la correspondencia AdS/CFT establece que la teoría M en AdS ₄ × S ⁷ es equivalente a una teoría cuántica de campos denominada teoría ABJM en tres dimensiones. En esta versión de la correspondencia, siete de las dimensiones de la teoría M se pliegan, dejando cuatro dimensiones no compactas. Dado que el espaciotiempo de nuestro universo es tetradimensional, esta versión de la correspondencia proporciona una descripción algo más realista de la gravedad. ^{[ 62 ]}

La teoría ABJM que aparece en esta versión de la correspondencia también resulta interesante por diversas razones. Introducida por Aharony, Bergman, Jafferis y Maldacena, está estrechamente relacionada con otra teoría cuántica de campos denominada teoría de Chern-Simons . Esta última fue popularizada por Witten a finales de la década de 1980 debido a sus aplicaciones a la teoría de nudos. ^{[ 63 ]} Además, la teoría ABJM sirve como un modelo simplificado semirrealista para resolver problemas que surgen en la física de la materia condensada. ^{[ 62 ]}

Además de ser una idea de considerable interés teórico, la teoría M proporciona un marco para construir modelos de la física del mundo real que combinan la relatividad general con el Modelo Estándar de la física de partículas . La fenomenología es la rama de la física teórica en la que los físicos construyen modelos realistas de la naturaleza a partir de ideas teóricas más abstractas. La fenomenología de cuerdas es la parte de la teoría de cuerdas que intenta construir modelos realistas de la física de partículas basados ​​en la teoría de cuerdas y la teoría M. ^{[ 64 ]}

Típicamente, tales modelos se basan en la idea de compactificación. ^{[ l ]} Partiendo del espaciotiempo de diez u once dimensiones de la teoría de cuerdas o M, los físicos postulan una forma para las dimensiones extra. Al elegir esta forma apropiadamente, pueden construir modelos aproximadamente similares al modelo estándar de la física de partículas, junto con partículas adicionales no descubiertas, ^{[ 65 ]} generalmente compañeras supersimétricas de análogos de partículas conocidas. Una forma popular de derivar física realista de la teoría de cuerdas es comenzar con la teoría heterótica en diez dimensiones y asumir que las seis dimensiones extra del espaciotiempo tienen la forma de una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones . Este es un tipo especial de objeto geométrico que recibe su nombre de los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau . ^{[ 66 ]} Las variedades de Calabi-Yau ofrecen muchas formas de extraer física realista de la teoría de cuerdas. Se pueden utilizar otros métodos similares para construir modelos con una física que se asemeje en cierta medida a la de nuestro mundo de cuatro dimensiones basado en la teoría M. ^{[ 67 ]}

En parte debido a dificultades teóricas y matemáticas, y en parte debido a las energías extremadamente altas (más allá de lo tecnológicamente posible en un futuro previsible) necesarias para probar experimentalmente estas teorías, hasta el momento no existe evidencia experimental que indique inequívocamente que alguno de estos modelos sea una descripción fundamental correcta de la naturaleza. Esto ha llevado a algunos miembros de la comunidad a criticar estos enfoques de unificación y a cuestionar el valor de continuar investigando estos problemas. ^{[ 68 ]}

_{En un enfoque de la fenomenología de la teoría M, los teóricos asumen que las siete dimensiones extra de la} teoría M tienen la forma de una _variedad G2 . Esta es una forma especial de siete dimensiones construida por el matemático Dominic Joyce de la Universidad de Oxford . ^{[ 69 ]} Estas variedades G2 aún no se comprenden bien matemáticamente, y este hecho ha dificultado que los físicos desarrollen completamente este enfoque de la fenomenología. ^{[ 70 ]}

Por ejemplo, los físicos y matemáticos suelen asumir que el espacio posee una propiedad matemática denominada suavidad , pero esta propiedad no puede asumirse en el caso de una _variedad G2 si se desea recuperar la física de nuestro mundo tetradimensional. Otro problema es que las variedades G2 no son variedades complejas , por lo que los teóricos no pueden utilizar herramientas de la rama de las matemáticas conocida como _análisis complejo . Finalmente, existen muchas incógnitas sobre la existencia, unicidad y otras propiedades matemáticas de _{las variedades} G2 , y los matemáticos carecen de un método sistemático para buscarlas. ^{[ 70 ]}

Debido a las dificultades con las _variedades G2 , la mayoría de los intentos de construir teorías realistas de la física basadas en la teoría M han adoptado un enfoque más indirecto para compactificar el espaciotiempo de once dimensiones. Un enfoque, impulsado por Witten, Hořava, Burt Ovrut y otros, se conoce como teoría M heterótica. En este enfoque, se imagina que una de las once dimensiones de la teoría M tiene forma de círculo. Si este círculo es muy pequeño, el espaciotiempo se convierte efectivamente en diez dimensiones. Se supone entonces que seis de las diez dimensiones forman una variedad de Calabi-Yau. Si esta variedad de Calabi-Yau también se considera pequeña, se obtiene una teoría en cuatro dimensiones. ^{[ 70 ]}

La teoría M heterótica se ha utilizado para construir modelos de cosmología de branas en los que se cree que el universo observable existe en una brana en un espacio ambiente de dimensiones superiores. También ha dado lugar a teorías alternativas del universo primitivo que no se basan en la teoría de la inflación cósmica . ^{[ 70 ]}