MÚSICA (algoritmo)

MUSIC ( Clasificación de Señales Múltiples ) es un algoritmo utilizado para la estimación de frecuencia ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} y la localización de dirección de radio . ^{[ 4 ]}

En muchos problemas prácticos de procesamiento de señales , el objetivo es estimar, a partir de mediciones, un conjunto de parámetros constantes de los que dependen las señales recibidas. Se han propuesto varios enfoques para abordar estos problemas, entre ellos el método de máxima verosimilitud (ML) de Capon (1969) y el método de máxima entropía (ME) de Burg. Si bien suelen ser eficaces y ampliamente utilizados, estos métodos presentan ciertas limitaciones fundamentales (especialmente sesgo y sensibilidad en las estimaciones de parámetros), principalmente porque emplean un modelo incorrecto (por ejemplo, AR en lugar de ARMA especial ) de las mediciones.

Pisarenko (1973) fue uno de los primeros en explotar la estructura del modelo de datos , haciéndolo en el contexto de la estimación de parámetros de sinusoides complejos en ruido aditivo mediante un enfoque de covarianza. Schmidt (1977), mientras trabajaba en Northrop Grumman , y de forma independiente Bienvenu y Kopp (1979), fueron los primeros en explotar correctamente el modelo de medición en el caso de matrices de sensores de forma arbitraria. Schmidt, en particular, lo logró derivando primero una solución geométrica completa en ausencia de ruido, y luego extendiendo ingeniosamente los conceptos geométricos para obtener una solución aproximada razonable en presencia de ruido. El algoritmo resultante se denominó MUSIC (clasificación de señales múltiples) y ha sido ampliamente estudiado.

En una evaluación detallada basada en miles de simulaciones, el Laboratorio Lincoln del Instituto Tecnológico de Massachusetts concluyó en 1998 que, entre los algoritmos de alta resolución actualmente aceptados, MUSIC era el más prometedor y un candidato principal para un estudio más profundo y una implementación real en hardware. ^{[ 5 ]} Sin embargo, aunque las ventajas de rendimiento de MUSIC son sustanciales, se logran a un costo en computación (búsqueda en el espacio de parámetros ) y almacenamiento (de datos de calibración de la matriz). ^{[ 6 ]}

El método MUSIC asume que un vector de señal,${\displaystyle \mathbf {x} }$, consta de${\displaystyle p}$exponenciales complejas, cuyas frecuencias${\displaystyle \omega }$son desconocidos, en presencia de ruido blanco gaussiano,${\displaystyle \mathbf {n} }$, según lo establecido por el modelo lineal

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .}$

Aquí${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _ {1}),\cdots,\mathbf {a} (\omega _ {p})]}$es un${\displaystyle M\times p}$Matriz de vectores de dirección de Vandermonde${\displaystyle \mathbf {a} (\omega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega },\ldots ,e^{j(M-1)\omega }]^{T}}$y${\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{p}]^{T}}$es el vector de amplitud. Tenga en cuenta que la formulación de la matriz del vector de dirección como Vandermonde supone que las señales inciden en una matriz lineal uniforme. Otra suposición crucial es que el número de fuentes,${\displaystyle p}$, es menor que el número de elementos en el vector de medición,${\displaystyle M}$, es decir${\displaystyle p<M}$.

El${\displaystyle M\times M}$matriz de autocorrelación de${\displaystyle \mathbf {x} }$entonces se da por

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I} ,}$

dónde${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza del ruido,${\displaystyle \mathbf {I} }$es${\displaystyle M\times M}$matriz identidad y${\displaystyle \mathbf {R} _{s}}$es el${\displaystyle p\times p}$matriz de autocorrelación de${\displaystyle \mathbf {s} }$.

La matriz de autocorrelación${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$Tradicionalmente se estima utilizando la matriz de correlación de muestras.

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}}$

dónde:

${\displaystyle N>M}$es el número de observaciones vectoriales,

${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]}$y

${\displaystyle \mathbf {X} ^{H}}$denota la transpuesta conjugada de${\displaystyle \mathbf {X} }$

Dado el estimado de${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$MUSIC estima el contenido de frecuencia de la señal o matriz de autocorrelación utilizando un método de espacio propio .

Desde${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$es una matriz hermitiana , todo su${\displaystyle M}$vectores propios${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$son ortogonales entre sí. Si los valores propios de${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$están ordenados en orden descendente, los autovectores${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}}$correspondiente a la${\displaystyle p}$Los autovalores más grandes (es decir, las direcciones de mayor variabilidad) abarcan el subespacio de la señal.${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$. El restante${\displaystyle Mp}$Los vectores propios corresponden a valores propios iguales a${\displaystyle \sigma ^{2}}$y abarcar el subespacio de ruido${\displaystyle {\mathcal {U}}_ {N}}$, que es ortogonal al subespacio de la señal ,${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}\perp {\mathcal {U}}_{N}}$.

Tenga en cuenta que para${\displaystyle M=p+1}$MUSIC es idéntico a la descomposición armónica de Pisarenko . La idea general detrás del método MUSIC es utilizar todos los autovectores que abarcan el subespacio de ruido para mejorar el rendimiento del estimador de Pisarenko.

Dado que cualquier vector de señal${\displaystyle \mathbf {e} }$que reside en el subespacio de la señal${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$debe ser ortogonal al subespacio de ruido,${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_ {N}}$, debe ser que${\displaystyle \mathbf {e} \perp \mathbf {v} _{i}}$para todos los autovectores${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M}}$que abarca el subespacio de ruido. Para medir el grado de ortogonalidad de${\displaystyle \mathbf {e} }$con respecto a todos los${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}}_{N}}$El algoritmo MUSIC define una norma al cuadrado.

${\displaystyle d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}$

donde la matriz${\displaystyle \mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]}$es la matriz de vectores propios que abarcan el subespacio de ruido.${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$. Si${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$, entonces${\displaystyle d^{2}=0}$como lo implica la condición de ortogonalidad. Tomar el recíproco de la expresión de la norma al cuadrado crea picos pronunciados en las frecuencias de la señal. La función de estimación de frecuencia para MUSIC (o el pseudoespectro) es

${\displaystyle {\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},}$

dónde${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$son los vectores propios del ruido y

${\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}}$

es el vector de dirección candidato. Las ubicaciones de los${\displaystyle p}$Los picos más grandes de la función de estimación dan las estimaciones de frecuencia para la${\displaystyle p}$componentes de la señal

${\displaystyle {\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).}$

MUSIC es una generalización del método de Pisarenko y se reduce al método de Pisarenko cuando${\displaystyle M=p+1}$En el método de Pisarenko, se utiliza un único vector propio para formar el denominador de la función de estimación de frecuencia; este vector se interpreta como un conjunto de coeficientes autorregresivos , cuyos ceros pueden hallarse analíticamente o mediante algoritmos de búsqueda de raíces polinómicas. En cambio, MUSIC asume que se han sumado varias funciones de este tipo, por lo que es posible que no existan ceros. En su lugar, existen mínimos locales, que pueden localizarse mediante la búsqueda computacional de picos en la función de estimación.

La observación fundamental en la que se basan MUSIC y otros métodos de descomposición de subespacios tiene que ver con el rango de la matriz de autocorrelación.${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$lo cual está relacionado con el número de fuentes de señal.${\displaystyle p}$como sigue.

Si las fuentes son complejas, entonces${\displaystyle M>p}$y la dimensión del subespacio de la señal${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$es${\displaystyle p}$Si las fuentes son reales, entonces${\displaystyle M>2p}$y la dimensión del subespacio de la señal es${\displaystyle 2p}$, es decir, cada sinusoide real se genera mediante dos vectores base.

Este resultado fundamental, aunque a menudo se omite en los libros de análisis espectral, es una razón por la cual la señal de entrada se puede distribuir en${\displaystyle p}$vectores propios del subespacio de señal que abarcan${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$(${\displaystyle 2p}$para señales de valor real) y vectores propios del subespacio de ruido que abarcan${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$Se basa en la teoría de incrustación de señales ^{[ 2 ] [ 7 ]} y también puede explicarse mediante la teoría topológica de variedades . ^{[ 4 ]}

MUSIC supera a métodos sencillos como la selección de picos en espectros DFT en presencia de ruido, cuando se conoce de antemano el número de componentes, porque aprovecha el conocimiento de este número para ignorar el ruido en su informe final.

A diferencia de la DFT, es capaz de estimar frecuencias con una precisión superior a una muestra, ya que su función de estimación puede evaluarse para cualquier frecuencia, no solo para las de los intervalos de la DFT. Esto constituye una forma de superresolución .

Su principal desventaja es que requiere conocer de antemano el número de componentes, por lo que el método original no puede utilizarse en casos más generales. Existen métodos para estimar el número de componentes de la fuente a partir únicamente de las propiedades estadísticas de la matriz de autocorrelación. Véase, por ejemplo, ^{[ 8 ].} Además, MUSIC presupone que las fuentes coexistentes no están correlacionadas, lo que limita sus aplicaciones prácticas.

Los métodos semiparamétricos iterativos recientes ofrecen una superresolución robusta a pesar de las fuentes altamente correlacionadas, por ejemplo, SAMV ^{[ 9 ] [ 10 ].}

Otra limitación es la necesidad de múltiples instantáneas de observación. El algoritmo MUSIC estándar estima la matriz de autocorrelación R _x a partir de L instantáneas independientes mediante promediado temporal. Para un arreglo de M elementos, la matriz de covarianza de muestra construida a partir de una sola instantánea ( L = 1) tiene rango uno, lo cual es insuficiente para descomponer el espacio de observación en subespacios de señal y ruido cuando hay más de una señal presente. La separación confiable de subespacios generalmente requiere L ≥ 2 M instantáneas. Este requisito de múltiples instantáneas introduce latencia y limita la aplicabilidad de MUSIC en entornos que cambian rápidamente donde los parámetros de la señal pueden variar entre instantáneas. Se han desarrollado varios enfoques para reducir o eliminar este requisito, incluyendo el suavizado espacial para arreglos lineales uniformes ^{[ 11 ]} y métodos de instantánea única basados ​​en construcciones de matrices de Hankel o Toeplitz que explotan la estructura invariante a la traslación de la variedad del arreglo ^{[ 12 ] .}

Una versión modificada de MUSIC, denominada MUSIC de inversión temporal (TR-MUSIC), se ha aplicado recientemente a la obtención de imágenes computacionales de inversión temporal. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

El algoritmo MUSIC se ha implementado como una biblioteca C de código abierto (libmusic) y también como una implementación en MATLAB con el mismo nombre . Aunque originalmente se desarrolló para detectar y eliminar tonos DTMF , ambas son aplicables a cualquier número de componentes de frecuencia. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• Estimación de la densidad espectral
• Periodograma
• Filtro compatible
• Método de Welch
• Método de Bartlett
• SAMV (algoritmo)
• Radiogoniometría
• Algoritmo de detección de tono
• Microscopía de alta resolución

• La estimación y el seguimiento de la frecuencia, Quinn y Hannan, Cambridge University Press 2001.