Equilibrio M

El equilibrio M es un concepto de solución con valores de conjunto en la teoría de juegos que relaja los supuestos de elección racional de maximización perfecta ("sin errores") y creencias perfectas ("sin sorpresas"). El concepto se puede aplicar a cualquier juego en forma normal con estrategias finitas y discretas. El equilibrio M fue introducido por primera vez por Jacob K. Goeree y Philippos Louis. ^{[ 1 ]}

Un amplio conjunto de trabajos en teoría de juegos experimental ha documentado desviaciones sistemáticas del equilibrio de Nash, la piedra angular de la teoría de juegos clásica. ^{[ 2 ]} La falta de apoyo empírico para el equilibrio de Nash llevó al propio Nash a regresar a la investigación en matemáticas puras . ^{[ 3 ]} Selten, quien compartió el Premio Nobel de 1994 con Nash, concluyó asimismo que «la teoría de juegos sirve para demostrar teoremas, no para jugar». ^{[ 4 ]} El equilibrio M está motivado por el deseo de una teoría de juegos empíricamente relevante.

El equilibrio M logra esto reemplazando los dos supuestos principales que subyacen a la teoría clásica de juegos, la maximización perfecta y las expectativas racionales , con las nociones más débiles de monotonicidad ordinal (las probabilidades de elección de los jugadores se clasifican de la misma manera que las recompensas esperadas en función de sus creencias) y consistencia ordinal (las creencias de los jugadores producen la misma clasificación de las recompensas esperadas que sus elecciones).

Los equilibrios M no se derivan de los puntos fijos que se obtienen al imponer expectativas racionales y que han dominado la economía durante mucho tiempo. En cambio, el marco matemático utilizado para caracterizar los equilibrios M es la geometría semialgebraica . Curiosamente, parte de este marco fue desarrollado por el propio Nash. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} La caracterización de los equilibrios M como conjuntos semialgebraicos permite realizar predicciones matemáticamente precisas y empíricamente comprobables.

El equilibrio M se basa en las dos condiciones siguientes:

• Monotonicidad ordinal: las probabilidades de elección se clasifican de la misma manera que las recompensas esperadas según las creencias de los jugadores. Esto reemplaza el supuesto de "maximización perfecta".
• Consistencia ordinal: las creencias del jugador generan la misma clasificación de recompensas esperadas que sus elecciones. Esto reemplaza la suposición de expectativas racionales o creencias perfectas.

Dejar${\displaystyle \sigma ^{c}}$y${\displaystyle \sigma ^{b}}$denotemos las concatenaciones de los perfiles de elección y creencia de los jugadores respectivamente, y sea${\displaystyle rango}$y${\displaystyle \pi }$denotamos las concatenaciones de las correspondencias de rango de los jugadores y las funciones de ganancias. Escribimos${\displaystyle \pi (\sigma ^{b})}$para el perfil de pagos esperados en función de las creencias de los jugadores y${\displaystyle \pi (\sigma ^{c})}$para el perfil de pagos esperados cuando las creencias son correctas, es decir${\displaystyle \sigma _{i}^{b}=\sigma ^{c}}$para${\displaystyle i\in N}$. El conjunto de perfiles de elección posibles es${\displaystyle \Sigma =\Pi _{i\in N}\Sigma _{i}}$y el conjunto de posibles perfiles de creencias es${\displaystyle \Sigma ^{n}}$.

Definición: Decimos${\displaystyle ({\overline {M^{c}}},{\overline {M^{b}}})\subseteq \Sigma \times \Sigma ^{n}}$forman un equilibrio M si son los cierres de los conjuntos no vacíos más grandes.${\displaystyle M^{c}}$y${\displaystyle M^{b}}$que satisfacen:

$${\displaystyle rank(\sigma ^{c})\subseteq rank(\pi (\sigma ^{b}))=rank(\pi (\sigma ^{c}))}$$

a pesar de${\displaystyle \sigma ^{c}\in M^{c}}$,${\displaystyle \sigma ^{b}\in M^{b}}$.

Se puede demostrar que, en general, los equilibrios M satisfacen las siguientes propiedades:

1. Los equilibrios M tienen medida positiva en${\displaystyle \Sigma \times \Sigma ^{n}}$
2. Los equilibrios M son "coloreables" mediante un vector de rango único.
3. Los equilibrios de Nash surgen como puntos límite de algún equilibrio M.

El número de equilibrios M puede ser par o impar, y menor, igual o mayor que el número de equilibrios de Nash. Además, cualquier equilibrio M puede contener cero, uno o varios equilibrios de Nash. Es importante destacar que la medida de cualquier conjunto de opciones de equilibrio M está acotada y disminuye exponencialmente con el número de jugadores y el número de opciones posibles.

Sorprendentemente, el equilibrio M "envuelve mínimamente" varios modelos paramétricos basados ​​en puntos fijos, incluido el Equilibrio de Respuesta Cuántica . ^{[ 1 ]} Sin embargo, a diferencia del QRE, el equilibrio M no tiene parámetros, es fácil de calcular y no impone la condición de expectativas racionales de creencias homogéneas y correctas.

El interior de un conjunto de equilibrio M coloreado consiste en elecciones y creencias que son conductualmente estables. Un perfil es conductualmente estable cuando pequeñas perturbaciones en el juego no destruyen su naturaleza de equilibrio. Por lo tanto, un equilibrio M es conductualmente estable cuando permanece como tal incluso después de perturbar el juego. La estabilidad conductual es un fortalecimiento del concepto de estabilidad estratégica . ^{[ 1 ] [ 8 ]}

• Racionalidad limitada
• Teoría de juegos conductual