Método MacCormack

En dinámica de fluidos computacional , el método de MacCormack (/məˈkɔːrmæk ˈmɛθəd/) es un esquema de discretización ampliamente utilizado para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . Este método de diferencias finitas de segundo orden fue introducido por Robert W. MacCormack en 1969. ^{[ 1 ]} El método de MacCormack es elegante y fácil de entender y programar. ^{[ 2 ]}

El método de MacCormack está diseñado para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de la forma

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u)}{\partial x}}=0}$

Para actualizar esta ecuación un paso de tiempo${\displaystyle \Delta t}$en una cuadrícula con espaciado${\displaystyle \Delta x}$en la celda de la cuadrícula${\displaystyle i}$, el método MacCormack utiliza un "paso predictivo" y un "paso corrector", que se muestran a continuación ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(f_{i+1}^{n}-f_{i}^{n}\right)\\&u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{p})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(f_{i}^{p}-f_{i-1}^{p})\end{aligned}}}$

Para ilustrar el algoritmo, consideremos la siguiente ecuación hiperbólica de primer orden.

${\displaystyle \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

La aplicación del método de MacCormack a la ecuación anterior se realiza en dos pasos: un paso predictivo seguido de un paso corrector .

Paso predictivo: En el paso predictivo, un valor "provisional" de${\displaystyle u}$a nivel de tiempo${\displaystyle n+1}$(denotado por${\displaystyle u_{i}^{p}}$) se estima de la siguiente manera

${\displaystyle u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)}$

La ecuación anterior se obtiene reemplazando las derivadas espaciales y temporales en la ecuación hiperbólica de primer orden anterior utilizando diferencias finitas hacia adelante .

Paso corrector: En el paso corrector, el valor predicho${\displaystyle u_{i}^{p}}$se corrige según la ecuación

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)}$

Nótese que el paso corrector utiliza aproximaciones de diferencias finitas hacia atrás para la derivada espacial. El paso de tiempo utilizado en el paso corrector es${\displaystyle \Delta t/2}$en contraste con el${\displaystyle \Delta t}$utilizado en el paso predictivo.

Reemplazar el${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}}$término por el promedio temporal

${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}}$

para obtener el paso corrector como

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)}$

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