Cuadrados de MacMahon

Los cuadrados de MacMahon son un rompecabezas de emparejamiento de bordes publicado por primera vez por Percy MacMahon en 1921, ^{[ 1 ]} que utiliza 24 cuadrados únicos con patrones de 3 colores; a cada uno de los cuatro bordes se le asigna un solo color. El conjunto completo de 24 cuadrados se organiza uno al lado del otro haciendo coincidir los colores de los bordes para crear una cuadrícula de 4 por 6. Este tipo de rompecabezas de teselación tiene múltiples variantes, que están determinadas por las restricciones sobre cómo organizar los 24 cuadrados. Este juego también ha sido comercializado en numerosas formas físicas por varias compañías.

El juego

Los cuadrados de MacMahon se publicaron por primera vez en el tratado de Percy Alexander MacMahon de 1921, New Mathematical Pastimes . ^{[ 1 ]} La versión original consistía en una copia de cada uno de los 24 cuadrados diferentes que se pueden formar coloreando los bordes de un cuadrado con uno de tres colores. (Aquí, "diferente" significa hasta rotaciones). El objetivo es organizar los cuadrados en una cuadrícula de 4 por 6 de manera que cuando dos cuadrados comparten un borde, el borde común sea del mismo color en ambos cuadrados.

En 1964, se utilizó una supercomputadora para producir 12.261 soluciones a la versión básica del rompecabezas MacMahon Squares, con un tiempo de ejecución de aproximadamente 40 horas. ^{[ 2 ]}

Teoría

El juego de los cuadrados de MacMahon es un ejemplo de rompecabezas de emparejamiento de aristas. La familia de este tipo de problemas es NP-completa . La primera parte de New Mathematical Diversions describe estos juegos en general, comenzando con formas lineales ( dominós ) y luego profundizando en juegos similares que utilizan fichas con forma de triángulos equiláteros, cuadrados, triángulos isósceles rectángulos, cubos y hexágonos. ^{[ 1 ]}^{: Parte I, 1–49}

Hay un total de 24 cuadrados distintos para 3 colores. Para un número arbitrario de colores $n$ , el número de cuadrados únicos se puede encontrar mediante la expresión ${\frac {n}{4}}\cdot (n+1)\cdot (n^{2}-n+2)$ . ^{[ 1 ]}^{: 3}^{[ 3 ]}

Para otras formas con $n$ Los colores, MacMahon determinó que el número de patrones únicos son:

Triángulo: ${\frac {n}{3}}\cdot (n^{2}+2)$
Pentágono: ${\frac {n}{5}}\cdot (n^{4}+4)$
Hexágono: ${\frac {n}{6}}\cdot (n+1)\cdot (n^{4}-n^{3}+n^{2}+2)$
Heptágono: ${\frac {n}{7}}\cdot (n^{6}+6)$

Por ejemplo, si tenemos un triángulo con tres lados, a cada uno de los cuales se le asigna uno de cuatro colores posibles, existen 56 patrones únicos.

Variantes

Soluciones de ejemplo para los cuadrados de MacMahon
C _1,1,1 B _10,10,0 (Fig. 27)
C _1,2 B _20,0,0 (Fig. 28)
C _1,2 B _12,4,4 (Fig. 28)

Sistema de contacto

En su libro, MacMahon sugirió la capacidad de definir qué bordes pueden contactarse entre sí, basándose en sus colores. Esto se logra mediante una permutación de los 3 colores, descritos por C _a,b,c . ^{[ 1 ]}^{: 6, 23} Aquí, a, b y c representan el cambio de color con el que se pueden emparejar el primer, segundo y tercer color. Un '1' significa que se empareja consigo mismo, y un '2' significa que debe emparejarse con un color diferente.

Por ejemplo, C _1,1,1 representa 1 a 1, 2 a 2 y 3 a 3, ya que cada una de estas correspondencias está representada por el número 1. De manera similar, C _1,2 representa 1 a 1 y 2 a 3, ya que la correspondencia 1 a 1 está representada por el número 1, y la correspondencia entre 2 y 3 está representada por el número 2. Se pueden describir más colores de manera similar. Por ejemplo, una coloración de C _1,2,2,2 representa 1 a 1, 2 a 3, 4 a 5 y 6 a 7.

Desde aquí podemos ver que los únicos números posibles para describir los emparejamientos son 1 y 2, ya que un 3 o superior simplemente omite un color que se usaría de la misma manera en otros casos porque los colores son relativos . ^{[ 1 ]}

Límites

Otra forma de modificar el rompecabezas es restringir qué colores de cuadrados conforman los colores del borde. En el clásico rompecabezas de cuadrados de MacMahon, hay un total de 20 lugares en el borde. ^{[ 1 ]} La cantidad de cada color que puede estar presente en estos 20 lugares se puede describir mediante B _a,b,c^{[ 1 ]} donde a, b y c son la cantidad de cada color de las piezas del borde.

Por ejemplo, B _20,0,0 representa 20 del primer color y ninguno del resto, ya que el primer color ya constituye todos los espacios de borde disponibles. Alternativamente, B _10,10,0 representa 10 del primer color y 10 del siguiente. Se pueden describir más colores de manera similar. Por ejemplo, un límite de B _22,16,8,2 representa 22 del primer color, 16 del segundo, 8 del siguiente y 2 del último color para completar los colores del borde.

Desde aquí podemos ver que los únicos números posibles para describir la cantidad de cada color que compone el límite son números pares, ya que esto implicaría una cantidad impar de otro color, lo que violaría la paridad del número total de triángulos. ^{[ 1 ]}

Rompecabezas análogos

MacMahon Squares, junto con variaciones de la idea, se comercializó bajo el nombre de Multimatch.

Otro rompecabezas con propiedades similares son los Cubos de MacMahon, que consisten en un conjunto de 30 cubos con caras coloreadas de uno de 6 colores diferentes. A diferencia del rompecabezas de Cuadrados de MacMahon, no incluimos los 2226 cubos posibles, sino solo los que contienen exactamente 6 colores distintos y uno de cada uno de los 6 colores. ^{[ 3 ]}

Los cuadrados de MacMahon han servido como base para numerosos otros rompecabezas. Algunos de ellos incluyen el rompecabezas de Nelson, ^{[ 4 ]} el mosaico de Wang y TetraVex .

El juego de mesa comercial Trioker , patentado en 1969 por Marc Odier, utiliza fichas triangulares propuestas por primera vez por MacMahon en 1921.

Notas

↑ La nomenclatura de esta tabla pretende ser independiente de la orientación, comenzando por el/los borde(s) con el valor más bajo y procediendo en sentido antihorario. Por ejemplo, la casilla 1232 tiene el valor de color más bajo, 1, seguido secuencialmente por 2 (inmediatamente en sentido antihorario del valor de color 1), luego 3 y, finalmente, 2 de nuevo.
↑ Con tres colores y cuatro bordes, un color se repetirá al menos una vez.

Enlaces externos

Juega a MacMahon Squares online

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 8 9 MacMahon, PA (1921). Nuevos pasatiempos matemáticos . Cambridge University Press . Recuperado el 19 de diciembre de 2023 .
↑ "Cuadrados de 3 colores de MacMahon" . Consultado el 6 de abril de 2021 .
1 2 Gardner, Martin. "Los 24 cuadrados de color y los 30 cubos de color". Nuevas diversiones matemáticas (PDF) . pág. 184.
↑ "La era de los rompecabezas - Harry L. Nelson" . www.ageofpuzzles.com . Consultado el 6 de abril de 2021 .

[3] La nomenclatura de esta tabla pretende ser independiente de la orientación, comenzando por el/los borde(s) con el valor más bajo y procediendo en sentido antihorario. Por ejemplo, la casilla 1232 tiene el valor de color más bajo, 1, seguido secuencialmente por 2 (inmediatamente en sentido antihorario del valor de color 1), luego 3 y, finalmente, 2 de nuevo.

[4] Con tres colores y cuatro bordes, un color se repetirá al menos una vez.

[:0-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MacMahon, PA (1921). Nuevos pasatiempos matemáticos . Cambridge University Press . Recuperado el 19 de diciembre de 2023 .

[2] "Cuadrados de 3 colores de MacMahon" . Consultado el 6 de abril de 2021 .

[:1-5] 1 2 Gardner, Martin. "Los 24 cuadrados de color y los 30 cubos de color". Nuevas diversiones matemáticas (PDF) . pág. 184.

[6] "La era de los rompecabezas - Harry L. Nelson" . www.ageofpuzzles.com . Consultado el 6 de abril de 2021 .

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