El método de Macaulay

El método de Macaulay (método de doble integración) es una técnica utilizada en el análisis estructural para determinar la deflexión de vigas de Euler-Bernoulli . Su uso resulta muy conveniente para casos de carga discontinua o discreta. Generalmente, permite manejar de forma práctica cargas uniformemente distribuidas (UDL) y cargas uniformemente variables (UVL) parciales a lo largo del tramo, así como diversas cargas concentradas.

La primera descripción del método en inglés fue realizada por William Macaulay . ^{[ 1 ]} El enfoque actual parece haber sido desarrollado por Clebsch en 1862. ^{[ 2 ]} El método de Macaulay se ha generalizado para vigas de Euler-Bernoulli con compresión axial, ^{[ 3 ]} a vigas de Timoshenko , ^{[ 4 ]} a cimentaciones elásticas , ^{[ 5 ]} y a problemas en los que la rigidez a flexión y cortante cambia de forma discontinua en una viga. ^{[ 6 ]}

El punto de partida es la relación de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli.

${\displaystyle \pm EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=M}$

Dónde${\displaystyle w}$es la deflexión y${\displaystyle M}$es el momento flector. Esta ecuación ^{[ 7 ]} es más simple que la ecuación de viga de cuarto orden y se puede integrar dos veces para encontrar${\displaystyle w}$si el valor de${\displaystyle M}$como función de${\displaystyle x}$es conocido. Para cargas generales,${\displaystyle M}$puede expresarse en la forma

${\displaystyle M=M_{1}(x)+P_{1}\langle x-a_{1}\rangle +P_{2}\langle x-a_{2}\rangle +P_{3}\langle x-a_{3}\rangle +\dots }$

donde las cantidades${\displaystyle P_{i}\langle x-a_{i}\rangle }$representan los momentos flectores debidos a cargas puntuales y la cantidad${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle }$es un corchete de Macaulay definido como

${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle ={\begin{cases}0&\mathrm {si} ~x<a_{i}\\x-a_{i}&\mathrm {si} ~x>a_{i}\end{cases}}}$

Por lo general, al integrar${\displaystyle P(xa)}$obtenemos

${\displaystyle \int P(xa)~dx=P\left[{\cfrac {x^{2}}{2}}-ax\right]+C}$

Sin embargo, al integrar expresiones que contienen corchetes de Macaulay, tenemos

${\displaystyle \int P\langle xa\rangle ~dx=P{\cfrac {\langle xa\rangle ^{2}}{2}}+C_{m}}$

donde la diferencia entre las dos expresiones está contenida en la constante.${\displaystyle C_{m}}$El uso de estas reglas de integración simplifica el cálculo de la deflexión de vigas de Euler-Bernoulli en situaciones con múltiples cargas y momentos puntuales. El método de Macaulay es anterior a conceptos más sofisticados como las funciones delta de Dirac y las funciones escalonadas , pero logra los mismos resultados para problemas de vigas.

Una ilustración del método de Macaulay considera una viga simplemente apoyada con una única carga concentrada excéntrica, como se muestra en la figura adyacente. El primer paso es encontrar${\displaystyle M}$Las reacciones en los apoyos A y C se determinan a partir del equilibrio de fuerzas y momentos como

${\displaystyle R_{A}+R_{C}=P,~~LR_{C}=Pa}$

Por lo tanto,${\displaystyle R_{A}=Pb/L}$y el momento flector en un punto D entre A y B (${\displaystyle 0<x<a}$) viene dado por

${\displaystyle M=R_{A}x=Pbx/L}$

Utilizando la relación momento-curvatura y la expresión de Euler-Bernoulli para el momento flector, tenemos

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}}$

Integrando la ecuación anterior obtenemos, para${\displaystyle 0<x<a}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(i)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}&&\quad \mathrm {(ii)} \end{aligned}}}$

En${\displaystyle x=a_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{-})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(iii)} \\EIw(a_{-})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+C_{1}a+C_{2}&&\quad \mathrm {(iv)} \end{aligned}}}$

Para un punto D en la región BC (${\displaystyle a<x<L}$), el momento flector es

${\displaystyle M=R_{A}xP(xa)=Pbx/LP(xa)}$

En el enfoque de Macaulay utilizamos la forma de corchetes de Macaulay de la expresión anterior para representar el hecho de que se ha aplicado una carga puntual en la ubicación B, es decir,

${\displaystyle M={\frac {Pbx}{L}}-P\langle xa\rangle }$

Por lo tanto, la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli para esta región tiene la forma

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle xa\rangle }$

Integrando la ecuación anterior, obtenemos para${\displaystyle a<x<L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-P{\cfrac {\langle xa\rangle ^{2}}{2}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(v)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-P{\cfrac {\langle xa\rangle ^{3}}{6}}+D_{1}x+D_{2}&&\quad \mathrm {(vi)} \end{aligned}}}$

En${\displaystyle x=a_{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{+})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(vii)} \\EIw(a_{+})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+D_{1}a+D_{2}&&\quad \mathrm {(viii)} \end{alineado}}}$

Comparando las ecuaciones (iii) y (vii) y (iv) y (viii) observamos que debido a la continuidad en el punto B,${\displaystyle C_{1}=D_{1}}$y${\displaystyle C_{2}=D_{2}}$La observación anterior implica que, para las dos regiones consideradas, aunque la ecuación para el momento flector y por lo tanto para la curvatura son diferentes, las constantes de integración obtenidas durante la integración sucesiva de la ecuación para la curvatura para las dos regiones son las mismas.

El argumento anterior es válido para cualquier número/tipo de discontinuidades en las ecuaciones de curvatura, siempre que en cada caso la ecuación conserve el término para la región subsiguiente en la forma${\displaystyle \langle xa\rangle ^{n},\langle xb\rangle ^{n},\langle xc\rangle ^{n}}$etc. Debe recordarse que para cualquier x, dando las cantidades dentro de los paréntesis, como en el caso anterior, se debe despreciar el signo negativo y los cálculos deben hacerse considerando solo las cantidades que dan un signo positivo para los términos dentro de los paréntesis.

Volviendo al problema, tenemos

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle xa\rangle }$

Es obvio que solo se debe considerar el primer término.${\displaystyle x<a}$y ambos términos para${\displaystyle x>a}$y la solución es

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}\right]-{\cfrac {P\langle xa\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}\right]-{\cfrac {P\langle xa\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Nótese que las constantes se colocan inmediatamente después del primer término para indicar que van con el primer término cuando${\displaystyle x<a}$y con ambos términos cuando${\displaystyle x>a}$. Los corchetes de Macaulay ayudan a recordar que la cantidad de la derecha es cero cuando se consideran puntos con${\displaystyle x<a}$.

• teoría de haces
• Doblado
• momento flector
• Función de singularidad
• Diagrama de cortante y momento
• teoría de vigas de Timoshenko