Dualidad de Matlis

En álgebra , la dualidad de Matlis es una dualidad entre módulos artinianos y noetherianos sobre un anillo local noetheriano completo . En el caso especial en que el anillo local contiene un cuerpo que se mapea al cuerpo residual, está estrechamente relacionada con trabajos anteriores de Francis Sowerby Macaulay sobre anillos de polinomios y a veces se la denomina dualidad de Macaulay , y el caso general fue introducido por Matlis ( 1958 ) . 

Supongamos que R es un anillo local completo noetheriano con cuerpo residual k , y elijamos E como una envoltura inyectiva de k (a veces llamada módulo de Matlis ). El dual D _R ( M ) de un módulo M se define como Hom _R ( M , E ). Entonces, la dualidad de Matlis establece que el functor de dualidad D _R proporciona una antiequivalencia entre las categorías de R -módulos artinianos y noetherianos. En particular, el functor de dualidad proporciona una antiequivalencia de la categoría de módulos de longitud finita a sí misma.

Supongamos que el anillo local completo noetheriano R tiene un subcampo k que se aplica a un subcampo de índice finito de su campo residual R / m . Entonces, el dual de Matlis de cualquier R -módulo es precisamente su dual como espacio vectorial topológico sobre k , si se le da al módulo su topología m -ádica. En particular, el dual de R como espacio vectorial topológico sobre k es un módulo de Matlis. Este caso está estrechamente relacionado con el trabajo de Macaulay sobre anillos polinomiales graduados y a veces se denomina dualidad de Macaulay.

Si R es un anillo de valuación discreta con cuerpo cociente K, entonces el módulo de Matlis es K / R. En el caso especial en que R es el anillo de números p -ádicos , el dual de Matlis de un módulo finitamente generado es el dual de Pontryagin del mismo considerado como un grupo abeliano localmente compacto .

If R is a Cohen–Macaulay local ring of dimension d with dualizing module Ω, then the Matlis module is given by the local cohomology group H^d_R(Ω). In particular if R is an Artinian local ring then the Matlis module is the same as the dualizing module.

Matlis duality can be conceptually explained using the language of adjoint functors and derived categories:^[1] the functor between the derived categories of R- and k-modules induced by regarding a k-module as an R-module, admits a right adjoint (derived internal Hom)

${\displaystyle D(k)\gets D(R):R\operatorname {Hom} _{R}(k,-).}$

This right adjoint sends the injective hull ${\displaystyle E(k)}$ mentioned above to k, which is a dualizing object in ${\displaystyle D(k)}$. This abstract fact then gives rise to the above-mentioned equivalence.

• Grothendieck local duality

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
• Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics, 8: 511–528, doi:10.2140/pjm.1958.8.511, ISSN 0030-8730, MR 0099360, archived from the original on 2014-05-03