Cuadrado mágico de cuadrados

El cuadrado mágico de cuadrados es un problema matemático sin resolver que plantea la cuestión de si es posible construir un cuadrado mágico de tres por tres cuyos elementos sean todos números cuadrados . El problema fue planteado por primera vez por Martin LaBar en el número de enero de 1984 del College Mathematics Journal, antes de ser incluido en la obra de Richard Guy , Unsolved problems in number theory (2.ª edición), en 1994. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El problema se ha convertido en una opción popular para los matemáticos aficionados tras la publicación de dos artículos por parte de Martin Gardner en la revista Quantum Magazine , en los que se ofrecía un premio de 100 dólares estadounidenses en 1996. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Posteriormente se han ofrecido otros premios para la primera solución. ^{[ 5 ]}

Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números enteros en la que la suma de cada fila, columna y diagonal es la misma. ^{[ 6 ]} El orden del cuadrado se refiere a la cantidad de enteros en cada lado. ^{[ 7 ]} Un cuadrado mágico trivial es un cuadrado mágico que tiene al menos un elemento repetido, y un cuadrado semimágico es un cuadrado mágico en el que la suma de las filas y columnas, pero no de ambas diagonales, es la misma.

El problema plantea si es posible construir un cuadrado mágico de tercer orden tal que cada elemento sea un número cuadrado. Un cuadrado que resuelva el problema tendría, por lo tanto, la forma

y satisfacen las siguientes ecuaciones ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}&=x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}\\&=x_{7}^{2}+x_{8}^{2}+x_{9}^{2}\\&=x_{1}^{2}+x_{5}^{2}+x_{9}^{2}\\ &=x_{3}^{2}+x_{5}^{2}+x_{7}^{2}\\&=x_{1}^{2}+x_{4}^{2}+x_{7}^{2}\\&=x_{2}^{2}+x_{5}^{2}+x_{8}^{2}\\&=x_{3}^{2}+x_{6}^{2}+x_{9}^{2}\end{aligned}}}$

Se ha demostrado que el problema es equivalente a varios otros problemas. ^{[ 2 ]}

1. ¿Existen tres progresiones aritméticas tales que cada una tenga tres términos, cada una tenga la misma diferencia entre términos que las otras dos, todos los términos sean cuadrados perfectos y los términos centrales de las tres progresiones aritméticas formen a su vez una progresión aritmética?
2. ¿Existen tres triángulos rectángulos racionales con la misma área , tales que los cuadrados de las hipotenusas estén en progresión aritmética?
3. Does there exist an elliptic curve, ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$, where ${\displaystyle n}$ is a congruent number, with three rational points on the curve, ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$, such that each point is "double" another rational point on the curve ("double" in the sense of the group structure for points on an elliptic curve), and ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ and ${\displaystyle x_{3}}$ are in arithmetic progression?

Let ${\displaystyle S}$ denotes the sum of each row, column or main diagonals of a primitive (all cells are pairwise coprime) third-order magic square of squares. If such a magic square of squares exists, it must satisfy the following properties.

• All cells must be odd.^[9]
• All cells must be of the form ${\displaystyle 24k+1}$.^[10]
• No cell can have a prime divisor ${\displaystyle p}$ of the form ${\displaystyle p=8k+3}$.^[9]
• ${\displaystyle S}$ must be of the form ${\displaystyle S=3a^{2}}$ where ${\displaystyle a^{2}}$is the middle cell.^[11]
• ${\displaystyle S}$ must be of the form ${\displaystyle S=72k+3}$.^[10]
• All prime divisors ${\displaystyle p}$ of the middle cell must be of the form ${\displaystyle p=4k+1}$.^[9]
• A prime ${\displaystyle p}$ of the form ${\displaystyle p=8k+5}$ cannot divide a non-corner edge cell.^[9]
• If a prime ${\displaystyle p}$ of the form ${\displaystyle p=8k+3}$ divides a non-center cell then ${\displaystyle p}$ must also divide the center cell and the other cell in that line.^[9]
• If a prime ${\displaystyle p}$ of the form ${\displaystyle p=4k+3}$ divides a corner cell then it must also divide the two non-corner edge cells that are not adjacent to that corner.^[9]
• If a prime ${\displaystyle p}$ of the form ${\displaystyle p=8k+5}$ divides a corner cell then it must also divide the center cell and the opposite corner cell.^[12]

Brute force searches for solutions have been unsuccessful, and suggest that if a solution exists, it would consist of numbers greater than at least ${\displaystyle 10^{14}}$.^[13]

Rice University professor of mathematics Anthony Várilly-Alvarado has expressed his doubt as to the existence of the magic square of squares.^[8]

There have been a number of attempts to construct a magic square of squares by recreational mathematicians.

Tras la oferta de premio de Gardner para quien encontrara un cuadrado mágico de cuadrados en 1996, Lee Sallows publicó su intento en The Mathematical Intelligencer . Su intento es único porque todas las filas y columnas, y una de las diagonales, suman el mismo número cuadrado. ^{[ 14 ] [ 8 ]}

En 1999, Andrew Bremner publicó su intento de resolver el problema y otras investigaciones sobre cuadrados mágicos de cuadrados. ^{[ 15 ]} El intento de Bremner se diferencia de otros en que no todos los elementos del cuadrado son números cuadrados, mientras que todas las filas, columnas y diagonales suman el mismo número. ^{[ 8 ]}

El cuadrado de Parker ^{[ 16 ]} es un intento de Matt Parker de resolver el problema. Su solución es un cuadrado de cuadrados trivial y semimágico, ya que , y todos aparecen dos veces, y la diagonal suma 4107 en lugar de 3051. ^{[ 17 ] [ 13 ]}${\displaystyle 41^{2}}$${\displaystyle 29^{2}}$${\displaystyle 1^{2}}$${\displaystyle 23^{2}+37^{2}+47^{2}}$

Los cuadrados mágicos de cuadrados de órdenes mayores que 3 se conocen desde al menos 1770, cuando Leonhard Euler envió una carta a Joseph-Louis Lagrange detallando un cuadrado mágico de cuarto orden. ^{[ 18 ]}

Los cuadrados multimágicos son cuadrados mágicos que conservan su magia tras elevar cada elemento a alguna potencia . En 1890, Georges Pfeffermann publicó una solución a un problema que él mismo planteó, relativo a la construcción de un cuadrado multimágico de octavo orden (2-multimágico). ^{[ 19 ]}