Número de Reynolds magnético

En magnetohidrodinámica , el número de Reynolds magnético ( R _m ) es una magnitud adimensional que estima los efectos relativos de la advección o inducción de un campo magnético por el movimiento de un medio conductor con respecto a la difusión magnética . Es el análogo magnético del número de Reynolds en mecánica de fluidos y se define típicamente por: $${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {inducción} }{\mathrm {difusión} }}}$$ dónde

• ${\displaystyle U}$es una velocidad típica del flujo,
• ${\displaystyle L}$es una escala de longitud típica del flujo,
• ${\displaystyle \eta }$es la difusividad magnética .

El mecanismo por el cual el movimiento de un fluido conductor genera un campo magnético es objeto de la teoría de la dinamo . Sin embargo, cuando el número de Reynolds magnético es muy grande, la difusión y la dinamo son menos relevantes, y en este caso la atención se centra a menudo en la influencia del campo magnético sobre el flujo.

En la teoría de la magnetohidrodinámica , el número de Reynolds magnético se puede derivar de la ecuación de inducción : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} }$$ dónde

• ${\displaystyle \mathbf {B} }$es el campo magnético,
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es la velocidad del fluido,
• ${\displaystyle \eta }$es la difusividad magnética .

El primer término del lado derecho representa los efectos de la inducción magnética en el plasma, y ​​el segundo término representa los efectos de la difusión magnética . La importancia relativa de estos dos términos se puede determinar calculando su cociente, que da como resultado el número de Reynolds magnético.${\displaystyle \mathrm {R} _ {\mathrm {m} }}$Si se supone que ambos términos comparten la longitud de escala${\displaystyle L}$de tal manera que${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$y la velocidad de escala${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {u} \sim U}$, el término de inducción se puede escribir como $${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\sim {\frac {UB}{L}}}$$ y el término de difusión como $${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\frac {\eta B}{L^{2}}}.}$$ Por lo tanto, la razón de los dos términos es: $${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}.}$$

Para${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$La advección es relativamente poco importante, por lo que el campo magnético tenderá a relajarse hacia un estado puramente difusivo, determinado por las condiciones de contorno más que por el flujo.

Para${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$La difusión es relativamente poco importante en la escala de longitud L. Las líneas de flujo del campo magnético son entonces transportadas por advección con el flujo del fluido, hasta que los gradientes se concentran en regiones de escala de longitud lo suficientemente corta como para que la difusión pueda equilibrar la advección.

El Sol tiene una gran${\displaystyle \mathrm {R} _ {\mathrm {m} }}$, del orden de 10 ⁶ . Los efectos disipativos son generalmente pequeños y no hay dificultad en mantener un campo magnético contra la difusión.

Por la Tierra,${\displaystyle \mathrm {R} _ {\mathrm {m} }}$Se estima que es del orden de 10³ ^. [ ^{1 ] La} disipación es más significativa, pero un campo magnético se mantiene gracias al movimiento en el núcleo externo de hierro líquido. Hay otros cuerpos en el Sistema Solar que tienen dinamos en funcionamiento, por ejemplo, Júpiter, Saturno y Mercurio, y otros que no, por ejemplo, Marte, Venus y la Luna.

La escala de longitud humana es muy pequeña, por lo que normalmente...${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$La generación de un campo magnético mediante el movimiento de un fluido conductor se ha logrado en tan solo un puñado de experimentos a gran escala utilizando mercurio o sodio líquido. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

En situaciones donde la magnetización permanente no es posible, por ejemplo por encima de la temperatura de Curie , para mantener un campo magnético${\displaystyle \mathrm {R} _ {\mathrm {m} }}$debe ser lo suficientemente grande como para que la inducción supere a la difusión. No es la magnitud absoluta de la velocidad lo que importa para la inducción, sino más bien las diferencias relativas y el cizallamiento en el flujo, que estiran y pliegan las líneas del campo magnético. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, una forma más apropiada para el número de Reynolds magnético en este caso es $${\displaystyle {\hat {\mathrm {R} }}_{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$$ donde S es una medida de deformación. Uno de los resultados más conocidos se debe a Backus ^{[ 6 ]} , que afirma que el mínimo${\displaystyle \mathrm {R} _ {\mathrm {m} }}$para la generación de un campo magnético por flujo en una esfera es tal que $${\displaystyle {\hat {\mathrm {R} }}_{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$$ dónde${\displaystyle L=a}$es el radio de la esfera y${\displaystyle S=e_{\max }}$es la tasa de deformación máxima. Este límite ha sido mejorado posteriormente en aproximadamente un 25% por Proctor. ^{[ 7 ]}

Muchos estudios sobre la generación de campo magnético por un flujo consideran el cubo periódico computacionalmente conveniente. En este caso, el mínimo se encuentra en ^{[ 8 ].}$${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _ {\mathrm {m} }=2,48}$$ dónde${\displaystyle S}$es la deformación cuadrática media sobre un dominio escalado con lados de longitud${\displaystyle 2\pi }$. Si se descarta el cizallamiento en escalas de longitud pequeñas en el cubo, entonces${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1,73}$es el mínimo, donde${\displaystyle U}$es el valor cuadrático medio.

El número de Reynolds magnético tiene una forma similar al número de Péclet y al número de Reynolds . Los tres pueden considerarse como la relación entre los efectos advectivos y difusivos para un campo físico particular y tienen la forma del producto de una velocidad y una longitud dividido por una difusividad. Mientras que el número de Reynolds magnético está relacionado con el campo magnético en un flujo magnetohidrodinámico, el número de Reynolds está relacionado con la velocidad del fluido y el número de Péclet está relacionado con el calor. Los grupos adimensionales surgen de la adimensionalización de las ecuaciones gobernantes respectivas: la ecuación de inducción, las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación del calor .

El número de Reynolds magnético adimensional,${\displaystyle \mathrm {R} _ {\mathrm {m} }}$También se utiliza en casos en los que no hay fluido físico involucrado. $${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=\mu \sigma LU}$$ dónde

• ${\displaystyle \mu }$es la permeabilidad magnética,
• ${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica,
• ${\displaystyle L}$es la longitud característica del sistema, y
• ${\displaystyle U}$es la velocidad característica del sistema.

Para${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }<1}$El efecto pelicular es insignificante y el par de frenado por corrientes parásitas sigue la curva teórica de un motor de inducción.

Para${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }>30}$El efecto piel predomina y el par de frenado disminuye mucho más lentamente con el aumento de la velocidad de lo que predice el modelo del motor de inducción. ^{[ 9 ]}

• Número de Lundquist
• Magnetohidrodinámica
• Número de Mach de Alfvén
• Número de Reynolds
• Número de Péclet

• Moffatt, H. Keith, 2000, " Reflexiones sobre magnetohidrodinámica " Archivado el 29/09/2007 en Wayback Machine . En: Perspectivas en dinámica de fluidos ( ISBN 0-521-53169-1) (Ed. GK Batchelor, HK Moffatt y MG Worster) Cambridge University Press , págs. 347–391.
• PA Davidson, 2001, Introducción a la magnetohidrodinámica ( ISBN) 0-521-79487-0), Cambridge University Press .