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potencial vectorial magnético

En el electromagnetismo clásico , el potencial vectorial magnético (a menudo denotado A ) es la magnitud vectorial definida de modo que su rotacional sea igual al campo magnétic...

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En el electromagnetismo clásico , el potencial vectorial magnético (a menudo denotado A ) es la magnitud vectorial definida de modo que su rotacional sea igual al campo magnético B :∇×A=B{\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }Junto con el potencial eléctrico φ , el potencial vectorial magnético también puede utilizarse para especificar el campo eléctrico E. Por lo tanto, muchas ecuaciones del electromagnetismo pueden escribirse en términos de los campos E y B , o, equivalentemente, en términos de los potenciales φ y A. En teorías más avanzadas, como la mecánica cuántica , la mayoría de las ecuaciones utilizan potenciales en lugar de campos.

El potencial vectorial magnético fue introducido independientemente por Franz Ernst Neumann [ 1 ] y Wilhelm Eduard Weber [ 2 ] en 1845 y 1846, respectivamente, para analizar la ley circuital de Ampère . [ 3 ] William Thomson también introdujo la versión moderna del potencial vectorial en 1847, junto con la fórmula que lo relaciona con el campo magnético. [ 4 ]

Convenciones de unidades

Este artículo utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI).

En el sistema SI , las unidades de A son V · s · m −1 o Wb · m −1 y son las mismas que las del momento por unidad de carga o la fuerza por unidad de corriente .

Definición

El potencial vectorial magnético,A{\displaystyle \mathbf {A} }, es un campo vectorial y el potencial eléctrico ,ϕ{\displaystyle \phi }, es un campo escalar tal que: [ 5 ]B=∇×A ,mi=−∇ϕ−∂A∂t,{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},} dóndeB{\displaystyle \mathbf {B} }es el campo magnético ymi{\displaystyle \mathbf {E} }es el campo eléctrico . En magnetostática, donde no hay corriente ni distribución de carga variables en el tiempo , solo se necesita la primera ecuación. (En el contexto de la electrodinámica , los términos potencial vectorial y potencial escalar se utilizan para el potencial vectorial magnético y el potencial eléctrico , respectivamente. En matemáticas, el potencial vectorial y el potencial escalar pueden generalizarse a dimensiones superiores).

Si los campos eléctricos y magnéticos se definen como se indicó anteriormente a partir de potenciales, satisfacen automáticamente dos de las ecuaciones de Maxwell : la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday . Por ejemplo, siA{\displaystyle \mathbf {A} }es continua y bien definida en todas partes, entonces está garantizado que no dará lugar a monopolos magnéticos . (En la teoría matemática de los monopolos magnéticos,A{\displaystyle \mathbf {A} }En algunos casos, puede ser indefinido o tener múltiples valores; consulte el monopolo magnético para obtener más detalles.

Partiendo de las definiciones anteriores y recordando que la divergencia del rotacional es cero y el rotacional del gradiente es el vector cero: ∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0 ,∇×mi=∇×(−∇ϕ−∂A∂t)=−∂∂t(∇×A)=−∂B∂t .{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}}

Alternativamente, la existencia deA{\displaystyle \mathbf {A} }yϕ{\displaystyle \phi }está garantizado por estas dos leyes usando el teorema de Helmholtz . Por ejemplo, dado que el campo magnético es libre de divergencia (ley de Gauss para el magnetismo; es decir,∇⋅B=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}),A{\displaystyle \mathbf {A} }Siempre existe algo que satisface la definición anterior.

El potencial vectorialA{\displaystyle \mathbf {A} }se utiliza al estudiar el lagrangiano en mecánica clásica y en mecánica cuántica (véase ecuación de Schrödinger para partículas cargadas , ecuación de Dirac , efecto Aharonov-Bohm ).

En acoplamiento mínimo ,qA{\displaystyle q\mathbf {A} }se denomina momento potencial y forma parte del momento canónico .

La integral de línea deA{\displaystyle \mathbf {A} }sobre un circuito cerrado,Γ{\displaystyle \Gamma }, es igual al flujo magnético ,ΦB{\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }}, a través de una superficie,S{\displaystyle S}, que encierra: ∮ΓA⋅ dΓ=∬S∇×A ⋅ dS=ΦB .{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.}

Por lo tanto, las unidades deA{\displaystyle \mathbf {A} }también son equivalentes a weber por metro . La ecuación anterior es útil en la cuantización de flujo de bucles superconductores .

En la escala de Coulomb∇⋅A=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}Existe una analogía formal entre la relación entre el potencial vectorial y el campo magnético y la ley de Ampère.∇×B=μ0J{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }Por lo tanto, al hallar el potencial vectorial de un campo magnético dado, se pueden utilizar los mismos métodos que se utilizan al hallar el campo magnético a partir de una distribución de corriente.

Aunque el campo magnético,B{\displaystyle \mathbf {B} }, es un pseudovector (también llamado vector axial ), el potencial vectorial,A{\displaystyle \mathbf {A} }, es un vector polar . [ 6 ] Esto significa que si la regla de la mano derecha para productos vectoriales se reemplazara por una regla de la mano izquierda, pero sin cambiar ninguna otra ecuación o definición, entoncesB{\displaystyle \mathbf {B} }cambiaría de signo, pero A no cambiaría. Este es un ejemplo de un teorema general: el rotor de un vector polar es un pseudovector, y viceversa. [ 6 ]

Magnetostática en el calibre de Coulomb

En magnetostática , si el calibre de Coulomb ∇⋅A=0{\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}se impone, entonces hay una analogía entreA,J{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {J} }yV,ρ{\displaystyle V,\rho }en electrostática : [ 7 ]∇2A=−μ0J{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} } igual que la ecuación electrostática ∇2V=−ρϵ0{\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}

Asimismo, se puede integrar para obtener los potenciales: A(r)=μ04π∫RJ(r′)|r−r′|d3r′{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{R}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'} igual que la ecuación para el potencial eléctrico : V(r)=14πε0∫Rρ(r′)|r−r′|d3r′{\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'}

Interpretación como impulso potencial

Igualando la segunda ley de Newton con la ley de fuerza de Lorentz podemos obtener [ 7 ]metrodvdt=q(mi+v×B).{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}Al sumarlo a la velocidad se obtiene ddt(12metrov2)=qv⋅(mi+v×B).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=q\mathbf {v} \cdot \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).} Dado que el producto escalar del producto vectorial es cero, sustituyendo mi=−∇ϕ−∂A∂t,{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},} y la derivada convectiva deϕ{\displaystyle \phi }en la ecuación anterior entonces da ddt(12metrov2+qϕ)=∂∂tq(ϕ−v⋅A){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}+q\phi \right)={\frac {\partial }{\partial t}}q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)} que nos indica la derivada temporal de la "energía generalizada"12metrov2+qϕ{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+q\phi }en términos de un potencial dependiente de la velocidadq(ϕ−v⋅A){\displaystyle q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)}, y ddt(metrov+qA)=−∇q(ϕ−v⋅A){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mv+q\mathbf {A} \right)=-\nabla q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)} lo que proporciona la derivada temporal del momento generalizadometrov+qA{\displaystyle m\mathbf {v} +q\mathbf {A} }en términos del gradiente (negativo) del mismo potencial dependiente de la velocidad.

Por lo tanto, cuando la derivada temporal (parcial) del potencial dependiente de la velocidadq(ϕ−v⋅A){\displaystyle q(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}es cero, la energía generalizada se conserva, y de igual manera cuando el gradiente es cero, el momento generalizado se conserva. Como caso especial, si los potenciales son simétricos en el tiempo o en el espacio, entonces la energía o el momento generalizados, respectivamente, se conservarán. De igual manera, los campos contribuyenqr×A{\displaystyle q\mathbf {r} \times \mathbf {A} }En cuanto al momento angular generalizado, las simetrías rotacionales proporcionarán leyes de conservación para los componentes.

Relativistamente, tenemos la única ecuación ddτ(pagμ+qAμ)=∂μ(Uν⋅Aν){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(p^{\mu }+qA^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left(U^{\nu }\cdot A^{\nu }\right)} dónde

  • τ{\displaystyle \tau }es el momento adecuado ,
  • pagμ{\displaystyle p^{\mu }}es el impulso de cuatro(mi/do,γmetrov){\displaystyle (E/c,\gamma m\mathbf {v} )}
  • Uν{\displaystyle U^{\nu }}es la velocidad cuatroγ(do,v){\displaystyle \gamma (c,\mathbf {v} )}
  • Aν{\displaystyle A^{\nu }}son los cuatro potenciales(ϕ/do,A){\displaystyle (\phi /c,\mathbf {A} )}
  • ∂μ{\displaystyle \partial _{\mu }}es el gradiente de cuatro(∂∂(dot),−∇){\displaystyle ({\frac {\partial }{\partial \left(ct\right)}},-\nabla )}

Mecánica analítica de una partícula cargada

En un campo con potencial eléctrico ϕ {\displaystyle \ \phi \ }y potencial magnético A{\displaystyle \ \mathbf {A} }, el lagrangiano ( L {\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }) y el hamiltoniano ( H {\displaystyle \ {\mathcal {H}}\ }) de una partícula con masa metro {\displaystyle \ m\ }y cobrar q {\displaystyle \ q\ }sonL=12metro v2+q v⋅A−q ϕ ,H=12metro(pag−qA)2+q ϕ .{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}m\ \mathbf {v} ^{2}+q\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} -q\ \phi \ ,\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\ \phi ~.\end{aligned}}}

El momento generalizadopag{\displaystyle \mathbf {p} }es∂L∂v=metrov+qA{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v}}=m\mathbf {v} +q\mathbf {A} }. La fuerza generalizada es∇L=−q∇(ϕ−v⋅A){\displaystyle \nabla {\mathcal {L}}=-q\nabla \left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)}Estas son exactamente las cantidades de la sección anterior. En este marco, las leyes de conservación provienen del teorema de Noether .

Ejemplo: Solenoide

Consideremos una partícula cargada de cargaq{\displaystyle q}ubicado a distanciar{\displaystyle r}fuera de un solenoide orientado en elz{\displaystyle z}que se apaga repentinamente. Por la ley de inducción de Faraday , se inducirá un campo eléctrico que impartirá a la partícula un impulso igual aqΦ0/2πrϕ^{\displaystyle q\Phi _{0}/2\pi r{\hat {\phi }}}dóndeΦ0{\displaystyle \Phi _{0}}es el flujo magnético inicial a través de una sección transversal del solenoide. [ 8 ]

Podemos analizar este problema desde la perspectiva de la conservación generalizada del momento. [ 7 ] Usando la analogía con la ley de Ampère, el potencial vectorial magnético esA(r)=Φ0/2πrϕ^{\displaystyle \mathbf {A} (r)=\Phi _{0}/2\pi r{\hat {\phi }}}. Desdepag+qA{\displaystyle \mathbf {p} +q\mathbf {A} }se conserva, después de apagar el solenoide la partícula tendrá un momento igual aqA=qΦ0/2πrϕ^{\displaystyle q\mathbf {A} =q\Phi _{0}/2\pi r{\hat {\phi }}}

Además, debido a la simetría, elz{\displaystyle z}El componente del momento angular generalizado se conserva. Al observar el vector de Poynting de la configuración, se puede deducir que los campos tienen un momento angular total distinto de cero que apunta a lo largo del solenoide. Este es el momento angular transferido a los campos.

Opciones de indicadores

La definición anterior no define el potencial vectorial magnético de forma única porque, por definición, podemos añadir arbitrariamente componentes libres de rotacional al potencial magnético sin cambiar el campo magnético observado. Por lo tanto, hay un grado de libertad disponible al elegirA{\displaystyle \mathbf {A} }Esta condición se conoce como invariancia de gauge .

Dos opciones comunes de calibre son:

  • El calibre de Lorenz : ∇⋅A+1 do2∂ϕ∂t=0{\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}
  • El calibre de Coulomb : ∇⋅A=0{\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}

calibre de Lorenz

En otros calibres, las fórmulas paraA{\displaystyle \mathbf {A} }yϕ{\displaystyle \phi }son diferentes; por ejemplo, consulte el calibre de Coulomb para otra posibilidad.

Dominio del tiempo

Utilizando la definición anterior de los potenciales y aplicándola a las otras dos ecuaciones de Maxwell (las que no se satisfacen automáticamente) se obtiene una ecuación diferencial compleja que puede simplificarse utilizando el calibre de Lorenz dondeA{\displaystyle \mathbf {A} }se elige para satisfacer: [ 5 ]∇⋅A+1 do2∂ϕ∂t=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}

Utilizando el calibre de Lorenz, las ecuaciones de ondas electromagnéticas se pueden escribir de forma compacta en términos de los potenciales, [ 5 ]

  • Ecuación de onda del potencial escalar∇2ϕ−1do2∂2ϕ∂t2=−ρϵ0{\displaystyle \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
  • Ecuación de onda del potencial vectorial∇2A−1do2∂2A∂t2=−μ0J{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }

Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz (véase Feynman [ 5 ] y Jackson [ 9 ] ) con la condición de contorno de que ambos potenciales tienden a cero suficientemente rápido a medida que se aproximan al infinito se denominan potenciales retardados , que son el potencial vectorial magnético.A(r,t){\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}y el potencial escalar eléctricoϕ(r,t){\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}debido a una distribución actual de la densidad de corrienteJ(r,t){\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}densidad de carga ρ(r,t){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}y volumenΩ{\displaystyle \Omega }dentro del cualρ{\displaystyle \rho }yJ{\displaystyle \mathbf {J} }son distintos de cero al menos a veces y en algunos lugares):

  • SolucionesA(r,t)=μ0 4π ∫ΩJ(r′,t′)R d3r′ϕ(r,t)=14πϵ0∫Ωρ(r′,t′)R d3r′{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} {\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho {\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}

donde los campos en el vector de posiciónr{\displaystyle \mathbf {r} }y tiempot{\displaystyle t}se calculan a partir de fuentes en posición distanter′{\displaystyle \mathbf {r} '}en un momento anteriort′.{\displaystyle t'.}La ubicaciónr′{\displaystyle \mathbf {r} '}es un punto fuente en la distribución de carga o corriente (también la variable de integración, dentro del volumen)Ω{\displaystyle \Omega }). El tiempo anteriort′{\displaystyle t'}se denomina tiempo retardado y se calcula como t′=t− R do .{\displaystyle t'=t-{\frac {\ R\ }{c}}~.} dónde R=‖r−r′‖ .{\displaystyle R={\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.}

Con estas ecuaciones:

  • Se cumple la condición del calibre Lorenz : ∇⋅A+1 do2∂ϕ∂t=0 .{\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.}
  • La posición der{\displaystyle \mathbf {r} }, el punto en el que los valores paraϕ{\displaystyle \phi }yA{\displaystyle \mathbf {A} }se encuentran, solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar desder′{\displaystyle \mathbf {r} '}ar.{\displaystyle \mathbf {r} .}La dirección desder′{\displaystyle \mathbf {r} '}ar{\displaystyle \mathbf {r} }No entra en la ecuación. Lo único que importa de un punto fuente es su distancia.
  • El integrando utiliza tiempo retardado ,t′.{\displaystyle t'.}Esto refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz. Por lo tanto, las densidades de carga y corriente afectan el potencial eléctrico y magnético enr{\displaystyle \mathbf {r} }yt{\displaystyle t}, desde una ubicación remotar′{\displaystyle \mathbf {r} '}También debe ser en algún momento anteriort′.{\displaystyle t'.}
  • La ecuación paraA{\displaystyle \mathbf {A} }es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se separa en tres ecuaciones escalares: [ 10 ]Aincógnita(r,t)=μ0 4π ∫ΩJincógnita(r′,t′)Rd3r′ ,Ay(r,t)=μ0 4π ∫ΩJy(r′,t′)Rd3r′ ,Az(r,t)=μ0 4π ∫ΩJz(r′,t′)Rd3r′ .{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}{\left(\mathbf {r} ,t\right)}&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}{\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} '\ ,\\A_{y}{\left(\mathbf {r} ,t\right)}&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}{\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} '\ ,\\A_{z}{\left(\mathbf {r} ,t\right)}&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}{\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}}En esta forma es evidente que el componente deA{\displaystyle \mathbf {A} }en una dirección determinada depende únicamente de los componentes deJ{\displaystyle \mathbf {J} }que van en la misma dirección. Si la corriente se transporta en un cable recto,A{\displaystyle \mathbf {A} }apunta en la misma dirección que el cable.

dominio de frecuencia

Las ecuaciones anteriores en el dominio del tiempo pueden expresarse en el dominio de la frecuencia. [ 11 ] : 139

  • calibre de Lorenz∇⋅A+jωdo2ϕ=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {j\omega }{c^{2}}}\phi =0}oϕ=jωk2∇⋅A{\displaystyle \phi ={\frac {j\omega }{k^{2}}}\nabla \cdot \mathbf {A} }
  • SolucionesA(r,ω)=μ0 4π ∫ΩJ(r′,ω)R mi−jkRd3r′ϕ(r,ω)=14πϵ0∫Ωρ(r′,ω)R mi−jkRd3r′{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} {\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho {\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}
  • ecuaciones de onda∇2ϕ+k2ϕ=−ρϵ0∇2A+k2A=−μ0J.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi +k^{2}\phi &=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} &=-\mu _{0}\mathbf {J} .\end{aligned}}}
  • Ecuaciones del campo electromagnéticoB=∇×Ami=−∇ϕ−jωA=−jωA−jωk2∇(∇⋅A){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \\\mathbf {E} &=-\nabla \phi -j\omega \mathbf {A} =-j\omega \mathbf {A} -j{\frac {\omega }{k^{2}}}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )\end{aligned}}}

dónde

Hay algunas cosas destacables sobreA{\displaystyle \mathbf {A} }yϕ{\displaystyle \phi }calculado de esta manera:

  • Se cumple la condición del calibre Lorenz :ϕ=−do2jω∇⋅A.{\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {c^{2}}{j\omega }}\nabla \cdot \mathbf {A} .} Esto implica que el potencial eléctrico en el dominio de la frecuencia,ϕ{\displaystyle \phi }, se puede calcular completamente a partir de la distribución de densidad actual,J{\displaystyle \mathbf {J} }.
  • La posición der,{\displaystyle \mathbf {r} ,}el punto en el que los valores paraϕ{\displaystyle \phi }yA{\displaystyle \mathbf {A} }se encuentran, solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar desder′{\displaystyle \mathbf {r} '}a r.{\displaystyle \ \mathbf {r} .}La dirección desder′{\displaystyle \mathbf {r} '}ar{\displaystyle \mathbf {r} }No entra en la ecuación. Lo único que importa de un punto fuente es su distancia.
  • El integrando utiliza el término de desplazamiento de fase .mi−jkR{\displaystyle e^{-jkR}}lo cual desempeña un papel equivalente al retardo temporal . Esto refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz; el retardo de propagación en el dominio del tiempo es equivalente a un desfase en el dominio de la frecuencia.
  • La ecuación paraA{\displaystyle \mathbf {A} }es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se separa en tres ecuaciones escalares: [ 10 ]Aincógnita(r,ω)=μ04π∫ΩJincógnita(r′,ω)Rmi−jkRd3r′,Ay(r,ω)=μ04π∫ΩJy(r′,ω)Rmi−jkRd3r′,Az(r,ω)=μ04π∫ΩJz(r′,ω)Rmi−jkRd3r′{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{x}{\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\,e^{-jkR}\,d^{3}\mathbf {r} ',\\\mathbf {A} _{y}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{y}{\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\,e^{-jkR}\,d^{3}\mathbf {r} ',\\\mathbf {A} _{z}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{z}{\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\,e^{-jkR}\,d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}En esta forma es evidente que el componente deA{\displaystyle \mathbf {A} }en una dirección determinada depende únicamente de los componentes de J {\displaystyle \ \mathbf {J} \ }que van en la misma dirección. Si la corriente se transporta en un cable recto,A{\displaystyle \mathbf {A} }apunta en la misma dirección que el cable.

Representación del campo A

Representando el potencial vectorial magnético del calibre de CoulombA{\displaystyle \mathbf {A} }densidad de flujo magnéticoB{\displaystyle \mathbf {B} }y densidad de corrienteJ{\displaystyle \mathbf {J} }campos alrededor de un inductor toroidal de sección transversal circular . Las líneas más gruesas indican líneas de campo de mayor intensidad promedio. Los círculos en la sección transversal del núcleo representan el B{\displaystyle \ \mathbf {B} }campo que sale de la imagen, los signos más representanB{\displaystyle \mathbf {B} }campo entrando en la imagen.∇⋅A=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}Se ha asumido.

Véase Feynman [ 12 ] para la descripción de laA{\displaystyle \mathbf {A} }campo alrededor de un solenoide largo y delgado .

Desde ∇×B=μ0 J{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J} } suponiendo condiciones cuasiestáticas, es decir

 ∂mi ∂t→0 {\displaystyle {\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\ }y ∇×A=B{\displaystyle \ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} },

las líneas y contornos de A {\displaystyle \ \mathbf {A} \ }relacionarse con B {\displaystyle \ \mathbf {B} \ }como las líneas y contornos deB{\displaystyle \mathbf {B} }relacionarse con J.{\displaystyle \ \mathbf {J} .}Así, una representación de laA{\displaystyle \mathbf {A} }campo alrededor de un bucle deB{\displaystyle \mathbf {B} }El flujo (como se produciría en un inductor toroidal ) es cualitativamente el mismo que elB{\displaystyle \mathbf {B} }campo alrededor de un bucle de corriente.

La figura de la derecha es una representación artística de laA{\displaystyle \mathbf {A} }campo. Las líneas más gruesas indican trayectorias de mayor intensidad promedio (las trayectorias más cortas tienen mayor intensidad, por lo que la integral de trayectoria es la misma). Las líneas se dibujan para (estéticamente) transmitir el aspecto general delA{\displaystyle \mathbf {A} }campo.

El dibujo asume tácitamente∇⋅A=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}, cierto bajo cualquiera de las siguientes suposiciones:

cuadripotencial electromagnético

En el contexto de la relatividad especial , es natural unir el potencial vectorial magnético junto con el potencial eléctrico (escalar) en el potencial electromagnético , también llamado cuadripotencial .

Una de las razones para hacerlo es que el cuadripotencial es un cuadrivector matemático . Por lo tanto, utilizando las reglas estándar de transformación de cuadrivectores, si se conocen los potenciales eléctrico y magnético en un sistema de referencia inercial, se pueden calcular fácilmente en cualquier otro sistema de referencia inercial.

Otra motivación relacionada es que el contenido del electromagnetismo clásico puede escribirse de forma concisa y conveniente utilizando el cuadripotencial electromagnético, especialmente cuando se utiliza el calibre de Lorenz . En particular, en notación de índice abstracto , el conjunto de ecuaciones de Maxwell (en el calibre de Lorenz) puede escribirse (en unidades gaussianas ) de la siguiente manera: ∂νAν=0◻2Aν=4π do  Jν{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}} dónde ◻2 {\displaystyle \ \Box ^{2}\ }es el d'Alembertiano y J {\displaystyle \ J\ }es la cuadricorriente . La primera ecuación es la condición de calibre de Lorenz, mientras que la segunda contiene las ecuaciones de Maxwell. El cuadripotencial también juega un papel muy importante en la electrodinámica cuántica .

Interpretación

Según el teorema de Helmholtz , un campo vectorial se describe completamente por su divergencia y rotacional. Como A se definió inicialmente únicamente por su rotacional (∇×A=B{\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }), nos justificamos eligiendo cualquier definición de∇⋅A{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }, siempre que usemos consistentemente esta definición en todos los análisis subsiguientes. Todas esas definiciones son válidas y conducen a diferentes conjuntos de ecuaciones que describen los mismos fenómenos, y las soluciones de las ecuaciones para cualquier elección de∇⋅A{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }conducen a los mismos campos electromagnéticos y a las mismas predicciones físicas sobre los campos y las cargas.

Es natural pensar que si una cantidad exhibe este grado de libertad en su elección, entonces no debería interpretarse como una cantidad física real. Después de todo, si podemos elegir libremente∇⋅A{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }ser algo, entoncesA{\displaystyle \mathbf {A} }no es único. Uno podría preguntarse: ¿cuál es el valor "verdadero" deA{\displaystyle \mathbf {A} }¿medido en un experimento? SiA{\displaystyle \mathbf {A} }no es único, entonces la única respuesta lógica debe ser que nunca podremos medir el valor deA{\displaystyle \mathbf {A} }. Sobre esta base, a menudo se afirma que no es una magnitud física real y se cree que los camposmi{\displaystyle \mathbf {E} }yB{\displaystyle \mathbf {B} }son las verdaderas magnitudes físicas.

Sin embargo, existe al menos un experimento en el que el valor de lami{\displaystyle \mathbf {E} }yB{\displaystyle \mathbf {B} }ambos son cero en la ubicación de una partícula cargada, pero no obstante se ve afectado por la presencia de un potencial vectorial magnético local; consulte el efecto Aharonov-Bohm para obtener más detalles. Sin embargo, incluso en el experimento de Aharonov-Bohm, la divergenciaA{\displaystyle \mathbf {A} }nunca entra en los cálculos; solo∇×A{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }La trayectoria de la partícula determina el efecto medible.

Véase también

Notas

  1. ↑ Neumann, Franz Ernst (1 de enero de 1846). "Allgemeine Gesetze der induzirten elektrischen Ströme (Leyes generales de las corrientes eléctricas inducidas)" . Annalen der Physik . 143 (11): 31– 34. doi : 10.1002/andp.18461430103 .
  2. ↑ WE Weber, Elektrodymische Maassbestimungen, uber ein allgemeines Grundgesetz der elektrischen Wirkung, Abhandlungen bei Begrund der Koniglichen Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften (Leipzig, 1846), págs. 211–378 [WE Weber, Wilhelm Weber's Werkes, Vols. 1–6 (Berlín, 1892–1894); vol. 3, págs. 25-214].
  3. ↑ Wu, ACT; Yang, Chen Ning (30-06-2006). "Evolución del concepto de potencial vectorial en la descripción de interacciones fundamentales" . International Journal of Modern Physics A. 21 ( 16): 3235– 3277. Bibcode : 2006IJMPA..21.3235W . doi : 10.1142/S0217751X06033143 . ISSN 0217-751X . 
  4. ↑ Yang, ChenNing (2014). "Los orígenes conceptuales de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de gauge". Physics Today . 67 (11): 45– 51. Bibcode : 2014PhT....67k..45Y . doi : 10.1063/PT.3.2585 .
  5. 1 2 3 4 Feynman (1964) , cap. 15
  6. 1 2 Fitzpatrick, Richard. "Tensores y pseudo-tensores" (apuntes de clase). Austin, TX: Universidad de Texas .
  7. 1 2 3 Mark D. Semon y John R. Taylor (1996). "Reflexiones sobre el potencial vectorial magnético" . American Journal of Physics . 64 (11): 1361– 1369. Bibcode : 1996AmJPh..64.1361S . doi : 10.1119/1.18400 .
  8. ↑ Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (1964). "17" . Las conferencias de Feynman sobre física . Vol. 2. Addison-Wesley. ISBN  978-0-201-02115-8.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  9. ↑ Jackson (1999) , pág. 246 
  10. 1 2 Kraus (1984) , pág. 189 
  11. ↑ Balanis, Constantine A. (2005), Teoría de antenas (tercera ed.), John Wiley, ISBN  047166782X
  12. ↑ Feynman (1964) , pág. 11, cap. 15 

Referencias

  • Duffin, WJ (1990). Electricidad y magnetismo, cuarta edición . McGraw-Hill.
  • Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics Volume 2 . Addison-Wesley. ISBN 0-201-02117-X.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª  ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.
  • Kraus, John D. (1984). Electromagnetismo (3.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-035423-5.
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