Circuito magnético

En los circuitos eléctricos, la ley de Ohm es una relación empírica entre la fuerza electromotriz (FEM) y la corriente eléctrica.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ aplicado a través de un elemento y el actual${\displaystyle I}$Se genera a través de ese elemento. Se escribe como: $${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR.}$$ donde​${\displaystyle R}$es la resistencia eléctrica de ese material. Hay una contraparte de la ley de Ohm que se usa en circuitos magnéticos. Esta ley a menudo se llama ley de Hopkinson , en honor a John Hopkinson , pero en realidad fue formulada antes por Henry Augustus Rowland en 1873. ^{[ 3 ]} Establece que ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Phi {\mathcal {R}}.}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es la fuerza magnetomotriz (FMM) a través de un elemento magnético,${\displaystyle \Phi }$es el flujo magnético a través del elemento magnético, y${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es la reluctancia magnética de ese elemento. (Más adelante se demostrará que esta relación se debe a la relación empírica entre la${\displaystyle \mathbf {H} }$-campo y campo magnético${\displaystyle \mathbf {B} }$,​​${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$, donde​${\displaystyle \mu }$( es la permeabilidad del material). Al igual que la ley de Ohm, la ley de Hopkinson puede interpretarse como una ecuación empírica que funciona para algunos materiales, o puede servir como una definición de reluctancia.

La ley de Hopkinson no es una analogía correcta con la ley de Ohm en términos de modelado del flujo de potencia y energía. En particular, no hay disipación de potencia asociada con una reluctancia magnética de la misma manera que la hay en una resistencia eléctrica. La resistencia magnética que es una verdadera analogía de la resistencia eléctrica en este sentido se define como la relación entre la fuerza magnetomotriz y la tasa de cambio del flujo magnético. Aquí, la tasa de cambio del flujo magnético representa la corriente eléctrica y la analogía con la ley de Ohm se convierte en: $${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}R_{\mathrm {m} },}$$ dónde${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$es la resistencia magnética. Esta relación forma parte de una analogía electromagnética denominada modelo girador-capacitor , cuyo objetivo es superar las limitaciones del modelo de reluctancia. El modelo girador-capacitor, a su vez, forma parte de un conjunto más amplio de analogías compatibles que se utilizan para modelar sistemas en diversos dominios energéticos.

La reluctancia magnética , o resistencia magnética , es análoga a la resistencia en un circuito eléctrico (aunque no disipa energía magnética). De forma similar a como un campo eléctrico hace que una corriente eléctrica siga el camino de menor resistencia , un campo magnético hace que el flujo magnético siga el camino de menor reluctancia magnética. Es una magnitud escalar y extensiva , similar a la resistencia eléctrica.

La reluctancia total es igual a la relación entre la fuerza magnetomotriz (FMM) en un circuito magnético pasivo y el flujo magnético en dicho circuito. En un campo de corriente alterna (CA), la reluctancia es la relación entre las amplitudes de una FMM sinusoidal y el flujo magnético. (Véase fasores ).

La definición se puede expresar como: $${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {\mathcal {F}}{\Phi }},}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es la reluctancia en amperios-vueltas por weber ( A⋅t⋅Wb ⁻¹ ), una unidad que es equivalente a vueltas por henrio ( t⋅H ⁻¹ ).

El flujo magnético siempre forma un bucle cerrado, como describen las ecuaciones de Maxwell , pero la trayectoria de este bucle depende de la reluctancia de los materiales circundantes. Se concentra alrededor de la trayectoria de menor reluctancia. El aire y el vacío tienen alta reluctancia, mientras que los materiales fácilmente magnetizables, como el hierro dulce, tienen baja reluctancia. La concentración de flujo en materiales de baja reluctancia forma polos temporales intensos y genera fuerzas mecánicas que tienden a desplazar los materiales hacia regiones de mayor flujo, por lo que siempre se trata de una fuerza de atracción.

La inversa de la reluctancia se llama permeancia . $${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{\mathcal {R}}}.}$$

Su unidad derivada del SI es el henrio ( H ) (la misma que la unidad de inductancia , aunque los dos conceptos son distintos).

La reluctancia de un elemento de circuito magnético magnéticamente uniforme se puede calcular como: $${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {l}{\mu A}}.}$$ dónde

• ⁠${\displaystyle l}$es la longitud del elemento;
• ${\textstyle \mu =\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}}$es la permeabilidad del material (${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$es la permeabilidad relativa del material (adimensional), y${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre); y
• ⁠${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal del circuito.

Esto es similar a la ecuación de la resistencia eléctrica en los materiales, donde la permeabilidad es análoga a la conductividad; el recíproco de la permeabilidad se conoce como reluctancia magnética y es análogo a la resistividad. Las geometrías más largas y delgadas con baja permeabilidad dan lugar a una mayor reluctancia. Generalmente se prefiere una baja reluctancia, al igual que una baja resistencia en los circuitos eléctricos.

La siguiente tabla resume la analogía matemática entre la teoría de circuitos eléctricos y la teoría de circuitos magnéticos. Se trata de una analogía matemática, no física. Los elementos de la misma fila desempeñan la misma función matemática; sin embargo, la física de ambas teorías es muy diferente. Por ejemplo, la corriente eléctrica es el flujo de carga eléctrica, mientras que el flujo magnético no es el flujo de ninguna magnitud.

El modelo de resistencia-reluctancia tiene limitaciones. Los circuitos eléctricos y magnéticos solo son superficialmente similares debido a la similitud matemática entre la ley de Hopkinson y la ley de Ohm. Los circuitos magnéticos presentan diferencias significativas que deben tenerse en cuenta en su construcción:

• Las corrientes eléctricas representan el flujo de partículas (electrones) y transportan energía , la cual se disipa total o parcialmente en forma de calor en las resistencias. Los campos magnéticos no representan un flujo de nada, y no se disipa energía en las reluctancias.
• En los circuitos eléctricos típicos, la corriente se limita al circuito, con muy poca fuga. En los circuitos magnéticos típicos, el campo magnético no se limita completamente al circuito, ya que la permeabilidad magnética también existe fuera de los materiales (véase permeabilidad del vacío ). Por lo tanto, puede existir un flujo de fuga significativo en el espacio exterior a los núcleos magnéticos, que debe tenerse en cuenta, pero que a menudo resulta difícil de calcular.
• Lo más importante es que los circuitos magnéticos son no lineales ; la reluctancia en un circuito magnético no es constante, como lo es la resistencia, sino que varía según el campo magnético. A altos flujos magnéticos, los materiales ferromagnéticos utilizados para los núcleos de los circuitos magnéticos se saturan , lo que limita un mayor aumento del flujo magnético a través de ellos, por lo que por encima de este nivel la reluctancia aumenta rápidamente. Además, los materiales ferromagnéticos sufren histéresis , por lo que el flujo en ellos depende no solo de la fuerza magnetomotriz (FMM) instantánea, sino también de su historial. Después de que se apaga la fuente de flujo magnético, queda magnetismo remanente en los materiales ferromagnéticos, creando un flujo sin FMM.

Los circuitos magnéticos obedecen otras leyes que son similares a las leyes de los circuitos eléctricos. Por ejemplo, la reluctancia total${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {T} }}$de reticencias${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$,​​${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$⁠ , ... en serie es: $${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {T} }={\mathcal {R}}_{1}+{\mathcal {R}}_{2}+\dotsm }$$

Esto también se deduce de la ley de Ampère y es análogo a la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) para la suma de resistencias en serie. Además, la suma de flujos magnéticos${\displaystyle \Phi _{1}}$,​​${\displaystyle \Phi _{2}}$⁠ , ... en cualquier nodo siempre es cero: $${\displaystyle \Phi _{1}+\Phi _{2}+\dotsm =0.}$$

Esto se deduce de la ley de Gauss y es análogo a la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) para el análisis de circuitos eléctricos.

En conjunto, las tres leyes anteriores forman un sistema completo para analizar circuitos magnéticos, de manera similar a como se hace con los circuitos eléctricos. La comparación de ambos tipos de circuitos muestra que:

• El equivalente a la resistencia${\displaystyle R}$es la reticencia​${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {m} }}$.​
• El equivalente a la corriente ⁠${\displaystyle I}$es el flujo magnético${\displaystyle \Phi }$.​
• El equivalente al voltaje${\displaystyle V}$es la fuerza magnetomotriz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.​

Los circuitos magnéticos pueden resolverse para el flujo en cada rama mediante la aplicación del equivalente magnético de la ley de voltajes de Kirchhoff para circuitos de fuente/resistencia puros. Específicamente, mientras que la ley de voltajes de Kirchhoff establece que la excitación de voltaje aplicada a una espira es igual a la suma de las caídas de voltaje (resistencia por corriente) alrededor de la espira, el análogo magnético establece que la fuerza magnetomotriz (obtenida a partir de la excitación de amperios-vuelta) es igual a la suma de las caídas de fuerza magnetomotriz (producto del flujo y la reluctancia) a través del resto de la espira. (Si hay múltiples espiras, la corriente en cada rama puede resolverse mediante una ecuación matricial , de forma similar a como se obtiene una solución matricial para las corrientes de rama de un circuito de malla en el análisis de espiras , después de lo cual las corrientes de rama individuales se obtienen sumando y/o restando las corrientes de espira constituyentes según lo indicado por la convención de signos adoptada y las orientaciones de las espiras). Según la ley de Ampère , la excitación es el producto de la corriente y el número de espiras completas formadas y se mide en amperios-vuelta. Dicho de forma más general:   $${\displaystyle {\mathcal {F}}=NI=\oint \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}.}$$

Por el teorema de Stokes , la integral de línea cerrada de ⁠${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$⁠ alrededor de un contorno es igual a la integral de superficie abierta del rotacional ⁠${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {A} }$⁠ a través de la superficie delimitada por el contorno cerrado. Dado que, según las ecuaciones de Maxwell , ⁠${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$⁠ , la integral de línea cerrada de ⁠${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$⁠ se evalúa como la corriente total que pasa a través de la superficie. Esto es igual a la excitación, ⁠${\displaystyle NI}$⁠ , que también mide la corriente que pasa a través de la superficie, verificando así que el flujo de corriente neto a través de una superficie es de cero amperios-vueltas en un sistema cerrado que conserva la energía.

Los sistemas magnéticos más complejos, donde el flujo no está confinado a un simple bucle, deben analizarse desde los principios fundamentales utilizando las ecuaciones de Maxwell .