interacción dipolo-dipolo magnética

Si dos o más imanes son lo suficientemente pequeños o están lo suficientemente distantes como para que su forma y tamaño no sean importantes, entonces ambos imanes pueden modelarse como _{dipolos magnéticos} con momentos magnéticos m₁ y m₂ . En el caso de imanes esféricos uniformemente magnetizados, este modelo es preciso incluso a tamaño y distancia finitos, ya que el campo externo de dichos imanes es exactamente un campo dipolar. ^{[ 1 ]}

El campo magnético de un dipolo magnético en notación vectorial es: $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}}{3}}\mathbf {m} \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$ dónde

• B es el campo
• r es el vector desde la posición del dipolo hasta la posición donde se está midiendo el campo.
• r es el valor absoluto de r : la distancia desde el dipolo.
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$es el vector unitario paralelo a r ;
• m es el momento dipolar (vectorial)
• μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre.
• δ ^{3 es la} función delta tridimensional . ^{[ 2 ]}

Este es exactamente el campo de un dipolo puntual, exactamente el término dipolar en la expansión multipolar de un campo arbitrario, y aproximadamente el campo de cualquier configuración similar a un dipolo a grandes distancias.

Si el sistema de coordenadas se desplaza para centrarlo en m ₁ y se rota de manera que el eje x apunte en la dirección de m _1, entonces la ecuación anterior se simplifica a ^{[ 3 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{r^{3}}}\right)\\B_{y}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos \theta \sin \theta }{r^{3}}}\right),\end{aligned}}}$$ donde las variables r y θ se miden en un sistema de referencia con origen en m ₁ y orientado de tal manera que m ₁ se encuentra en el origen apuntando en la dirección x. Este sistema se denomina coordenadas locales y se muestra en la figura de la derecha.

La fuerza que ejerce un dipolo magnético sobre otro se determina utilizando el campo magnético del primer dipolo dado anteriormente y determinando la fuerza debida al campo magnético sobre el segundo dipolo utilizando la ecuación de fuerza:

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right),}$$ donde el gradiente ∇ es el cambio de la cantidad m · B por unidad de distancia, y la dirección es la de máximo incremento de m · B. Utilizando notación vectorial, la fuerza de un dipolo magnético m ₁ sobre el dipolo magnético m ₂ es:$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]}$$ donde r es el vector distancia desde el momento dipolar m ₁ al momento dipolar m ₂ , con r = ‖ r ‖ . La fuerza que actúa sobre m ₁ tiene dirección opuesta. Como ejemplo, la fuerza magnética para dos imanes que apuntan en la dirección z, están alineados en el eje z y separados por la distancia z es:

${\displaystyle \mathbf {F} (z,m_{1},m_{2})=-{\frac {3\mu _{0}m_{1}m_{2}}{2\pi z^{4}}}}$, dirección z.

Las fórmulas finales se muestran a continuación. Están expresadas en el sistema de coordenadas global, $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\left[2\cos(\phi -\alpha )\cos(\phi -\beta )-\sin(\phi -\alpha )\sin(\phi -\beta )\right]\\F_{\phi }(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _ {0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\sin(2\phi -\alpha -\beta )\end{aligned}}}$$

Consideremos dos momentos dipolares magnéticos puntuales clásicos m₁ y m₂ en _un sistema de coordenadas cartesianas . En nuestro modelo _, consideraremos una interacción dipolar de la siguiente manera. Debido a la interacción de largo alcance del campo magnético producido por el dipolo, un dipolo puede interactuar con el campo producido por el otro de tal forma que el paisaje de energía potencial viene dado por: ${\displaystyle U_{ij}=-\mathbf {m} _{i}\cdot {\mathbf {B} }_{j}\,,}$ donde los índices etiquetan los momentos dipolares. El hamiltoniano de interacción de este sistema calculado tiene la siguiente forma:

${\displaystyle H=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}\left[3(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}\right]-\mu _{0}{\frac {2}{3}}\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}\delta (\mathbf {r} ),}$

donde μ ₀ es la constante magnética ,${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$es un vector unitario paralelo a la línea central que pasa por ambos dipolos, y | r | es la distancia entre los centros de m ₁ y m ₂ . Último término con${\displaystyle \delta }$La función desaparece en todas partes excepto en el origen, y es necesaria para garantizar que${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} }$Desaparece por todas partes.

Este hamiltoniano anterior se puede adaptar fácilmente a una descripción cuántica . Consideremos dos partículas de espín 1/2, S ₁ y S ₂ , con razones giromagnéticas γ ₁ y γ _2. El hamiltoniano ahora se puede escribir como

${\displaystyle H=-{\frac {\mu _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\hbar ^{2}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}\left[3(\mathbf {S} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {S} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {S} _{1}\cdot \mathbf {S} _{2}\right].}$

La fuerza F resultante de la interacción entre m ₁ y m ₂ viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\{({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{1})\mathbf {m} _{2}+({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {m} _{1}+{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})-5{\hat {\mathbf {r} }}[({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{1})({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{2})]\}.}$

La transformada de Fourier de H se puede calcular a partir del hecho de que

${\displaystyle {\frac {3(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}=(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {\nabla } )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {\nabla } ){\frac {1}{4\pi |\mathbf {r} |}}}$

y es dado por

${\displaystyle H={\mu _{0}}{\frac {(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {q} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {q} )-|\mathbf {q} |^{2}\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}}{|\mathbf {q} |^{2}}}.}$