dipolo magnético

En electromagnetismo , un dipolo magnético es una descripción teórica de un imán suficientemente pequeño, como un átomo o un electrón. Todos los imanes pueden describirse como dipolos magnéticos a distancias suficientemente grandes. La intensidad de un dipolo magnético está determinada por una sola propiedad: su momento dipolar magnético . El modelo de dipolo magnético predice con precisión muchas propiedades de los imanes pequeños, como el campo magnético que producen, cómo interactúan con otros dipolos magnéticos y cómo un campo magnético externo ejerce un par o crea una fuerza neta sobre el dipolo.

Para describir un dipolo magnético se pueden utilizar dos modelos diferentes. El más sencillo de entender, aunque el menos preciso, consiste en imaginar el imán como dos polos iguales pero opuestos que actúan de forma similar a cargas eléctricas. El dipolo magnético "ideal" se modela reduciendo la distancia entre los polos y aumentando su intensidad, de modo que el producto de ambos (el momento dipolar magnético) se mantenga constante. Este método suele ofrecer resultados correctos de forma sencilla, pero presenta inconvenientes (los polos magnéticos no existen como entidades separadas) y puede dar resultados erróneos en ciertos casos (por ejemplo, dentro de un imán).

La descripción más precisa de un dipolo magnético es la de un bucle cerrado de corriente eléctrica que encierra un área plana a . El momento magnético de este dipolo es, por lo tanto, el producto de su área y su corriente. Este modelo de bucle amperiano tiene la ventaja de ser físicamente correcto, al menos para la parte del campo magnético de un átomo debida al movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico.

Dado que no existen monopolos magnéticos , el campo magnético a gran distancia de cualquier fuente magnética estática se asemeja al campo de un dipolo con el mismo momento dipolar. Para fuentes de orden superior (por ejemplo, cuadrupolos ) sin momento dipolar, su campo decae hacia cero con la distancia más rápidamente que el campo de un dipolo.

La explicación clásica preferida de un dipolo magnético ha cambiado con el tiempo. Antes de la década de 1930, los libros de texto explicaban el dipolo magnético utilizando cargas puntuales magnéticas hipotéticas. Desde entonces, la mayoría lo ha definido en términos de corrientes amperianas. ^{[ 2 ]} En los materiales magnéticos, la causa del momento magnético son los estados de momento angular de espín y orbital de los electrones .

Modelo de polo magnético

Las fuentes de momentos magnéticos en los materiales pueden representarse mediante polos, de forma análoga a la electrostática . Esto se conoce a veces como el modelo de Gilbert. ^{[ 3 ] : 258} En este modelo, un pequeño imán se representa mediante un par de monopolos magnéticos ficticios de igual magnitud pero polaridad opuesta . Cada polo es la fuente de una fuerza magnética que se debilita con la distancia. Dado que los polos magnéticos siempre se presentan en pares, sus fuerzas se cancelan parcialmente entre sí, ya que mientras un polo atrae, el otro repele. Esta cancelación es mayor cuando los polos están cerca uno del otro, es decir, cuando el imán de barra es corto. Por lo tanto, la fuerza magnética producida por un imán de barra, en un punto dado del espacio, depende de dos factores: la intensidad p de sus polos ( intensidad del polo magnético ) y el vector${\displaystyle \mathrm {\boldsymbol {\ell }} }$separándolos. El momento dipolar magnético m está relacionado con los polos ficticios como ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {m} =p\,\mathrm {\boldsymbol {\ell }} \,.}$$

Apunta en la dirección del polo sur al polo norte. La analogía con los dipolos eléctricos no debe llevarse demasiado lejos porque los dipolos magnéticos están asociados con el momento angular (véase Relación con el momento angular ). Sin embargo, los polos magnéticos son muy útiles para los cálculos magnetostáticos , particularmente en aplicaciones a ferromagnetos . ^{[ 2 ]} Los profesionales que utilizan el enfoque del polo magnético generalmente representan el campo magnético por el campo irrotacional H , en analogía con el campo eléctrico E .

Modelo de bucle amperiano

Después de que Hans Christian Ørsted descubriera que las corrientes eléctricas producen un campo magnético y André-Marie Ampère descubriera que las corrientes eléctricas se atraen y repelen entre sí de forma similar a los imanes, fue natural hipotetizar que todos los campos magnéticos se deben a bucles de corriente eléctrica. En este modelo desarrollado por Ampère, el dipolo magnético elemental que constituye todos los imanes es un bucle amperiano suficientemente pequeño de corriente I. El momento dipolar de este bucle es $${\displaystyle \mathbf {m} =I{\boldsymbol {S}},}$$ donde S es el área del bucle. La dirección del momento magnético es perpendicular al área encerrada por la corriente, de acuerdo con la dirección de la corriente según la regla de la mano derecha.

Distribuciones de corriente localizadas

El momento dipolar magnético se puede calcular para una distribución de corriente localizada (que no se extiende hasta el infinito) suponiendo que conocemos todas las corrientes involucradas. Convencionalmente, la derivación parte de un desarrollo multipolar del potencial vectorial . Esto lleva a la definición del momento dipolar magnético como: $${\displaystyle \mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _ {V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,}$$ donde × es el producto vectorial , r es el vector de posición y j es la densidad de corriente eléctrica y la integral es una integral de volumen. ^{[ 4 ] : §  5.6} Cuando la densidad de corriente en la integral se reemplaza por un bucle de corriente I en un plano que encierra un área S, entonces la integral de volumen se convierte en una integral de línea y el momento dipolar resultante se convierte en $${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {S} ,}$$ Así es como se obtiene el momento dipolar magnético de un bucle amperiano.

Los profesionales que utilizan el modelo de bucle de corriente generalmente representan el campo magnético mediante el campo solenoidal B , análogo al campo electrostático D.

momento magnético de un solenoide

Una generalización del bucle de corriente anterior es una bobina o solenoide . Su momento es la suma vectorial de los momentos de las espiras individuales. Si el solenoide tiene N espiras idénticas (bobinado de una sola capa) y área vectorial S , $${\displaystyle \mathbf {m} =NI\mathbf {S}.}$$

En física clásica , el campo magnético de un dipolo se calcula como el límite de una espira de corriente o de un par de cargas cuando la fuente se reduce a un punto manteniendo constante el momento magnético m . Para la espira de corriente, este límite se deriva más fácilmente del potencial vectorial : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

donde μ ₀ es la constante de permeabilidad del vacío y 4 π r ² es la superficie de una esfera de radio r . La densidad de flujo magnético (intensidad del campo B) es entonces ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _ {0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m}}{r^{3}}}\right].}$

Alternativamente, se puede obtener primero el potencial escalar a partir del límite del polo magnético,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

y por lo tanto la intensidad del campo magnético (o intensidad del campo H) es

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} ({\mathbf {r} })}{\mu _{0}}}.}$

La intensidad del campo magnético es simétrica bajo rotaciones alrededor del eje del momento magnético. En coordenadas esféricas, con${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }$y con el momento magnético alineado con el eje z, entonces la intensidad del campo se puede expresar de forma más sencilla como

${\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Los dos modelos para un dipolo (bucle de corriente y polos magnéticos) ofrecen las mismas predicciones para el campo magnético lejos de la fuente. Sin embargo, dentro de la región de la fuente, las predicciones difieren. El campo magnético entre polos apunta en dirección opuesta al momento magnético (que va de la carga negativa a la positiva), mientras que dentro de un bucle de corriente apunta en la misma dirección (véase la figura de la derecha (arriba para usuarios de dispositivos móviles)). Evidentemente, los límites de estos campos también deben ser diferentes a medida que las fuentes se reducen a tamaño cero. Esta distinción solo es relevante si se utiliza el límite del dipolo para calcular campos dentro de un material magnético.

Si se forma un dipolo magnético haciendo cada vez más pequeño un bucle de corriente, pero manteniendo constante el producto de la corriente y el área, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

donde δ ( r ) es la función delta de Dirac en tres dimensiones. A diferencia de las expresiones de la sección anterior, este límite es correcto para el campo interno del dipolo.

Si se forma un dipolo magnético tomando un "polo norte" y un "polo sur", acercándolos cada vez más pero manteniendo constante el producto de la carga del polo magnético y la distancia, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

Estos campos están relacionados por B = μ ₀ ( H + M ) , donde

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

es la magnetización .

La fuerza F ejercida por un momento dipolar m ₁ sobre otro m ₂ separados en el espacio por un vector r se puede calcular usando: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

o ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

donde r es la distancia entre dipolos. La fuerza que actúa sobre m ₁ está en la dirección opuesta.

El par motor se puede obtener a partir de la fórmula.

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

El potencial escalar magnético ψ producido por una fuente finita, pero externa a ella, puede representarse mediante una expansión multipolar . Cada término de la expansión está asociado a un momento característico y a un potencial que tiene una tasa característica de disminución con la distancia r desde la fuente. Los momentos monopolares tienen una tasa de disminución de 1/ r , los momentos dipolares tienen una tasa ^de 1/ r² , los momentos cuadrupolares tienen una tasa ^de 1/ r³ , y así sucesivamente. Cuanto mayor sea el orden, más rápido disminuye el potencial. Dado que el término de orden más bajo observado en las fuentes magnéticas es el término dipolar, este domina a grandes distancias. Por lo tanto, a grandes distancias cualquier fuente magnética se comporta como un dipolo del mismo momento magnético .