Espín (física)

Los primeros modelos para el espín del electrón imaginaban una masa cargada en rotación, pero este modelo falla al examinarlo en detalle. La distribución espacial requerida no coincide con los límites del radio del electrón , y la velocidad de rotación requerida supera la velocidad de la luz. ^{[ 4 ]} En el Modelo Estándar , todas las partículas fundamentales se consideran puntuales y sus efectos se producen a través del campo que las rodea. ^{[ 5 ]} Cualquier modelo para el espín basado en la rotación de la masa tendría que ser coherente con ese modelo.

Wolfgang Pauli , figura central en la historia del espín cuántico, rechazó inicialmente la idea de que el "grado de libertad" que introdujo para explicar las observaciones experimentales estuviera relacionado con la rotación. Lo denominó "bivalencia clásicamente indescriptible". Posteriormente, admitió que está relacionado con el momento angular, pero insistió en considerar el espín como una propiedad abstracta. ^{[ 6 ]} Este enfoque permitió a Pauli desarrollar una demostración de su principio fundamental de exclusión de Pauli , una demostración que ahora se conoce como el teorema de espín-estadística . ^{[ 7 ]} En retrospectiva, esta insistencia y el estilo de su demostración dieron inicio a la era moderna de la física de partículas, donde predominan las propiedades cuánticas abstractas derivadas de las propiedades de simetría. La interpretación concreta pasó a ser secundaria y opcional. ^{[ 6 ]}

El primer modelo clásico para el espín propuso una pequeña partícula rígida que giraba alrededor de un eje, como sugiere el uso común de la palabra. El momento angular también se puede calcular a partir de un campo clásico. ^{[ 8 ] [ 9 ] : 63} Al aplicar el enfoque de Frederik Belinfante para calcular el momento angular de un campo, Hans C. Ohanian demostró que "el espín es esencialmente una propiedad ondulatoria... generada por un flujo circulante de carga en el campo ondulatorio del electrón". ^{[ 10 ]} Este mismo concepto de espín se puede aplicar a las ondas gravitatorias en el agua: "el espín se genera por el movimiento circular sublongitudinal de las partículas de agua". ^{[ 11 ]}

Unlike classical wavefield circulation, which allows continuous values of angular momentum, quantum wavefields allow only discrete values.^[10] Consequently, energy transfer to or from spin states always occurs in fixed quantum steps. Only a few steps are allowed: for many qualitative purposes, the complexity of the spin quantum wavefields can be ignored and the system properties can be discussed in terms of "integer" or "half-integer" spin models as discussed in quantum numbers below.

Spin can be understood differently depending on the interpretations of quantum mechanics. In the de Broglie–Bohm interpretation, particles have definitive trajectories but their motion is driven by the wave function or pilot wave. In this interpretation, the spin is a property of the pilot wave and not of the particle itself.^[12]

Relativistic calculations of spin properties for electrons requires the Dirac equation.^[7]

Las partículas con espín semientero, como 1/2 , 3/2 y 5/2 , se conocen como fermiones , mientras que las partículas con espín entero, como 0, 1 y 2, se conocen como bosones . Estas dos familias de partículas obedecen reglas diferentes y, en general , desempeñan funciones distintas en el mundo que nos rodea. Una distinción clave entre ambas familias es que los fermiones obedecen el principio de exclusión de Pauli : es decir, no puede haber dos fermiones idénticos que tengan simultáneamente los mismos números cuánticos ( lo que significa, aproximadamente, que tengan la misma posición, velocidad y dirección de espín). Los fermiones obedecen las reglas de la estadística de Fermi-Dirac . En cambio, los bosones obedecen las reglas de la estadística de Bose-Einstein y no tienen tal restricción, por lo que pueden agruparse en estados idénticos. Además, las partículas compuestas pueden tener espines diferentes a los de sus partículas componentes. Por ejemplo, un átomo de helio-4 en su estado fundamental tiene espín 0 y se comporta como un bosón, aunque los quarks y electrones que lo componen son todos fermiones. 

Esto tiene algunas consecuencias profundas:

• Los quarks y leptones (incluidos los electrones y los neutrinos ), que constituyen lo que clásicamente se conoce como materia , son todos fermiones con espín 1/2 .  La idea común de que "la materia ocupa espacio" proviene del principio de exclusión de Pauli , que actúa sobre estas partículas para evitar que los fermiones se encuentren en el mismo estado cuántico. Una mayor compactación requeriría que los electrones ocuparan los mismos estados de energía, por lo que una especie de presión (a veces conocida como presión de degeneración de electrones ) actúa para evitar que los fermiones estén demasiado cerca.
  No se conoce la existencia de fermiones elementales con otros espines ( ⁠ 3 / 2 ⁠ , ⁠ 5 / 2 ⁠ , etc.).
• Las partículas elementales que se consideran portadoras de fuerzas son todos bosones con espín  1. Entre ellos se incluyen el fotón , que transporta la fuerza electromagnética , el gluón ( fuerza fuerte ) y los bosones W y Z ( fuerza débil ). La capacidad de los bosones para ocupar el mismo estado cuántico se utiliza en el láser , que alinea muchos fotones con el mismo número cuántico (la misma dirección y frecuencia), en el helio líquido superfluido resultante de que los átomos de helio-4 sean bosones, y en la superconductividad , donde pares de electrones (que individualmente son fermiones) actúan como bosones compuestos únicos.
  Históricamente, no se conocía la existencia de bosones elementales con otros espines (0, 2, 3, etc.), aunque han recibido un considerable tratamiento teórico y están bien establecidos dentro de sus respectivas teorías principales. En particular, los teóricos han propuesto el gravitón (cuya existencia predicen algunas teorías de gravedad cuántica ) con espín  2, y el bosón de Higgs (que explica la ruptura de la simetría electrodébil ) con espín  0. Desde 2013,  se considera probada la existencia del bosón de Higgs con espín 0. ^{[ 14 ]} Es la primera partícula elemental escalar (espín  0) que se sabe que existe en la naturaleza.
• Los núcleos atómicos tienen un espín nuclear que puede ser semientero o entero, por lo que los núcleos pueden ser fermiones o bosones.

El teorema de espín-estadística divide las partículas en dos grupos: bosones y fermiones , donde los bosones obedecen la estadística de Bose-Einstein y los fermiones obedecen la estadística de Fermi-Dirac (y, por lo tanto, el principio de exclusión de Pauli ). Específicamente, el teorema requiere que las partículas con espín semientero obedezcan el principio de exclusión de Pauli, mientras que las partículas con espín entero no lo hacen. Por ejemplo, los electrones tienen espín semientero y son fermiones que obedecen el principio de exclusión de Pauli, mientras que los fotones tienen espín entero y no lo hacen. El teorema fue derivado por Wolfgang Pauli en 1940; se basa tanto en la mecánica cuántica como en la teoría de la relatividad especial . Pauli describió esta conexión entre espín y estadística como "una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la relatividad especial". ^{[ 15 ]}

En mecánica clásica, el momento angular de una partícula posee no solo una magnitud (qué tan rápido gira el cuerpo), sino también una dirección (hacia arriba o hacia abajo en el eje de rotación de la partícula). El espín cuántico también contiene información sobre la dirección, pero de una forma más sutil. La mecánica cuántica establece que la componente del momento angular para una partícula de espín s medida a lo largo de cualquier dirección solo puede tomar los valores ^{[ 23 ].}

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

donde S _i es la componente de espín a lo largo del i -ésimo eje (ya sea x , y o z ), s _i es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del i -ésimo eje, y s es el número cuántico de espín principal (discutido en la sección anterior). Convencionalmente, la dirección elegida es el eje z : 

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

donde S _z es la componente de espín a lo largo del eje z  , s _z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje z . 

Se puede observar que existen 2 s + 1 valores posibles de s _z . El número " 2 s + 1 " representa la multiplicidad del sistema de espín. Por ejemplo, para una partícula de espín 1/2, solo existen dos valores posibles : s z = + 1/2 y _s z = − 1/2 . _Estos corresponden a estados cuánticos en los que el componente de espín apunta en las direcciones + z o −z, respectivamente , y se denominan comúnmente "espín arriba" y "espín abajo" . Para una partícula de espín ⁠ 3 / 2 ⁠ , como un barión delta , los valores posibles son + ⁠ 3 / 2 ⁠ , + ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠ .

Para un estado cuántico dado , se podría pensar en un vector de espín.${\textstyle \langle S\rangle }$cuyos componentes son los valores esperados de los componentes de espín a lo largo de cada eje, es decir,${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$Este vector describiría entonces la "dirección" hacia la que apunta el espín, correspondiente al concepto clásico del eje de rotación . Resulta que el vector de espín no es muy útil en los cálculos cuántico-mecánicos reales, porque no se puede medir directamente: s _x , s _y y s _z no pueden tener valores definidos simultáneamente, debido a una relación de incertidumbre cuántica entre ellos. Sin embargo, para conjuntos estadísticamente grandes de partículas que se han colocado en el mismo estado cuántico puro, como mediante el uso de un aparato de Stern-Gerlach , el vector de espín sí tiene un significado experimental bien definido: especifica la dirección en el espacio ordinario en la que debe orientarse un detector posterior para lograr la máxima probabilidad posible (100%) de detectar cada partícula en el conjunto. Para partículas de espín 1/2 , esta probabilidad disminuye gradualmente a medida que aumenta el ángulo entre el vector de espín y el detector, hasta que en un ángulo de 180° (es decir, para detectores orientados en la dirección opuesta al vector de espín ) , la probabilidad de detectar partículas de la colección alcanza un mínimo del 0%.

Como concepto cualitativo, el vector de espín suele ser útil porque es fácil de visualizar clásicamente. Por ejemplo, el espín cuántico puede exhibir fenómenos análogos a los efectos giroscópicos clásicos . Por ejemplo, se puede ejercer una especie de " torque " sobre un electrón al colocarlo en un campo magnético (el campo actúa sobre el momento dipolar magnético intrínseco del electrón; véase la siguiente sección). El resultado es que el vector de espín experimenta precesión , al igual que un giroscopio clásico. Este fenómeno se conoce como resonancia de espín electrónico (ESR). El comportamiento equivalente de los protones en los núcleos atómicos se utiliza en la espectroscopia y la imagen por resonancia magnética nuclear (RMN).

Matemáticamente, los estados de espín cuántico - mecánicos se describen mediante objetos vectoriales conocidos como espinores . Existen sutiles diferencias entre el comportamiento de los espinores y los vectores bajo rotaciones de coordenadas . Por ejemplo, rotar una partícula de espín 1/2 360 ° no la devuelve al mismo estado cuántico, sino al estado con la fase cuántica opuesta ; esto es detectable, en principio, mediante experimentos de interferencia . Para que la partícula regrese a su estado original exacto, se necesita una rotación de 720°. (El truco de la placa y la cinta de Möbius ofrecen analogías no cuánticas). Una partícula de espín cero solo puede tener un único estado cuántico, incluso después de aplicarle un torque. Rotar una partícula de espín 2 180° puede devolverla al mismo estado cuántico, y una partícula de espín 4 debe rotarse 90° para devolverla al mismo estado cuántico. Una partícula de espín 2 puede compararse con una varilla recta que mantiene su aspecto incluso después de girarla 180°, y una partícula de espín 0 puede imaginarse como una esfera, que conserva su aspecto independientemente del ángulo de giro.

El espín obedece relaciones de conmutación ^{[ 28 ]} análogas a las del momento angular orbital : $${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$ donde ε _jkl es el símbolo de Levi-Civita . De ello se deduce (al igual que con el momento angular ) que los autovectores de${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$y${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$(expresados ​​como kets en la base S total ) son ^{[ 2 ] : 166}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

Los operadores de elevación y descenso de espín que actúan sobre estos autovectores dan $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$ dónde${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$. ^{[ 2 ] : 166}

Pero a diferencia del momento angular orbital, los autovectores no son armónicos esféricos . No son funciones de θ y φ . Tampoco hay razón para excluir los valores semienteros de s y m _s .

Todas las partículas cuánticas poseen un espín intrínseco.${\displaystyle s}$(aunque este valor puede ser igual a cero). La proyección del espín${\displaystyle s}$en cualquier eje está cuantizado en unidades de la constante de Planck reducida , de modo que la función de estado de la partícula no es, digamos,${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$, pero${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$, dónde${\displaystyle s_{z}}$Solo puede tomar los valores del siguiente conjunto discreto: $${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

Se distinguen bosones (espín entero) y fermiones (espín semientero). El momento angular total conservado en los procesos de interacción es entonces la suma del momento angular orbital y el espín.

Los operadores cuántico-mecánicos asociados con observables de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ son $${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$ donde en componentes cartesianas $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

Para el caso especial de _{partículas de} espín 1/2 , σx , σy y σz _son las tres matrices de Pauli : $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

El principio de exclusión de Pauli establece que la función de onda${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$para un sistema de N partículas idénticas que tienen espín s debe cambiar al intercambiar cualesquiera dos de las N partículas como $${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

Así, para los bosones el factor preexponencial (−1) ^{2 s} se reduce a +1, y para los fermiones a −1. Este postulado de permutación para las funciones de estado de N partículas tiene consecuencias importantísimas en la vida cotidiana, por ejemplo, en la tabla periódica de los elementos químicos.

Como se describió anteriormente, la mecánica cuántica establece que los componentes del momento angular medidos a lo largo de cualquier dirección solo pueden tomar un número de valores discretos. Por lo tanto, la descripción cuántica más conveniente del espín de una partícula es mediante un conjunto de números complejos que corresponden a las amplitudes de encontrar un valor dado de proyección de su momento angular intrínseco sobre un eje dado. Por ejemplo, para una partícula de espín 1/2 , necesitaríamos dos números a ± _1/2 , que dan amplitudes para encontrarla con una proyección de momento angular igual a + ħ / 2 y −ħ / 2 , satisfaciendo el requisito .$${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

Para una partícula genérica con espín s , necesitaríamos 2s + 1 de estos parámetros. Dado que estos números dependen de la elección del eje, se transforman entre sí de forma no trivial cuando este eje gira. Es evidente que la ley de transformación debe ser lineal, por lo que podemos representarla asociando una matriz a cada rotación, y el producto de dos matrices de transformación correspondientes a las rotaciones A y B debe ser igual (salvo fase) a la matriz que representa la rotación AB. Además, las rotaciones conservan el producto interno cuántico, y nuestras matrices de transformación también deberían hacerlo. $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$$${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

Matemáticamente hablando, estas matrices proporcionan una representación proyectiva unitaria del grupo de rotación SO(3) . Cada una de estas representaciones corresponde a una representación del grupo de recubrimiento de SO(3), que es SU(2) . ^{[ 29 ]} Existe una representación irreducible n -dimensional de SU(2) para cada dimensión, aunque esta representación es n- dimensional real para n impar y n -dimensional compleja para n par (por lo tanto, de dimensión real 2 n ). Para una rotación de ángulo θ en el plano con vector normal${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, $${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$ dónde${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$y S es el vector de operadores de espín .

Se puede construir una rotación genérica en el espacio tridimensional mediante la composición de operadores de este tipo utilizando ángulos de Euler : $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

Una representación irreducible de este grupo de operadores viene dada por la matriz D de Wigner : $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$ dónde $${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$ es la matriz d pequeña de Wigner . Nótese que para γ = 2π y α = β = 0 ; es decir, una rotación completa alrededor del eje z  , los elementos de la matriz D de Wigner se convierten en $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

Recordando que un estado de espín genérico puede escribirse como una superposición de estados con m definido , vemos que si s es un entero, los valores de m son todos enteros, y esta matriz corresponde al operador identidad. Sin embargo, si s es un semi-entero, los valores de m también son todos semi-enteros, lo que da (−1) ^{2 m} = −1 para todo m , y por lo tanto, al rotar 2π el estado adquiere un signo negativo. Este hecho es un elemento crucial de la demostración del teorema de espín-estadística .

Podríamos intentar el mismo enfoque para determinar el comportamiento del espín bajo transformaciones de Lorentz generales , pero descubriríamos de inmediato un obstáculo importante. A diferencia de SO(3), el grupo de transformaciones de Lorentz SO(3,1) no es compacto y, por lo tanto, no tiene representaciones unitarias, fieles y de dimensión finita.

En el caso de partículas de espín 1/2 , es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar que se conserva en dicha representación. Asociamos un espinor de Dirac de 4 componentes ψ a cada partícula . Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz según la ley $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$ donde γ _ν son matrices gamma , y ​​ω _μν es una matriz antisimétrica de 4  ×  4 que parametriza la transformación. Se puede demostrar que el producto escalar $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$ se conserva. Sin embargo, no es definida positiva, por lo que la representación no es unitaria.

Cada una de las matrices de Pauli (hermíticas) de partículas de espín 1/2 tiene dos valores propios , +1 y −1. Los vectores propios normalizados correspondientes son $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(Dado que cualquier vector propio multiplicado por una constante sigue siendo un vector propio, existe ambigüedad respecto al signo global. En este artículo, se opta por considerar el primer elemento imaginario y negativo si existe ambigüedad en el signo. Esta convención se utiliza en programas como SymPy ; mientras que muchos libros de texto de física, como los de Sakurai y Griffiths, prefieren considerarlo real y positivo).

Según los postulados de la mecánica cuántica , un experimento diseñado para medir el espín del electrón en el eje x , y o z  solo puede producir un valor propio del operador de espín correspondiente ( S _x , S _y o S _z ) en ese eje, es decir , ⁠ ħ / 2 ⁠ o − ⁠ ħ / 2 ⁠ . El estado cuántico de una partícula (con respecto al espín) puede representarse mediante un espinor de dos componentes : $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

Cuando se mide el espín de esta partícula con respecto a un eje dado (en este ejemplo, el eje x  ), la probabilidad de que su espín se mida como ⁠ ħ / 2 ⁠ es simplemente${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$. En consecuencia, la probabilidad de que su espín se mida como − ⁠ ħ / 2 ⁠ es simplemente${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$. Después de la medición, el estado de espín de la partícula colapsa en el autoestado correspondiente. Como resultado, si se ha medido que el espín de la partícula a lo largo de un eje dado tiene un autovalor dado, todas las mediciones producirán el mismo autovalor (ya que${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$, etc.), siempre que no se realicen mediciones del giro a lo largo de otros ejes.

El operador para medir el espín a lo largo de una dirección de eje arbitraria se obtiene fácilmente a partir de las matrices de espín de Pauli. Sea u = ( u _x , u _y , u _z ) un vector unitario arbitrario. Entonces, el operador para el espín en esta dirección es simplemente $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

El operador S _u tiene autovalores de ± ⁠ ħ / 2 ⁠ , al igual que las matrices de espín habituales. Este método para encontrar el operador para el espín en una dirección arbitraria se generaliza a estados de espín superiores; se toma el producto escalar de la dirección con un vector de los tres operadores para las tres direcciones de los ejes x , y , z .

Un espinor normalizado para espín ⁠ 1 / 2 ⁠ en la dirección ( u _x , u _y , u _z ) (que funciona para todos los estados de espín excepto espín hacia abajo, donde dará ⁠ 0 / 0 ⁠ ) es $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

El espinor anterior se obtiene de la forma habitual diagonalizando la matriz σ _u y hallando los autoestados correspondientes a los autovalores. En mecánica cuántica, los vectores se denominan "normalizados" cuando se multiplican por un factor de normalización, lo que da como resultado un vector de longitud unitaria.

Dado que las matrices de Pauli no conmutan , las mediciones de espín a lo largo de los diferentes ejes son incompatibles. Esto significa que si, por ejemplo, conocemos el espín a lo largo del eje x  y luego medimos el espín a lo largo del eje y  , hemos invalidado nuestro conocimiento previo del espín en el eje x  . Esto se puede ver a partir de la propiedad de los autovectores (es decir, los autoestados) de las matrices de Pauli que $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Entonces, cuando los físicos miden el espín de una partícula a lo largo del eje x  como, por ejemplo, ⁠ ħ / 2 ⁠ , el estado de espín de la partícula colapsa en el autoestado.${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$. Cuando posteriormente medimos el espín de la partícula a lo largo del eje y  , el estado de espín colapsará en uno de los dos${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$o${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$, cada una con probabilidad ⁠ 1 / 2 ⁠ . Digamos, en nuestro ejemplo, que medimos − ⁠ ħ / 2 ⁠ . Cuando ahora volvemos a medir el espín de la partícula a lo largo del eje x , las probabilidades de que midamos ⁠ ħ / 2 ⁠ o − ⁠ ħ / 2 ⁠ son cada una ⁠ 1 / 2 ⁠ (es decir, son ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$y${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$respectivamente). Esto implica que la medición original del espín a lo largo del eje x  ya no es válida, puesto que ahora se medirá que el espín a lo largo del eje x tiene cualquiera de los autovalores con igual probabilidad. 

El operador de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ S = ⁠ ħ / 2 ⁠ σ forma la representación fundamental de SU(2) . Al tomar repetidamente productos de Kronecker de esta representación consigo misma, se pueden construir todas las representaciones irreducibles superiores. Es decir, los operadores de espín resultantes para sistemas de espín superior en tres dimensiones espaciales se pueden calcular para s arbitrariamente grande usando este operador de espín y operadores de escalera . Por ejemplo, tomar el producto de Kronecker de dos operadores de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ produce una representación de cuatro dimensiones, que es separable en una representación de espín 1 tridimensional ( estados triplete ) y una representación de espín 0 unidimensional ( estado singlete ).

Las representaciones irreducibles resultantes producen las siguientes matrices de espín y valores propios en la base z:

También útil en la mecánica cuántica de sistemas de múltiples partículas, el grupo de Pauli general G _n se define como el conjunto de todos los productos tensoriales n -ésimos de matrices de Pauli.

La fórmula análoga de la fórmula de Euler en términos de las matrices de Pauli$${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$ Para espines más altos es manejable, pero menos simple. ^{[ 31 ]}