Teorema de Maharam

En matemáticas , el teorema de Maharam es un resultado profundo sobre la descomponibilidad de los espacios de medida , que desempeña un papel importante en la teoría de los espacios de Banach . En resumen, afirma que todo espacio de medida completo es descomponible en "partes no atómicas" (copias de productos del intervalo unitario [0,1] sobre los números reales ) y "partes puramente atómicas", utilizando la medida de conteo en algún espacio discreto. ^{[ 1 ]} El teorema se debe a Dorothy Maharam . Fue extendido a espacios de medida localizables por Irving Segal . ^{[ 2 ]}

El resultado es importante para la teoría clásica de espacios de Banach, ya que, al considerar el espacio de Banach dado como un espacio L _p de funciones medibles sobre un espacio medible general, es suficiente entenderlo en términos de su descomposición en partes no atómicas y atómicas.

El teorema de Maharam también puede traducirse al lenguaje de las álgebras de von Neumann abelianas . Toda álgebra de von Neumann abeliana es isomorfa a un producto de álgebras de von Neumann abelianas σ-finitas , y toda álgebra de von Neumann abeliana σ-finita es isomorfa a un producto tensorial espacial de álgebras de von Neumann abelianas discretas; es decir, álgebras de funciones acotadas en un conjunto discreto .

Kazimierz Kuratowski presentó un teorema similar para los espacios polacos , afirmando que son isomorfos, como espacios de Borel , a los números reales, a los números enteros o a un conjunto finito.