Álgebra de Malcev

En matemáticas , un álgebra de Malcev (o álgebra de Maltsev o álgebra de Moufang - Lie ) sobre un cuerpo es un álgebra no asociativa que es antisimétrica, de modo que

${\displaystyle xy=-yx}$

y satisface la identidad de Malcev

${\displaystyle (xy)(xz)=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)x)y.}$

Fueron definidos por primera vez por Anatoly Maltsev (1955). ^{[ 1 ]}

Las álgebras de Malcev desempeñan un papel en la teoría de los bucles de Moufang que generaliza el papel de las álgebras de Lie en la teoría de grupos . Es decir, así como el espacio tangente del elemento identidad de un grupo de Lie forma un álgebra de Lie, el espacio tangente de la identidad de un bucle de Moufang suave forma un álgebra de Malcev. Además, así como un grupo de Lie puede recuperarse a partir de su álgebra de Lie bajo ciertas condiciones suplementarias, un bucle de Moufang suave puede recuperarse a partir de su álgebra de Malcev si se cumplen ciertas condiciones suplementarias. Por ejemplo, esto es cierto para un bucle de Moufang analítico real, conexo y simplemente conexo. ^{[ 2 ]}

• Cualquier álgebra de Lie es un álgebra de Malcev. ^{[ 3 ]}
• Cualquier álgebra alternativa puede convertirse en un álgebra de Malcev definiendo el producto de Malcev como xy − yx .  
• La 7-esfera puede adoptar la estructura de un bucle de Moufang suave identificándola con los octoniones unitarios . El espacio tangente de la identidad de este bucle de Moufang puede identificarse con el espacio de 7 dimensiones de los octoniones imaginarios. Los octoniones imaginarios forman un álgebra de Malcev con el producto de Malcev xy − yx .  

En el caso de las álgebras de Malcev, esta construcción se puede simplificar. Cada álgebra de Malcev posee un elemento neutro especial (el vector cero en el caso de espacios vectoriales , el elemento identidad en el caso de grupos conmutativos y el elemento cero en el caso de anillos o módulos). La característica distintiva de un álgebra de Malcev es que podemos recuperar toda la relación de equivalencia ker f a partir de la clase de equivalencia del elemento neutro.

Para ser más específicos, sean A y B estructuras algebraicas de Malcev de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A a B. Si e _B es el elemento neutro de B , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto unitario { e _B }; es decir, el subconjunto de A que consta de todos aquellos elementos de A que son mapeados por f al elemento e _B. El núcleo se suele denotar como ker f (o una variación). En símbolos:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}.}$

Dado que un homomorfismo de álgebra de Malcev preserva los elementos neutros, el elemento identidad e _A de A debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es únicamente el conjunto unitario { e _A } .

La noción de ideal se generaliza a cualquier álgebra de Malcev (como subespacio lineal en el caso de espacios vectoriales, subgrupo normal en el caso de grupos, ideales bilaterales en el caso de anillos y submódulo en el caso de módulos ). Resulta que ker f no es una subálgebra de A , pero sí es un ideal. Entonces tiene sentido hablar del álgebra cociente G / (ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para álgebras de Malcev establece que esta álgebra cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es una subálgebra de B ).

La conexión entre esto y la relación de congruencia para tipos de álgebras más generales es la siguiente. Primero, el núcleo como ideal es la clase de equivalencia del elemento neutro e _A bajo el núcleo como congruencia. Para la dirección inversa, necesitamos la noción de cociente en el álgebra de Mal'cev (que es la división en ambos lados para grupos y la resta para espacios vectoriales, módulos y anillos). Usando esto, los elementos a y b de A son equivalentes bajo el núcleo como congruencia si y solo si su cociente a / b es un elemento del núcleo como ideal.

• Álgebra admisible según Malcev