Teorema de preparación de Malgrange

En matemáticas, el teorema de preparación de Malgrange es un análogo del teorema de preparación de Weierstrass para funciones suaves . Fue conjeturado por René Thom y demostrado por B. Malgrange ( 1962–1963 , 1964 , 1967 ) . 

Supongamos que f ( t , x ) es una función compleja suave de t ∈ R y x ∈ R ⁿ cerca del origen, y sea k el entero más pequeño tal que

${\displaystyle f(0,0)=0,{\partial f \over \partial t}(0,0)=0,\dots ,{\partial ^{k-1}f \over \partial t^{k-1}}(0,0)=0,{\partial ^{k}f \over \partial t^{k}}(0,0)\neq 0.}$

Entonces, una forma del teorema de preparación establece que cerca del origen f puede escribirse como el producto de una función suave c que no es cero en el origen y una función suave que, como función de t, es un polinomio de grado k . En otras palabras,

${\displaystyle f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)}$

donde las funciones c y a son suaves y c es distinto de cero en el origen.

Una segunda forma del teorema, a veces llamada teorema de división de Mather , es una especie de teorema de "división con resto": dice que si f y k satisfacen las condiciones anteriores y g es una función suave cerca del origen, entonces podemos escribir

${\displaystyle g=qf+r}$

donde q y r son funciones suaves, y como función de t , r es un polinomio de grado menor que k . Esto significa que

${\displaystyle r(x)=\sum _{0\leq j<k}t^{j}r_{j}(x)}$

para algunas funciones suaves r _j ( x ).

Las dos formas del teorema se implican fácilmente una a la otra: la primera forma es el caso especial de la forma de "división con resto" donde g es t ^k , y la forma de división con resto se deduce de la primera forma del teorema ya que podemos suponer que f como función de t es un polinomio de grado k .

Si las funciones f y g son reales, entonces las funciones c , a , q y r también pueden considerarse reales. En el caso del teorema de preparación de Weierstrass, estas funciones están determinadas unívocamente por f y g , pero esta unicidad ya no se cumple en el teorema de preparación de Malgrange.

El teorema de preparación de Malgrange se puede deducir del teorema de preparación de Weierstrass. El método obvio no funciona: aunque las funciones suaves tienen un desarrollo en serie de potencias formal en el origen, y el teorema de preparación de Weierstrass se aplica a series de potencias formales, estas no suelen converger a funciones suaves cerca del origen. En su lugar, se puede utilizar la idea de descomponer una función suave como una suma de funciones analíticas aplicando una partición de la unidad a su transformada de Fourier. Para una demostración en este sentido, véase ( Mather 1968 ) o ( Hörmander 1983a , sección 7.5).

El teorema de preparación de Malgrange puede reformularse como un teorema sobre módulos sobre anillos de gérmenes suaves de valores reales . Si X es una variedad , con p ∈ X , sea C ^∞ _p ( X ) el anillo de gérmenes de valores reales de funciones suaves en p sobre X. Sea M _p ( X ) el único ideal maximal de C ^∞ _p ( X ), que consiste en gérmenes que se anulan en p.  Sea A un C ^∞ _p ( X )-módulo, y sea f : X  → Y una función suave entre variedades. Sea q = f ( p ). f induce un homomorfismo de anillos f ^* : C ^∞ _q (Y) → C ^∞ _p ( X ) por composición a la derecha con f . Por lo tanto, podemos ver A como un C ^∞ _q ( Y )-módulo. Entonces, el teorema de preparación de Malgrange dice que si A es un módulo C ^∞ _p ( X ) finitamente generado , entonces A es un módulo C ^∞ _q ( Y ) finitamente generado si y solo si A / M _q ( Y )A es un espacio vectorial real de dimensión finita .   

• Golubitsky, Martin ; Guillemin, Victor (1973), Stable Mappings and Their Singularities , Graduate Texts in mathematics 14, Springer-Verlag , ISBN 0-387-90073-X
• Hörmander, L. (1983a), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol.  256, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
• Malgrange, Bernard (1962–1963), Le théorème de préparation en géométrie différentiable I–IV , Séminaire Henri Cartan , 1962/63, vol. 11-14 , Secretariado matemático, París, MR 0160234  
• Malgrange, Bernard (1964), El teorema de preparación para funciones diferenciables. Análisis diferencial, Coloquio de Bombay de 1964 , Londres: Oxford Univ. Press, págs. 203–208 , MR 0182695  
• Malgrange, Bernard (1967), Ideales de funciones diferenciables , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol.  3, Londres: Oxford University Press, pp.  vii+106, MR 0212575 
• Mather, John N. (1968), "Estabilidad de las aplicaciones C ^∞ . I. El teorema de la división.", Ann. of Math. , 2, 87 (1), The Annals of Mathematics, Vol. 87, No. 1: 89– 104, doi : 10.2307/1970595 , JSTOR 1970595 , MR 0232401