Sistema de Manakov

Las ecuaciones de Maxwell , al ser convertidas a coordenadas cilíndricas y considerando las condiciones de contorno para una fibra óptica , incluyendo la birrefringencia como efecto, dan como resultado las ecuaciones de Schrödinger no lineales acopladas . Tras aplicar la transformada inversa de dispersión (un procedimiento análogo a la transformada de Fourier y la transformada de Laplace ) a las ecuaciones resultantes, se obtiene el sistema de Manakov. La forma más general del sistema de Manakov es la siguiente:

${\displaystyle v_{1}'=-i\,\xi \,v_{1}+q_{1}\,v_{2}+q_{2}\,v_{3}}$

${\displaystyle v_{2}'=-q_{1}^{*}\,v_{1}+i\,\xi \,v_{2}}$

${\displaystyle v_{3}'=-q_{2}^{*}\,v_{1}+i\,\xi \,v_{3}.}$

Es un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales . Las funciones${\displaystyle q_{1},q_{2}}$representar la envolvente del campo electromagnético como una condición inicial.

Para fines teóricos, la versión de la ecuación integral suele ser muy útil. Es la siguiente:

${\displaystyle \lim _{x\to a}e^{i\xi x}v_{1}-\lim _{x\to b}e^{i\xi x}v_{1}=\int _{a}^{b}[e^{i\xi x}\,q_{1}\,v_{2}+e^{i\xi x}\,q_{2}\,v_{3}]\,dx}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}e^{-i\xi x}v_{2}-\lim _{x\to b}e^{-i\xi x}v_{2}=-\int _{a}^{b}e^{-i\xi x}\,q_{1}^{*}\,v_{1}\,dx}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}e^{-i\xi x}v_{3}-\lim _{x\to b}e^{-i\xi x}v_{3}=-\int _{a}^{b}e^{-i\xi x}\,q_{2}^{*}\,v_{1}\,dx}$

Se pueden realizar sustituciones y simplificaciones adicionales, dependiendo de los límites utilizados y de las suposiciones sobre las condiciones de contorno o iniciales. Un concepto importante es que${\displaystyle \xi }$es complejo; se deben hacer suposiciones sobre este parámetro de valor propio . Si se desea una solución distinta de cero, la parte imaginaria del valor propio no puede cambiar de signo ; por consiguiente, la mayoría de los investigadores asumen que la parte imaginaria es positiva .

• Menyuk, CR (1999). "Aplicación de métodos de escala de longitud múltiple al estudio de la transmisión de fibra óptica". Journal of Engineering Mathematics . 36 (1/2). Springer Science and Business Media LLC: 113– 136. doi : 10.1023/a:1017255407404 . ISSN 0022-0833 . S2CID 9930111 .  
• Kaup, DJ; Malomed, BA (1993-07-01). "Atrapamiento de solitones y ondas hijas en el modelo de Manakov". Physical Review A . 48 (1). American Physical Society (APS): 599– 604. Bibcode : 1993PhRvA..48..599K . doi : 10.1103/physreva.48.599 . ISSN 1050-2947 . PMID 9909633 .  
• Manakov, SV (1976). "[Observaciones sobre las integrales de las ecuaciones de Euler del trompo pesado n-dimensional]". Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya (en ruso). 10 (4): 93– 94. ISSN 0374-1990 .