Variables de Mandelstam

En física teórica , las variables de Mandelstam son magnitudes numéricas que codifican la energía , el momento y los ángulos de las partículas en un proceso de dispersión de manera invariante respecto de Lorentz . Se utilizan para procesos de dispersión de dos partículas a dos partículas. Las variables de Mandelstam fueron introducidas por primera vez por el físico Stanley Mandelstam en 1958.

Si se elige que la métrica de Minkowski sea , las variables de Mandelstam se definen entonces como ${\displaystyle \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}$${\estilo de visualización s,t,u}$

• ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}c^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}c^{2}}$
• ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}c^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}c^{2}}$
• ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}c^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}c^{2}}$,

donde p ₁ y p ₂ son los cuatro momentos de las partículas entrantes y p ₃ y p ₄ son los cuatro momentos de las partículas salientes.

${\estilo de visualización s}$También se conoce como el cuadrado de la energía del centro de masa ( masa invariante ) y como el cuadrado de la transferencia de cuatro momentos . ${\estilo de visualización t}$

Las letras s,t,u también se utilizan en los términos canal s (canal temporal), canal t y canal u (ambos canales espaciales). Estos canales representan diferentes diagramas de Feynman o diferentes posibles eventos de dispersión donde la interacción implica el intercambio de una partícula intermedia cuyo cuadrado de cuadrimpulso es igual a s,t,u , respectivamente.

Por ejemplo, el canal s corresponde a las partículas 1,2 que se unen en una partícula intermedia que finalmente se divide en 3,4: el canal s es la única forma en que se pueden descubrir resonancias y nuevas partículas inestables siempre que sus vidas medias sean lo suficientemente largas como para que sean directamente detectables. ^{[ cita requerida ]} El canal t representa el proceso en el que la partícula 1 emite la partícula intermedia y se convierte en la partícula final 3, mientras que la partícula 2 absorbe la partícula intermedia y se convierte en 4. El canal u es el canal t con el papel de las partículas 3,4 intercambiado.

Al evaluar una amplitud de Feynman, a menudo se encuentran productos escalares de los cuatro momentos externos. Se pueden utilizar las variables de Mandelstam para simplificarlas:

${\displaystyle p_{1}\cdot p_{2}={\frac {s/c^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle p_{1}\cdot p_{3}={\frac {m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-t/c^{2}}{2}}}$

${\displaystyle p_{1}\cdot p_{4}={\frac {m_{1}^{2}+m_{4}^{2}-u/c^{2}}{2}}}$

¿Dónde está la masa de la partícula con el momento correspondiente ? $Estilo de visualización m_{i}}$$estilo de visualización p_{i}}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle (s+t+u)/c^{4}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$

donde m _i es la masa de la partícula i . ^[1]

En el límite relativista, el momento (velocidad) es grande, por lo que, al utilizar la ecuación relativista de energía-momento , la energía se convierte esencialmente en la norma del momento (por ejemplo, se convierte en ). La masa en reposo también se puede descuidar. ${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +{m_{0}}^{2}}$${\displaystyle E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$

Así por ejemplo,

${\displaystyle s/c^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\aproximadamente 2p_{1}\cdot p_{2}}$

porque y . $estilo de visualización p_{1}^{2}=m_{1}^{2}}$${\displaystyle p_{2}^{2}=m_{2}^{2}}$

De este modo,

• Diagramas de Feynman
• Dispersión de Bhabha
• Dispersión de Møller
• Dispersión Compton

• Mandelstam, S. (1958). "Determinación de la amplitud de dispersión pión-nucleón a partir de las relaciones de dispersión y unitaridad". Physical Review . 112 (4): 1344. Bibcode :1958PhRv..112.1344M. doi :10.1103/PhysRev.112.1344. Archivado desde el original el 28 de mayo de 2000.
• Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks y leptones: un curso introductorio a la física de partículas moderna . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-88741-2.
• Perkins, Donald H. (2000). Introducción a la física de altas energías (4.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-62196-8.