Matriz de Manin

Las matrices con elementos genéricos no conmutativos no admiten una construcción natural del determinante con valores en un anillo base y los teoremas básicos del álgebra lineal no se cumplen. Hay varias modificaciones de la teoría del determinante: determinante de Dieudonné que toma valores en la abelianización K ^* /[ K ^* , K ^* ] del grupo multiplicativo K ^* del anillo base K ; y teoría de cuasideterminantes . Pero la analogía entre estos determinantes y determinantes conmutativos no es completa. Por otro lado, si se consideran ciertas clases específicas de matrices con elementos no conmutativos, entonces hay ejemplos donde se puede definir el determinante y demostrar teoremas de álgebra lineal que son muy similares a sus análogos conmutativos. Ejemplos incluyen: grupos cuánticos y q-determinante; matriz de Capelli y determinante de Capelli ; supermatrices y Bereziniano .

Las matrices de Manin son una clase general y natural de matrices con elementos no necesariamente conmutativos que admiten una definición natural del determinante y generalizaciones de los teoremas del álgebra lineal.

Una matriz M de n x m con entradas M _ij sobre un anillo R (no necesariamente conmutativo) es una matriz de Manin si todos los elementos de una columna dada conmutan y si para todo i , j , k , l se cumple que [ M _ij , M _kl ] = [ M _kj , M _il ]. Aquí [ a , b ] denota ( ab − ba ) el conmutador de a y b . ^{[ 3 ]}  

La definición se puede apreciar mejor a partir de las siguientes fórmulas. Una matriz rectangular M se denomina matriz de Manin si para cualquier submatriz de 2×2, formada por filas i y k , y columnas j y l :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{ij}&\cdots &M_{il}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}}$

Se cumplen las siguientes relaciones de conmutación.

${\displaystyle ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(entries in the same column commute) }}}$

${\displaystyle ad-da=cb-bc,~~~{\text{(cross commutation relation)}}.}$

A continuación se presentan algunos ejemplos de la aparición de la propiedad de Manin en diversas cuestiones muy sencillas y naturales relacionadas con matrices de 2×2. La idea general es la siguiente: considerar hechos bien conocidos del álgebra lineal y observar cómo relajar la condición de conmutatividad para los elementos de la matriz de manera que los resultados se mantengan. La respuesta es: si y solo si M es una matriz de Manin. ^{[ 3 ]} La demostración de todas las observaciones es una comprobación directa de una línea.

Consideremos una matriz de 2×2 ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Observación 1. Coacción en un plano. Consideremos el anillo de polinomios C [ x ₁ , x ₂ ], y supongamos que los elementos de la matriz a , b , c , d conmutan con x ₁ , x ₂ . Definamos y ₁ , y ₂ mediante

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.}$

Entonces , y ₁ , y ₂ conmutan entre sí si y solo si M es una matriz de Manin.

Prueba:

${\displaystyle [y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2}+[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.}$

Si exigimos que esto sea cero, obtenemos las relaciones de Manin.

Observación 2. Coacción en un superplano. Consideremos el álgebra de Grassmann C [ ψ ₁ , ψ ₂ ] y supongamos que los elementos de la matriz a , b , c , d conmutan con ψ ₁ , ψ ₂ . Definamos φ ₁ , φ ₂ mediante

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Entonces φ ₁ , φ ₂ son variables de Grassmann (es decir, anticonmutan entre sí y φ _i ² =0) si y solo si M es una matriz de Manin.

Las observaciones 1 y 2 son válidas para matrices de Manin generales de n × m . Estas demuestran el enfoque original de Manin, tal como se describe a continuación (las matrices usuales deben considerarse como homomorfismos de anillos de polinomios, mientras que las matrices de Manin son "homomorfismos no conmutativos" más generales). Cabe destacar que los generadores del álgebra de polinomios se representan como vectores columna, mientras que el álgebra de Grassmann se representa como vectores fila; este enfoque puede generalizarse a cualquier par de álgebras duales de Koszul y a las matrices de Manin generales asociadas.

Observación 3. Regla de Cramer . La matriz inversa viene dada por la fórmula estándar.

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

si y solo si M es una matriz de Manin.

Prueba:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{if and only if }}M{\text{ is a Manin matrix}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\0&ad-cb\end{pmatrix}}.}$

Observación 4. Teorema de Cayley-Hamilton . La igualdad

${\displaystyle M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}=0}$

Se cumple si y solo si M es una matriz de Manin.

Observación 5. Multiplicatividad de los determinantes.

det ^columna ( MN ) = det ^columna ( M )det( N ) se cumple para todas las matrices de valores complejos N si y solo si M es una matriz de Manin.

Donde ^{la columna} det de una matriz de 2×2 se define como ad  − cb , es decir, los elementos de la primera columna ( a , c ) aparecen primero en los productos. 

Según la ideología de Yu. Manin, a cualquier álgebra se le puede asociar una bialgebra de sus "simetrías no conmutativas (es decir, endomorfismos)". De forma más general, a un par de álgebras A y B se le puede asociar su álgebra de "homomorfismos no conmutativos" entre A y B. Estas ideas están naturalmente relacionadas con las de la geometría no conmutativa . Las matrices de Manin que se consideran aquí son ejemplos de esta construcción general aplicada a álgebras polinomiales C [ x₁ _, ..., _xₙ ] .

El ámbito de la geometría se ocupa de los espacios, mientras que el del álgebra se ocupa de las álgebras. El vínculo entre ambos ámbitos reside en la asociación a cada espacio de un álgebra de funciones definidas sobre él, que es el álgebra conmutativa . Muchos conceptos geométricos pueden expresarse en el lenguaje de las álgebras y viceversa.

La idea de simetría G del espacio V puede verse como una acción de G sobre V , es decir, la existencia de una aplicación G × V -> V. Esta idea puede traducirse al lenguaje algebraico como la existencia de un homomorfismo Fun(G).${\displaystyle \otimes }$Fun(V) <- Fun(V) (ya que normalmente los mapas entre funciones y espacios van en direcciones opuestas). Además, los mapas de un espacio a sí mismo pueden componerse (forman un semigrupo ), por lo tanto, un objeto dual Fun(G) es una bialgebra .

Finalmente, se pueden tomar estas dos propiedades como básicas y dar una definición puramente algebraica de "simetría" que se puede aplicar a un álgebra arbitraria (no necesariamente conmutativa):

Definición. Un álgebra de simetrías no conmutativas (endomorfismos) de un álgebra A es una bialgebra End(A) , tal que existen homomorfismos llamados coacción :

${\displaystyle coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,}$

lo cual es compatible con una comultiplicación de forma natural. Finalmente, End (A) debe satisfacer solo las relaciones que provienen de lo anterior, ninguna otra relación, es decir, es una bialgebra coactiva universal para A.

La coacción debe considerarse dual a la acción G× V -> V , por eso se llama coacción . La compatibilidad del mapa de comultiplicación con el mapa de coacción es dual a g (hv) = (gh) v . Esta compatibilidad se puede escribir fácilmente.

Un hecho algo sorprendente es que esta construcción aplicada al álgebra polinomial C [ x ₁ , ..., x _n ] dará no el álgebra usual de matrices Mat _n (más precisamente el álgebra de funciones sobre ella), sino un álgebra no conmutativa mucho mayor de matrices Manin (más precisamente el álgebra generada por elementos M _ij . Más precisamente, las siguientes proposiciones simples son verdaderas.

Proposición . Consideremos el álgebra polinomial Pol = C [ x ₁ , ..., x _n ] y la matriz M con elementos en algún álgebra EndPol . Los elementos${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol}$conmutan entre sí si y solo si M es una matriz de Manin.

Corolario. El mapa${\displaystyle x_{i}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}}$es homomorfismo de Pol a EndPol${\displaystyle \otimes }$Pol . Define la coacción.

De hecho, para asegurarnos de que el mapa es un homomorfismo, lo único que necesitamos comprobar es que y _i conmutan entre sí.

Proposición . Definimos la aplicación de comultiplicación mediante la fórmula${\displaystyle \Delta (M_{ij})=\sum _{l}M_{il}\otimes M_{lj}}$. Entonces es coasociativo y es compatible con la coacción en el álgebra de polinomios definida en la proposición anterior.

Las dos proposiciones anteriores implican que el álgebra generada por los elementos de una matriz de Manin es una bialgebra que actúa conjuntamente sobre el álgebra de polinomios. Si no se imponen otras relaciones, se obtiene un álgebra de endomorfismos no conmutativos del álgebra de polinomios.

• Cualquier matriz con elementos que conmutan es una matriz de Manin.
• Cualquier matriz cuyos elementos de diferentes filas conmutan entre sí (matrices que a veces se denominan matrices de Cartier - Foata ) es una matriz de Manin.
• Cualquier submatriz de una matriz de Manin es una matriz de Manin.
• En una matriz de Manin, se pueden intercambiar filas y columnas, y el resultado también será una matriz de Manin. Se puede sumar una fila o columna multiplicada por el elemento central a otra fila o columna, y el resultado volverá a ser una matriz de Manin. Es decir, se pueden realizar transformaciones elementales con la restricción de que el multiplicador sea el elemento central.
• Consideremos dos matrices de Manin M y N tales que todos sus elementos conmutan; entonces, la suma M+N y el producto MN también serán matrices de Manin.
• Si la matriz M y simultáneamente la matriz transpuesta M ^t son matrices de Manin, entonces todos los elementos de M conmutan entre sí.
• Hechos que impiden la validez: M ^k no es una matriz de Manin en general (excepto k =-1, que se analiza más adelante); ni det( M ), ni Tr( M ) son centrales en el álgebra generada por M _ij en general (en ese sentido, las matrices de Manin difieren de los grupos cuánticos); det( e ^M ) ≠ e ^{Tr( M )} ; log(det( M )) ≠ Tr(log( M )).
• Consideremos el álgebra de polinomios C [ x _ij ] y denotemos por${\displaystyle \partial _{ij}}$los operadores de diferenciación con respecto a

x _ij , forme matrices X, D con los elementos correspondientes. Considere también la variable z y el operador diferencial correspondiente.${\displaystyle \partial _{z}}$A continuación se muestra un ejemplo de una matriz de Manin, que es importante para las identidades de Capelli :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.}$

Se pueden reemplazar X y D por cualquier matriz cuyos elementos satisfagan la relación: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl , lo mismo ocurre con z y su derivada.

Calcular el determinante de esta matriz de dos maneras: directa y mediante la fórmula del complemento de Schur da esencialmente la identidad de Capelli y su generalización (véase la sección 4.3.1, ^{[ 4 ]} basada en ^{[ 5 ]} ).

El determinante de una matriz de Manin se puede definir mediante la fórmula estándar, con la condición de que los elementos de las primeras columnas aparezcan primero en el producto.

Muchas proposiciones de álgebra lineal se cumplen para las matrices de Manin incluso cuando R no es conmutativa. En particular, el determinante se puede definir de la forma estándar usando permutaciones y satisface una regla de Cramer . ^{[ 3 ]} El teorema maestro de MacMahon se cumple para las matrices de Manin y, de hecho, para sus generalizaciones (super), (q), etc.

Proposición. Regla de Cramer (Véase ^{[ 2 ]} o la sección 4.1. ^{[ 3 ]} ) La inversa de una matriz de Manin M se puede definir mediante la fórmula estándar: ${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},}$ donde M ^adj es la matriz adjugada dada por la fórmula estándar; su elemento (i,j) es el determinante de columna de la matriz (n − 1) × (n − 1) que resulta de eliminar la fila j y la columna i de M y multiplicarla por (-1) ^i+j .

La única diferencia con el caso conmutativo es que hay que tener en cuenta que todos los determinantes se calculan como determinantes de columna y también la matriz adjugada está a la derecha, mientras que el inverso conmutativo del determinante de M está a la izquierda, es decir, debido a la no conmutatividad el orden es importante.

Proposición. La inversa también es de Manin. (Véase la sección 4.3. ^{[ 3 ]} ) Supongamos que existe una inversa bilateral de una matriz de Manin M , entonces también será una matriz de Manin. Además, det(M ⁻¹ ) = (det(M)) ⁻¹ .

Esta proposición no es trivial, implica el resultado de Enriquez-Rubtsov y Babelon-Talon en la teoría de sistemas integrables cuánticos (ver sección 4.2.1 ^{[ 4 ]} ).

Proposición. Teorema de Cayley-Hamilton (Véase la sección 7.1. ^{[ 3 ]} )

${\displaystyle det^{column}(t-M)|_{t=M}^{right~substitute}=0,~~i.e.~~\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{n-i}=0.}$

Donde σ _i son los coeficientes del polinomio característico ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$.

Proposición. Identidades de Newton (Véase la sección 7.2.1. ^{[ 3 ]} ) ${\displaystyle \forall k\geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\sum _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{k-i})}$

Donde σ _i son los coeficientes del polinomio característico ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$y por convención σ _i =0, para i>n , donde n es el tamaño de la matriz M .

Proposición. Determinante mediante el complemento de Schur (véase la sección 5.2. ^{[ 3 ]} ) Supongamos que la matriz de bloques que se muestra a continuación es una matriz de Manin y que existen inversas bilaterales M ⁻¹ , A ⁻¹ , D ⁻¹ , entonces

${\displaystyle det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B)=det^{column}(D)det^{column}(A-BD^{-1}C).}$

Además, Schur complementa${\displaystyle (D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)}$ son matrices de Manin.

Proposición. Teorema maestro de MacMahon

^{[ 6 ]}

La identidad de Capelli del siglo XIX proporciona uno de los primeros ejemplos de determinantes para matrices con elementos no conmutativos. Las matrices de Manin ofrecen una nueva perspectiva sobre este tema clásico. Este ejemplo está relacionado con el álgebra de Lie gl _n y sirve como prototipo para aplicaciones más complejas al álgebra de Lie de bucles para gl _n , Yangian y sistemas integrables.

Consideremos matrices E _ij con un 1 en la posición ( i,j ) y ceros en todas las demás. Formamos una matriz E con elementos E _ij en la posición ( i,j ). Esta matriz tiene elementos en el anillo de matrices Mat _n . No es una matriz de Manin, pero existen modificaciones que la transforman en una matriz de Manin, como se describe a continuación.

Introducimos una variable formal z que conmuta con E _ij , respectivamente d/dz es el operador de diferenciación en z . Lo único que se utilizará es que el conmutador de estos operadores es igual a 1.

Observación. La matriz${\displaystyle d/dzId-E/z}$es una matriz de Manin.

Aquí Id es la matriz identidad .

Ejemplo de 2 × 2: ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix}}.}$

Resulta instructivo comprobar el requisito de conmutatividad de la columna: ${\displaystyle [d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21}/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0}$.

Observación. La matriz${\displaystyle exp(-d/dz)(Id+E/z)}$es una matriz de Manin.

El único hecho requerido de E _ij para estas observaciones es que satisfagan las relaciones de conmutación [ E _ij , E _kl ]= δ _jk E _il - δ _li E _kj . Por lo tanto, las observaciones son verdaderas si E _ij son generadores del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie gl _n , o sus imágenes en cualquier representación. Por ejemplo, se puede tomar

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}.}$

Aquí ψ son variables de Grassmann .

Observación.${\displaystyle z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1,n-2,...,1,0))}$

En el lado derecho de esta igualdad se reconoce el determinante de Capelli (o más precisamente el polinomio característico de Capelli ), mientras que en el lado izquierdo se encuentra una matriz de Manin con su determinante natural. Así, las matrices de Manin ofrecen una nueva perspectiva sobre el determinante de Capelli. Además, la identidad de Capelli y su generalización pueden derivarse mediante técnicas de matrices de Manin. También proporciona una manera sencilla de demostrar que esta expresión pertenece al centro del álgebra envolvente universal U(gl _n ), lo cual dista mucho de ser trivial. De hecho, basta con comprobar la invariancia respecto a la acción del grupo GL _n por conjugación.${\displaystyle det^{col}(d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)}$. Por lo tanto, la única propiedad utilizada aquí es que${\displaystyle det(gM)=det(Mg)=det(M)det(g)}$lo cual es cierto para cualquier matriz de Manin M y cualquier matriz g con elementos centrales (por ejemplo, escalares).

Observación. Sea T(z) una matriz generadora del Yangiano para gl _n . Entonces la matriz exp(-d/dz) T(z) es una matriz de Manin.

El determinante cuántico para Yangian se puede definir como exp (nd/dz) det ^columna (exp(-d/dz) T(z)) . Nótese que exp(-d/dz) se puede cancelar, por lo que la expresión no depende de él. Así, el determinante en la teoría de Yangian tiene una interpretación natural a través de las matrices de Manin.

Para los sistemas cuánticos integrables, es importante construir subálgebras conmutativas en Yangian. Es bien sabido que en las expresiones límite clásicas Tr(T ^k (z)) generan una subálgebra conmutativa de Poisson. La cuantización correcta de estas expresiones se propuso inicialmente mediante el uso de identidades de Newton para matrices de Manin:

Proposición. Los coeficientes de Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z)) para todo k conmutan entre sí. Generan una subálgebra conmutativa en Yangian. La misma subálgebra que los coeficientes del polinomio característico det ^columna (1-exp(-d/dz) T(z)) .

(La subálgebra a veces llamada subálgebra de Bethe, ya que el método de Bethe es un método para encontrar sus pares independientes conjuntos).

Manin propuso una construcción general de "simetrías no conmutativas" en ^{[ 1 ]} , y el caso particular conocido como matrices de Manin se analiza en ^{[ 2 ]} , donde se describen algunas propiedades básicas. La principal motivación de estos trabajos fue ofrecer una nueva perspectiva sobre los grupos cuánticos. Las matrices cuánticas Fun _q ( GL _n ) pueden definirse como tales matrices que T y simultáneamente T ^t son matrices q-Manin (es decir, son simetrías no conmutativas de polinomios q-conmutativos x _i x _j = qx _j x _i . Después de los trabajos originales de Manin, solo hubo unos pocos artículos sobre matrices de Manin hasta 2003. Pero alrededor de esta fecha y algunos después, las matrices de Manin aparecieron en varias áreas no del todo relacionadas: ^{[ 6 ]} se obtuvo cierta generalización no conmutativa de la identidad maestra de MacMahon, que se utilizó en la teoría de nudos ; se han encontrado aplicaciones a sistemas integrables cuánticos, álgebras de Lie en; ^{[ 4 ]} aparecieron generalizaciones de la identidad de Capelli que involucran matrices de Manin en. ^{[ 7 ]} Las direcciones propuestas en estos artículos se han desarrollado más.