Fórmula de Manning

La fórmula de Manning o ecuación de Manning es una fórmula empírica que estima la velocidad media de un líquido en un flujo de canal abierto (flujo en un conducto que no lo encierra por completo). Sin embargo, esta ecuación también se utiliza para calcular variables de flujo en el caso de flujo en conductos parcialmente llenos , ya que estos también poseen una superficie libre similar a la del flujo de canal abierto. Todo el flujo en los llamados canales abiertos es impulsado por la gravedad .

Fue presentada por primera vez por el ingeniero francés Philippe Gaspard Gauckler en 1867, ^{[ 1 ]} y posteriormente desarrollada nuevamente por el ingeniero irlandés Robert Manning en 1890. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, la fórmula también se conoce en Europa como la fórmula de Gauckler-Manning o la fórmula de Gauckler-Manning-Strickler (en honor a Albert Strickler ).

La fórmula de Gauckler-Manning se utiliza para estimar la velocidad media del agua que fluye en un canal abierto en lugares donde no es práctico construir un vertedero o un canal de aforo para medir el caudal con mayor precisión. La ecuación de Manning también se utiliza comúnmente como parte de un método numérico por pasos, como el método estándar por pasos , para delimitar el perfil de la superficie libre del agua que fluye en un canal abierto. ^{[ 3 ]}

La fórmula de Gauckler-Manning establece:

${\displaystyle V={\frac {k}{n}}{R_{h}}^{2/3}\,S^{1/2}}$

dónde:

• V es la velocidad media transversal (dimensión L / T ; unidades de ft/s o m/s);
• n es el coeficiente de Gauckler-Manning . Las unidades de n a menudo se omiten, sin embargo, n no es adimensional, tiene dimensiones de T/L ^1/3 y unidades de s/m ^1/3 .
• R _h es el radio hidráulico (L; pies, m);
• S es la pendiente del arroyo o gradiente hidráulico , la pérdida de carga hidráulica lineal (dimensión L/L, unidades de m/m o ft/ft); es lo mismo que la pendiente del lecho del canal cuando la profundidad del agua es constante. ( S = h _f / L ).
• k es un factor de conversión entre unidades del SI y del sistema inglés . Puede omitirse, siempre que se indique y se corrijan las unidades del término n . Si n se mantiene en unidades tradicionales del SI, k es simplemente el factor de conversión dimensional para convertir a unidades inglesas. k = 1 para unidades del SI y k = 1,49 para unidades inglesas. (Nota: (1 m) ^1/3 /s = (3,2808399 ft) ^1/3 /s = 1,4859 (ft ^1/3 )/s)  

Nota: el coeficiente de Strickler es el recíproco del coeficiente de Manning: Ks = 1/ n , con dimensiones de L ^1/3 /T y unidades de m ^1/3 /s; varía de 20 m ^1/3 /s (piedra rugosa y superficie rugosa) a 80 m ^1/3 /s (hormigón liso y hierro fundido).

La fórmula de descarga , Q = A V , se puede utilizar para reescribir la ecuación de Gauckler-Manning sustituyendo V . Al despejar Q, se puede estimar el caudal volumétrico (descarga) sin necesidad de conocer la velocidad de flujo límite o real.

La fórmula se puede obtener mediante análisis dimensional . En la década de 2000, esta fórmula se derivó teóricamente utilizando la teoría fenomenológica de la turbulencia . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El radio hidráulico es una de las propiedades de un canal que controla el caudal. También determina la capacidad del canal para transportar sedimentos. En igualdad de condiciones, un río con un radio hidráulico mayor tendrá una mayor velocidad de flujo y una mayor sección transversal por la que podrá circular el agua. Esto significa que cuanto mayor sea el radio hidráulico, mayor será el volumen de agua que el canal puede transportar.

Basándose en la suposición de " esfuerzo cortante constante en el límite", ^{[ 6 ]} el radio hidráulico se define como la relación entre el área de la sección transversal del canal del flujo y su perímetro mojado (la porción del perímetro de la sección transversal que está "mojada"):

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}}$

dónde:

• R _h es el radio hidráulico ( L );
• A es el área de la sección transversal del flujo (L ² );
• P es el perímetro mojado (L).

Para canales de un ancho determinado, el radio hidráulico es mayor en canales más profundos. En canales rectangulares anchos, el radio hidráulico se aproxima a la profundidad del flujo.

El radio hidráulico no es la mitad del diámetro hidráulico, como podría sugerir su nombre, sino un cuarto en el caso de una tubería llena. Depende de la forma de la tubería, el canal o el río por donde fluye el agua.

El radio hidráulico también es importante para determinar la eficiencia de un canal (su capacidad para mover agua y sedimentos ), y es una de las propiedades que utilizan los ingenieros hidráulicos para evaluar la capacidad del canal .

El coeficiente de Gauckler-Manning, a menudo denotado como n , es un coeficiente derivado empíricamente que depende de muchos factores, incluyendo la rugosidad y la sinuosidad de la superficie . Cuando no es posible realizar una inspección de campo, el mejor método para determinar n es utilizar fotografías de cauces fluviales donde se haya calculado mediante la fórmula de Gauckler-Manning.

Los coeficientes de fricción en vertederos y orificios son menos subjetivos que n a lo largo de un tramo de canal natural (de tierra, piedra o vegetación). El área de la sección transversal, así como n , probablemente variarán a lo largo de un canal natural. Por consiguiente, se espera un mayor error al estimar la velocidad promedio asumiendo un coeficiente de Manning n , que mediante el muestreo directo (es decir, con un caudalímetro de corriente ), o midiéndola en vertederos, canales o orificios .

En los arroyos naturales, los valores de n varían mucho a lo largo de su curso, e incluso varían en un tramo dado del canal con diferentes niveles de flujo. La mayoría de las investigaciones muestran que n disminuye con el nivel del agua, al menos hasta que el cauce está lleno. Los valores de n por desbordamiento para un tramo dado varían mucho dependiendo de la época del año y la velocidad del flujo. La vegetación de verano suele tener un valor de n significativamente mayor debido a las hojas y la vegetación estacional. Sin embargo, las investigaciones han demostrado que los valores de n son menores para los arbustos individuales con hojas que para los arbustos sin hojas. ^{[ 7 ]} Esto se debe a la capacidad de las hojas de la planta para aplanarse y flexionarse al pasar el flujo, reduciendo así la resistencia al flujo. Los flujos de alta velocidad harán que cierta vegetación (como pastos y hierbas) se aplane, mientras que una velocidad de flujo menor a través de la misma vegetación no lo hará. ^{[ 8 ]}

En canales abiertos, la ecuación de Darcy-Weisbach es válida utilizando el diámetro hidráulico como diámetro equivalente de la tubería. Es el único método óptimo y fiable para estimar la pérdida de energía en canales abiertos artificiales. Por diversas razones (principalmente históricas), se utilizaron y aún se utilizan coeficientes de resistencia empíricos (por ejemplo, Chézy, Gauckler-Manning-Strickler). El coeficiente de Chézy se introdujo en 1768, mientras que el de Gauckler-Manning se desarrolló por primera vez en 1865, mucho antes de los experimentos clásicos de resistencia al flujo en tuberías de las décadas de 1920 y 1930. Históricamente, se esperaba que tanto el coeficiente de Chézy como el de Gauckler-Manning fueran constantes y dependieran únicamente de la rugosidad. Sin embargo, actualmente se reconoce que estos coeficientes solo son constantes para un rango de caudales. La mayoría de los coeficientes de fricción (excepto quizás el factor de fricción de Darcy-Weisbach) se estiman de forma 100% empírica y solo se aplican a flujos de agua turbulentos con rugosidad completa en condiciones de flujo estacionario.

Una de las aplicaciones más importantes de la ecuación de Manning es su uso en el diseño de alcantarillado. Las alcantarillas suelen construirse como tuberías circulares. Se ha aceptado desde hace tiempo que el valor de n varía con la profundidad del flujo en tuberías circulares parcialmente llenas. ^{[ 9 ]} Existe un conjunto completo de ecuaciones explícitas que pueden utilizarse para calcular la profundidad del flujo y otras variables desconocidas al aplicar la ecuación de Manning a tuberías circulares. ^{[ 10 ]} Estas ecuaciones tienen en cuenta la variación de n con la profundidad del flujo de acuerdo con las curvas presentadas por Camp.

• Alberto Brahms (1692–1758)
• Antonio de Chézy (1718-1798)
• Henry Darcy (1803–1858)
• Julio Ludwig Weisbach (1806-1871)
• Philippe Gaspard Gauckler (1826–1905)
• Robert Manning (1816–1897)
• Guillermo Rudolf Kutter (1818–1888)
• Henri Bazin (1843–1917)
• Ludwig Prandtl (1875–1953)
• Paul Richard Heinrich Blasius (1883-1970)
• Albert Strickler (1887–1963)
• Cyril Frank Colebrook (1910–1997)

• Fórmula cursi
• ecuación de Darcy-Weisbach
• Hidráulica

• Escalamiento y similitud en flujos de canales rugosos en Wayback Machine (archivado el 16 de julio de 2011)
• Calculadora de fórmulas y ecuaciones de diseño de radio hidráulico
• Historia de la fórmula de Manning
• Calculadora de la fórmula de Manning para varias formas de canal.
• Valores n de Manning asociados con fotos
• Tabla de valores del coeficiente n de Manning
• Demostración interactiva de la ecuación de Manning