Escala (mapa)

Las escalas de los mapas pueden expresarse en palabras (una escala léxica), como una razón o como una fracción. Algunos ejemplos son:

'un centímetro por cien metros' o 1:10.000 o 1/10.000        

'una pulgada por milla' o 1:63,360 o 1/63,360        

'un centímetro por mil kilómetros' o 1:100.000.000 o 1/100.000.000. (La proporción normalmente se abreviaría como 1:100M)        

Además de lo anterior, muchos mapas incluyen una o más escalas gráficas . Por ejemplo, algunos mapas británicos modernos tienen tres escalas, una para kilómetros, otra para millas y otra para millas náuticas.

Una escala léxica en un idioma conocido por el usuario puede ser más fácil de visualizar que una proporción: si la escala es de una pulgada a dos millas y el usuario del mapa puede ver dos pueblos que están separados por aproximadamente dos pulgadas en el mapa, entonces es fácil calcular que los pueblos están separados por aproximadamente cuatro millas en el terreno.

Una escala léxica puede generar problemas si se expresa en un idioma que el usuario no comprende o si utiliza unidades obsoletas o mal definidas. Por ejemplo, una escala de una pulgada por furlong (1:7920) será comprensible para muchas personas mayores en países donde antiguamente se enseñaban unidades imperiales en las escuelas. Sin embargo, una escala de una pouce por legua puede equivaler aproximadamente a 1:144 000, dependiendo de la elección del cartógrafo entre las múltiples definiciones posibles de legua, y solo una minoría de usuarios modernos estará familiarizada con las unidades utilizadas.

Contraste con la escala espacial .

Un mapa a pequeña escala abarca grandes regiones, como los mapas mundiales , los continentes o los países grandes. En otras palabras, muestra grandes extensiones de tierra en un espacio reducido. Se denominan de pequeña escala porque la fracción que representan es relativamente pequeña.

Los mapas a gran escala muestran áreas más pequeñas con mayor detalle, como por ejemplo los mapas de condados o los planos de ciudades. Se denominan mapas a gran escala porque la fracción representativa es relativamente grande. Por ejemplo, un plano de ciudad, que es un mapa a gran escala, podría tener una escala de 1:10 000, mientras que un mapamundi, que es un mapa a pequeña escala, podría tener una escala de 1:100 000 000.

La siguiente tabla describe los rangos típicos de estas escalas, pero no debe considerarse autorizada porque no existe un estándar:

En ocasiones, los términos se utilizan en el sentido absoluto de la tabla, pero en otras, en un sentido relativo. Por ejemplo, un lector de mapas cuyo trabajo se centra exclusivamente en mapas a gran escala (como los que se muestran en la tabla anterior) podría referirse a un mapa a escala 1:500.000 como de pequeña escala.

En inglés, la palabra «large-scale » se usa a menudo para referirse a algo extenso. Sin embargo, como se explicó anteriormente, los cartógrafos usan el término «large scale» para referirse a mapas menos extensos, aquellos que muestran un área menor. Los mapas que muestran un área extensa son mapas de «pequeña escala». Esto puede generar confusión.

La cartografía de grandes áreas provoca distorsiones notables, ya que aplana significativamente la superficie curva de la Tierra. La distribución de la distorsión depende de la proyección cartográfica . La escala varía a lo largo del mapa , y la escala indicada es solo una aproximación. Esto se explica con detalle más adelante.

Existen dos convenciones utilizadas para establecer las ecuaciones de cualquier proyección dada. Por ejemplo, la proyección cilíndrica equirrectangular se puede escribir como

cartógrafos:      ${\displaystyle x=a\lambda }$    ${\displaystyle y=a\varphi }$

matemáticos:    ${\displaystyle x=\lambda }$    ${\displaystyle y=\varphi }$

Aquí adoptaremos la primera de estas convenciones (siguiendo el uso de Snyder en los estudios). Claramente, las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un enorme cilindro que rodea la Tierra y luego se desenrolla. Decimos que estas coordenadas definen el mapa de proyección, el cual debe distinguirse lógicamente de los mapas impresos (o visualizados) reales. Si la definición de escala de punto en la sección anterior se basa en el mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala sean cercanos a la unidad. Para proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k=1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de la escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k con respecto a su valor real de la unidad.

Los mapas impresos reales se producen a partir del mapa de proyección mediante una escala constante indicada por una proporción como 1:100M (para mapas del mundo entero) o 1:10000 (para planos de ciudades, por ejemplo). Para evitar confusiones en el uso de la palabra "escala", esta fracción de escala constante se denomina fracción representativa (FR) del mapa impreso y debe identificarse con la proporción impresa en el mapa. Las coordenadas reales del mapa impreso para la proyección cilíndrica equirrectangular son:

mapa impreso:      ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$    ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

Esta convención permite distinguir claramente entre la escala de proyección intrínseca y la escala de reducción.

A partir de este punto, ignoramos el RF y trabajamos con el mapa de proyección.

Consideremos un pequeño círculo en la superficie de la Tierra centrado en un punto P a latitud${\displaystyle \varphi }$y longitud${\displaystyle \lambda }$Dado que la escala de puntos varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo sobre la proyección se distorsionará. Tissot demostró que, siempre que la distorsión no sea excesiva, el círculo se convertirá en una elipse sobre la proyección. En general, la dimensión, la forma y la orientación de la elipse cambiarán sobre la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión sobre la proyección del mapa muestra cómo cambia la escala de puntos sobre el mapa. La elipse de distorsión se conoce como la indicatriz de Tissot . El ejemplo que se muestra aquí es la proyección tripel de Winkel , la proyección estándar para mapas mundiales elaborada por la National Geographic Society . La distorsión mínima se encuentra en el meridiano central a latitudes de 30 grados (Norte y Sur). (Otros ejemplos ^{[ 5 ] [ 6 ]} ).

La clave para una comprensión cuantitativa de la escala es considerar un elemento infinitesimal en la esfera. La figura muestra un punto P en latitud${\displaystyle \varphi }$y longitud${\displaystyle \lambda }$en la esfera. El punto Q está en latitud${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$y longitud${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$. Las líneas PK y MQ son arcos de meridianos de longitud${\displaystyle a\,\delta \varphi }$dónde${\displaystyle a}$es el radio de la esfera y${\displaystyle \varphi }$está en medida radianes . Las líneas PM y KQ son arcos de círculos paralelos de longitud${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$con${\displaystyle \lambda }$en medida radianes. Para derivar una propiedad puntual de la proyección en P, basta con tomar un elemento infinitesimal PMQK de la superficie: en el límite de Q aproximándose a P, dicho elemento tiende a un rectángulo plano infinitesimalmente pequeño.

Las proyecciones cilíndricas normales de la esfera tienen ${\displaystyle x=a\lambda }$y${\displaystyle y}$igual a una función de latitud solamente. Por lo tanto, el elemento infinitesimal PMQK en la esfera se proyecta a un elemento infinitesimal P'M'Q'K' que es un rectángulo exacto con una base${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$y altura ${\displaystyle \delta y}$Al comparar los elementos en la esfera y la proyección, podemos deducir inmediatamente expresiones para los factores de escala en paralelos y meridianos. (El tratamiento de la escala en una dirección general se puede encontrar más adelante ).

factor de escala paralela  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

factor de escala meridiana ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

Tenga en cuenta que el factor de escala paralelo${\displaystyle k=\sec \varphi }$ es independiente de la definición de${\displaystyle y(\varphi )}$Por lo tanto, es lo mismo para todas las proyecciones cilíndricas normales. Es útil tener en cuenta que

A 30 grados de latitud, la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

A 45 grados de latitud, la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

A 60 grados de latitud, la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

a 80 grados de latitud la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

a 85 grados de latitud la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

Los siguientes ejemplos ilustran tres proyecciones cilíndricas normales y, en cada caso, la variación de la escala con la posición y la dirección se ilustra mediante el uso de la indicatriz de Tissot .

La escala de puntos de Mercator es unitaria en el ecuador porque es tal que el cilindro auxiliar utilizado en su construcción es tangente a la Tierra en el ecuador. Por esta razón, la proyección usual debería llamarse proyección tangente . La escala varía con la latitud como${\displaystyle k=\sec \varphi }$. Desde${\displaystyle \sec \varphi }$tiende al infinito a medida que nos acercamos a los polos, el mapa de Mercator se distorsiona enormemente en latitudes altas y por esta razón la proyección es totalmente inapropiada para mapas mundiales (a menos que estemos hablando de navegación y líneas de rumbo ). Sin embargo, a una latitud de unos 25 grados el valor de${\displaystyle \sec \varphi }$ es aproximadamente 1,1, por lo que la proyección de Mercator es precisa con una tolerancia del 10 % en una franja de 50 grados de ancho centrada en el ecuador. Las franjas más estrechas son mejores: una franja de 16 grados de ancho (centrada en el ecuador) tiene una precisión del 1 % o 1 parte en 100.

Un criterio estándar para buenos mapas a gran escala es que la precisión debe estar dentro de 4 partes en 10.000, o 0,04%, lo que corresponde a${\displaystyle k=1.0004}$. Desde${\displaystyle \sec \varphi }$ alcanza este valor en${\displaystyle \varphi =1.62}$grados (véase la figura siguiente, línea roja). Por lo tanto, la proyección tangente de Mercator es muy precisa dentro de una franja de 3,24 grados de ancho centrada en el ecuador. Esto corresponde a una distancia norte-sur de unos 360 km (220 mi) . Dentro de esta franja, Mercator es muy buena, muy precisa y conserva la forma porque es conforme (conserva los ángulos). Estas observaciones impulsaron el desarrollo de las proyecciones transversales de Mercator en las que un meridiano se trata "como un ecuador" de la proyección para que obtengamos un mapa preciso dentro de una distancia estrecha de ese meridiano. Dichos mapas son buenos para países alineados casi norte-sur (como Gran Bretaña ) y un conjunto de 60 de estos mapas se utiliza para la proyección transversal universal de Mercator (UTM) . Nótese que en ambas proyecciones (que se basan en varios elipsoides) las ecuaciones de transformación para x e y y la expresión para el factor de escala son funciones complejas tanto de la latitud como de la longitud.  

La idea básica de una proyección secante es que la esfera se proyecta sobre un cilindro que interseca la esfera en dos paralelos, por ejemplo${\displaystyle \varphi _{1}}$norte y sur. Es evidente que la escala es correcta en estas latitudes, mientras que los paralelos por debajo de estas latitudes se contraen debido a la proyección y su factor de escala (paralelo) debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala respecto a la unidad se reduce en un rango más amplio de latitudes.

Como ejemplo, una posible proyección secante de Mercator se define por

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

Los multiplicadores numéricos no alteran la forma de la proyección, pero sí implican que los factores de escala se modifican:

escala secante de Mercator,${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

De este modo

• La escala en el ecuador es 0,9996,
• La escala es k  =  1 en una latitud dada por ${\displaystyle \varphi _{1}}$dónde ${\displaystyle \sec \varphi _ {1}=1/0.9996=1.00004}$de modo que${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$grados,
• k=1,0004 en una latitud${\displaystyle \varphi _{2}}$dado por${\displaystyle \sec \varphi _ {2}=1.0004/0.9996=1.0008}$para qué${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$grados. Por lo tanto, la proyección tiene${\displaystyle 1<k<1.0004}$, es decir, una precisión del 0,04%, en una franja más amplia de 4,58 grados (en comparación con los 3,24 grados de la forma tangente).

Esto se ilustra con la curva inferior (verde) en la figura de la sección anterior.

Estas estrechas zonas de alta precisión se utilizan en la proyección UTM y la proyección británica OSGB, ambas secantes, de Mercator transversal en el elipsoide con la escala en el meridiano central constante en${\displaystyle k_{0}=0.9996}$. Las líneas de isoescala con${\displaystyle k=1}$Son líneas ligeramente curvas situadas aproximadamente a 180  km al este y al oeste del meridiano central. El valor máximo del factor de escala es 1,001 para UTM y 1,0007 para OSGB.

Las líneas de escala de unidades en latitud${\displaystyle \varphi _{1}}$(norte y sur), donde la superficie de proyección cilíndrica interseca la esfera, son los paralelos estándar de la proyección secante.

Mientras que una banda estrecha con${\displaystyle |k-1|<0.0004}$es importante para la cartografía de alta precisión a gran escala; para mapas mundiales se utilizan paralelos estándar mucho más espaciados para controlar la variación de escala. Ejemplos:

• Behrmann con paralelismos estándar a 30N, 30S.
• Gall de igual área con paralelos estándar a 45°N, 45°S.

A continuación se muestran los diagramas de escala para este último, comparados con los factores de escala de Lambert para áreas iguales. En este último, el ecuador es un único paralelo estándar y la escala paralela aumenta de k=1 para compensar la disminución de la escala meridiana. Para la proyección de Gall, la escala paralela se reduce en el ecuador (a k=0,707) mientras que la escala meridiana aumenta (a k=1,414). Esto da lugar a la gran distorsión de la forma en la proyección de Gall-Peters. (En el globo terráqueo, África tiene aproximadamente la misma longitud que anchura). Nótese que las escalas meridiana y paralela son unitarias en los paralelos estándar.

Para proyecciones cilíndricas normales, la geometría de los elementos infinitesimales da

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

La relación entre los ángulos${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \alpha }$es

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

Para la proyección de Mercator ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$donación${\displaystyle \alpha =\beta }$: los ángulos se conservan. (No es de extrañar, ya que esta es la relación utilizada para derivar la proyección de Mercator). Para las proyecciones equidistante y de Lambert tenemos${\displaystyle y'(\varphi )=a}$y${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$respectivamente, por lo que la relación entre${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$depende de la latitud ${\displaystyle \varphi }$. Denotemos la escala del punto en P cuando el elemento infinitesimal PQ forma un ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$con el meridiano por${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$Se obtiene mediante la razón de distancias:

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

Configuración${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$y sustituyendo${\displaystyle \delta \varphi }$y${\displaystyle \delta y}$De las ecuaciones (a) y (b) respectivamente se obtiene

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

Para las proyecciones distintas de Mercator primero debemos calcular${\displaystyle \beta }$de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \varphi }$usando la ecuación (c), antes de que podamos encontrar${\displaystyle \mu _{\alpha }}$. Por ejemplo, la proyección equirrectangular tiene${\displaystyle y'=a}$de modo que

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

Si consideramos una línea de pendiente constante ${\displaystyle \beta }$en la proyección ambos el valor correspondiente de${\displaystyle \alpha }$y el factor de escala a lo largo de la línea son funciones complicadas de${\displaystyle \varphi }$No existe una forma sencilla de transferir una separación finita general a una escala de barras y obtener resultados significativos.