Diseño de mercado

Supongamos que cada uno de los n compradores recibe una señal privada.${\displaystyle {{x}_{i}}}$Valor del comprador${\displaystyle \phi ({{x}_{i}},{{x}_{-i}})}$está aumentando estrictamente en${\displaystyle {{x}_{i}}}$ y es una función simétrica creciente de${\displaystyle {{x}_{-i}}}$Si las señales están afiliadas, la función de oferta de equilibrio en una subasta sellada de primer precio${\displaystyle {{b}_{i}}=B({{x}_{i}})}$es menor que el pago esperado de equilibrio en la subasta sellada de segundo precio. ^{[ 5 ]}

La intuición detrás de este resultado es la siguiente: En la subasta sellada de segundo precio, el pago esperado de un postor ganador con valor v se basa en su propia información. Según el teorema de equivalencia de ingresos, si todos los compradores tuvieran las mismas creencias, habría equivalencia de ingresos. Sin embargo, si los valores están relacionados, un comprador con valor v sabe que los compradores con valores más bajos tienen creencias más pesimistas sobre la distribución de valores. En la subasta sellada de puja alta, estos compradores de bajo valor pujan menos de lo que lo harían si tuvieran las mismas creencias. Por lo tanto, el comprador con valor v no tiene que competir tan arduamente y también puja menos. Así, el efecto informativo reduce el pago de equilibrio del postor ganador en la subasta sellada de primer precio.

Aquí consideramos el caso más simple en el que hay dos compradores y el valor de cada comprador es${\displaystyle {{v}_{i}}=\phi ({{x}_{i}})}$depende únicamente de su propia señal. Entonces los valores de los compradores son privados y afiliados. En la subasta sellada de segundo precio (o subasta de Vickrey ), es una estrategia dominante que cada comprador ofrezca su valor. Si ambos compradores lo hacen, entonces un comprador con valor v tiene un pago esperado de

${\displaystyle e(v)={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}yf(y|v)dy}{F(v|v)}}}$ (2) .

En la subasta sellada de primer precio, la función de puja creciente B ( v ) es un equilibrio si las estrategias de puja son respuestas óptimas mutuas. Es decir, si el comprador 1 tiene un valor v , su mejor respuesta es pujar b = B ( v ) si cree que su oponente está utilizando la misma función de puja. Supongamos que el comprador 1 se desvía y puja b = B ( z ) en lugar de B ( v ). Sea U(z) su ganancia resultante. Para que B ( v ) sea una función de puja de equilibrio, U ( z ) debe alcanzar su máximo en x = v . Con una puja de b = B ( z ), el comprador 1 gana si

${\displaystyle B({{v}_{2}})<B(z)}$, es decir, si${\displaystyle {{v}_{2}}<z}$ .

La probabilidad de ganar es entonces${\displaystyle w=F(z|v)}$ de modo que la ganancia esperada del comprador 1 sea

${\displaystyle U(z)=w(vB(z))=F(z|v)(vB(z))}$.

Tomando logaritmos y diferenciando por z ,

${\displaystyle {\frac {{{U}^{\prime }}(z)}{U(z)}}={\frac {{w}'(z)}{w(z)}}-{\frac {{B}'(z)}{vB(z)}}={\frac {f(z|v)}{F(z|v)}}-{\frac {{B}'(z)}{vB(z)}}}$. (3)

El primer término del lado derecho es el aumento proporcional en la probabilidad de ganar a medida que el comprador aumenta su oferta. ${\displaystyle B(z)}$ a ${\displaystyle B(z+\Delta z)}$El segundo término es la caída proporcional en la ganancia si el comprador gana. Hemos argumentado que, para el equilibrio, U ( z ) debe tomar su máximo en z = v . Sustituyendo z en (3) e igualando la derivada a cero se obtiene la siguiente condición necesaria.

${\displaystyle {B}'(v)={\frac {f(v|v)}{F(v|v)}}(v-B(v))}$. (4)

El comprador 1 con valor x tiene un PDF condicional${\displaystyle f({{v}_{2}}|x)}$Supongamos que él cree ingenuamente que todos los demás compradores tienen las mismas creencias. En la subasta sellada de oferta más alta, calcula la función de oferta de equilibrio utilizando estas creencias ingenuas. Argumentando como se indicó anteriormente, la condición (3) se convierte en

${\displaystyle {\frac {{{U}^{\prime }}(z)}{U(z)}}={\frac {f(z|x)}{F(z|x)}}-{\frac {{B}'(z)}{v-B(z)}}}$. (3')

Dado que x > v, se deduce por afiliación (véase la condición (1)) que la ganancia proporcional al ofertar más alto es mayor bajo las creencias ingenuas que otorgan mayor peso a los valores más altos. Argumentando como antes, una condición necesaria para el equilibrio es que (3') debe ser cero en x = v . Por lo tanto, la función de oferta de equilibrio${\displaystyle {{B}_{x}}(v)}$satisface la siguiente ecuación diferencial.

${\displaystyle {{B}_{x}}^{\prime }(v)={\frac {f(v|x)}{F(v|x)}}(v-{{B}_{x}}(v))}$. (5)

Aplicando el teorema de equivalencia de ingresos, si todos los compradores tienen valores que son extracciones independientes de la misma distribución, entonces el pago esperado del ganador es el mismo en las dos subastas. Por lo tanto, ${\displaystyle {{B}_{x}}(x)=e(x)}$. Por lo tanto, para completar la demostración necesitamos establecer que${\displaystyle B(x)\leq {{B}_{x}}(x)}$. Recurriendo a (1), se deduce de (4) y (5) que para todo v < x .

${\displaystyle {{B}_{x}}^{\prime }(v)\geq \left({\frac {v-{{B}_{x}}(v)}{v-B(v)}}\right)B(v)}$

Por lo tanto, para cualquier v en el intervalo [0,x]

${\displaystyle B(v)-{{B}_{x}}(v)>{{0}_{}}{{\Rightarrow }_{}}{B}'(v)-{{B}_{x}}^{\prime }(v)<0}$.

Supongamos que ${\displaystyle B(x)>{{B}_{x}}(x)}$Dado que la oferta de equilibrio de un comprador con valor 0 es cero, debe existir algún y < x tal que

1. ${\displaystyle {}B(y)-{{B}_{x}}(y)={{0}_{}}}$y
2. ${\displaystyle {}B(v)-{{B}_{x}}(v)>0{{,}_{}}\ \forall v\in [y,x]}$.

Pero esto es imposible ya que acabamos de demostrar que en dicho intervalo,${\displaystyle B(v)-{{B}_{x}}(v)}$está disminuyendo. Desde${\displaystyle {{B}_{x}}(x)=e(x)}$De ello se deduce que el pago esperado por el postor ganador es menor en la subasta sellada de oferta más alta.

Milgrom también ha contribuido a la comprensión de las subastas combinatorias. En un trabajo con Larry Ausubel (Ausubel y Milgrom, 2002), se consideran subastas de múltiples artículos, que pueden ser sustitutos o complementos. Definen un mecanismo, la "subasta ascendente por poder", que se estructura de la siguiente manera: cada postor informa sus valores a un agente por poder para todos los paquetes que le interesan. También se pueden informar las restricciones presupuestarias. El agente por poder puja entonces en una subasta ascendente con pujas por paquetes en nombre del postor real, presentando iterativamente la puja permitida que, de ser aceptada, maximizaría el beneficio del postor real (valor menos precio), basándose en los valores informados. La subasta se lleva a cabo con incrementos de puja insignificantes. Después de cada ronda, se determinan las pujas ganadoras provisionales que maximizan los ingresos totales de las combinaciones factibles de pujas. Todas las pujas de un postor se mantienen activas durante toda la subasta y se tratan como mutuamente excluyentes. La subasta finaliza cuando se produce una ronda sin nuevas pujas. La subasta ascendente por delegación puede considerarse tanto una representación compacta de una subasta combinatoria dinámica como un mecanismo directo práctico, el primer ejemplo de lo que Milgrom denominaría más tarde una "subasta de selección de núcleos".

Demuestran que, con respecto a cualquier conjunto de valores reportados, la subasta proxy ascendente siempre genera un resultado central , es decir, un resultado factible y no bloqueado. Además, si los valores de los postores satisfacen la condición de sustitutos, entonces la puja veraz es un equilibrio de Nash de la subasta proxy ascendente y produce el mismo resultado que el mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves (VCG) . Sin embargo, la condición de sustitutos es robustamente una condición necesaria y suficiente: si los valores de tan solo un postor violan la condición de sustitutos, entonces con la elección apropiada de otros tres postores con valores aditivamente separables, el resultado del mecanismo VCG queda fuera del núcleo; y por lo tanto la subasta proxy ascendente no puede coincidir con el mecanismo VCG y la puja veraz no puede ser un equilibrio de Nash. También proporcionan una caracterización completa de las preferencias de sustitutos: los bienes son sustitutos si y solo si la función de utilidad indirecta es submodular.

Ausubel y Milgrom (2006a, 2006b) exponen y desarrollan estas ideas. El primero de estos artículos, titulado "La encantadora pero solitaria subasta de Vickrey", planteó un punto importante en el diseño de mercados. El mecanismo VCG, si bien resulta muy atractivo en teoría, adolece de varias debilidades cuando se incumple la condición de sustitutos, lo que lo convierte en un candidato poco adecuado para aplicaciones empíricas. En particular, el mecanismo VCG puede presentar: bajos (o nulos) ingresos para el vendedor; falta de monotonicidad de los ingresos del vendedor en el conjunto de postores y las cantidades ofrecidas; vulnerabilidad a la colusión por parte de una coalición de postores perdedores; y vulnerabilidad al uso de múltiples identidades de postor por parte de un solo postor. Esto podría explicar por qué el diseño de la subasta VCG, si bien es tan atractivo en teoría, resulta tan solitario en la práctica.

El trabajo adicional realizado en esta área por Milgrom junto con Larry Ausubel y Peter Cramton ha sido particularmente influyente en el diseño práctico de mercados. Ausubel, Cramton y Milgrom (2006) propusieron un nuevo formato de subasta, ahora conocido como subasta combinatoria de reloj (CCA), que consta de una etapa de subasta de reloj seguida de una ronda suplementaria de ofertas selladas. Todas las ofertas se interpretan como ofertas de paquete, y el resultado final de la subasta se determina mediante un mecanismo de selección de núcleos. La CCA se utilizó por primera vez en  la subasta de espectro de 10 a 40 GHz del Reino Unido en 2008. Desde entonces, se ha convertido en un nuevo estándar para las subastas de espectro: se ha utilizado en importantes subastas de espectro en Austria, Dinamarca, Irlanda, los Países Bajos, Suiza y el Reino Unido, y está previsto que se utilice en próximas subastas en Australia y Canadá.

En la conferencia del Premio Nemmers de 2008, el economista de la Universidad Estatal de Pensilvania, Vijay Krishna ^{[ 6 ]} y Larry Ausubel ^{[ 7 ]} destacaron las contribuciones de Milgrom a la teoría de las subastas y su impacto posterior en el diseño de subastas.

Como se mencionó, en algunos mercados, el mecanismo de precios puede no asignar los recursos de manera óptima. Un ejemplo de ello es el mercado laboral. Por lo general, los empleadores o las empresas no reducen el salario ofrecido hasta el punto de igualar la oferta y la demanda. Para las empresas, lo importante es elegir al trabajador más idóneo. En algunos mercados laborales, elegir al empleador más adecuado también es importante para quienes buscan empleo. Dado que el proceso de información entre los participantes del mercado sobre las preferencias de los demás se ve interrumpido, se deben diseñar reglas para mejorar el desempeño del mercado.

Otra aplicación importante de la compatibilidad es el mercado de trasplantes renales. Los solicitantes de trasplantes renales a menudo se enfrentan al problema de la falta de riñones compatibles. Los diseñadores del mercado intentan hacer que el mercado de intercambio de riñones sea más eficiente diseñando sistemas para emparejar a los solicitantes y donantes de riñón. Dos tipos generales de comunicación entre solicitantes y donantes de riñón son los sistemas de intercambio en cadena y cíclicos. En el intercambio cíclico, los donantes y receptores de riñón forman un ciclo para el intercambio de riñón. ^{[ 15 ]}

Milgrom ha contribuido a la comprensión del efecto de simplificar el espacio de mensajes en el diseño práctico de mercados. Observó y desarrolló como un elemento de diseño importante en muchos mercados la noción de conflación: la idea de restringir la capacidad de un participante para expresar preferencias complejas al obligarlo a ingresar el mismo valor para preferencias diferentes. Un ejemplo de conflación surge en el algoritmo de aceptación diferida de Gale y Shapley para la asignación de hospitales y médicos, donde a los hospitales se les permite enviar solo preferencias receptivas (es decir, la clasificación de médicos y capacidades) aunque teóricamente se les podría pedir que enviaran preferencias de sustitutos generales. En las subastas de búsqueda patrocinada en Internet, los anunciantes pueden enviar una única oferta por clic, independientemente de las posiciones de anuncios que ganen. Una idea similar, anterior, de una subasta de artículos genéricos fusionados es un componente importante de la Subasta de Reloj Combinatorio (Ausubel, Cramton y Milgrom, 2006), ampliamente utilizada en subastas de espectro, incluida la reciente subasta de 800  MHz / 2,6  GHz del Reino Unido, y también se ha propuesto para Subastas de Incentivos. ^{[ 16 ]} A los postores se les permite expresar solo la cantidad de frecuencias en la etapa de asignación de la subasta sin tener en cuenta la asignación específica (que se decide en una etapa de asignación posterior). Milgrom (2010) muestra que con una cierta “propiedad de cierre de resultados”, la fusión no agrega ningún resultado no deseado nuevo como equilibrio y argumentó que, al espesar los mercados, puede intensificar la competencia de precios y aumentar los ingresos.

Como aplicación concreta de la idea de simplificar mensajes, Milgrom (2009) define los mensajes de asignación de preferencias. En estos mensajes, un agente puede codificar ciertas preferencias no lineales que implican diversas posibilidades de sustitución en objetivos lineales, permitiendo a los agentes describir múltiples "roles" que los objetos pueden desempeñar en la generación de utilidad, sumándose así la utilidad generada. La valoración sobre un conjunto de objetos es el valor máximo que se puede alcanzar asignándolos de forma óptima a diversos roles. Los mensajes de asignación también pueden aplicarse a la asignación de recursos sin dinero; véase, por ejemplo, el problema de la asignación de cursos en las escuelas, analizado por Budish, Che, Kojima y Milgrom (2013). En este sentido, el artículo ha proporcionado una generalización del teorema de Birkhoff-von Neumann (una propiedad matemática sobre matrices doblemente estocásticas ) y lo ha aplicado para analizar cuándo una asignación aleatoria dada puede "implementarse" como una lotería sobre resultados deterministas factibles.

Un lenguaje más general, el mensaje de asignación dotada , es estudiado por Hatfield y Milgrom (2005). Milgrom ofrece una visión general de estos temas en Milgrom (2011).