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modelo de Markowitz

En finanzas , el modelo de Markowitz —propuesto por Harry Markowitz en 1952— es un modelo de optimización de cartera que ayuda a seleccionar la cartera más eficiente mediante el...

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En finanzas , el modelo de Markowitz —propuesto por Harry Markowitz en 1952— es un modelo de optimización de cartera que ayuda a seleccionar la cartera más eficiente mediante el análisis de diversas carteras posibles con los valores dados. Al elegir valores que no se mueven exactamente al unísono, el modelo de Markowitz muestra a los inversores cómo reducir su riesgo. Este modelo también se conoce como modelo de media - varianza , ya que se basa en los rendimientos esperados (media) y la desviación estándar (varianza) de las distintas carteras. Es fundamental para la teoría moderna de carteras .

Supuestos

Markowitz hizo las siguientes suposiciones al desarrollar el modelo HM: [ 1 ]

  1. El riesgo de una cartera se basa en la variabilidad de los rendimientos de dicha cartera.
  2. Un inversor es reacio al riesgo .
  3. Un inversor prefiere aumentar el consumo .
  4. La función de utilidad del inversor es cóncava y creciente, debido a su aversión al riesgo y a sus preferencias de consumo.
  5. El análisis se basa en un modelo de inversión de un solo período .
  6. Un inversor maximiza la rentabilidad de su cartera para un nivel de riesgo determinado o minimiza su riesgo para una rentabilidad determinada. [ 2 ]
  7. Un inversor es racional por naturaleza .

Para elegir la mejor cartera entre varias posibles, cada una con diferente rentabilidad y riesgo, se deben tomar dos decisiones distintas, que se detallan en las secciones siguientes:

  1. Determinación de un conjunto de carteras eficientes.
  2. Selección de la mejor cartera de entre el conjunto eficiente.

Metodología

Determinación del conjunto eficiente

Una cartera que ofrece la máxima rentabilidad para un riesgo determinado, o el mínimo riesgo para una rentabilidad determinada, es una cartera eficiente. Por lo tanto, las carteras se seleccionan de la siguiente manera:

(a) De las carteras que tienen el mismo rendimiento, el inversor preferirá la cartera con menor riesgo, y [ 1 ]

b) De las carteras que tienen el mismo nivel de riesgo, un inversor preferirá la cartera con mayor tasa de rendimiento.

Figura 1: Relación riesgo-rentabilidad de posibles carteras

Como el inversor es racional, desearía obtener una mayor rentabilidad. Y como es adverso al riesgo, desea tener un riesgo menor. [ 1 ] En la Figura 1, el área sombreada PVWP incluye todos los posibles valores en los que un inversor puede invertir. Las carteras eficientes son las que se encuentran en el límite de PQVW. Por ejemplo, en el nivel de riesgo x 2 , hay tres carteras S, T, U. Pero la cartera S se denomina cartera eficiente ya que tiene la mayor rentabilidad, y 2 , en comparación con T y U[necesita punto]. Todas las carteras que se encuentran en el límite de PQVW son carteras eficientes para un nivel de riesgo dado.

El límite PQVW se denomina Frontera Eficiente . Todas las carteras que se encuentran por debajo de la Frontera Eficiente no son suficientemente buenas, ya que la rentabilidad sería menor para el mismo nivel de riesgo. Las carteras que se encuentran a la derecha de la Frontera Eficiente tampoco lo serían, puesto que implican un mayor riesgo para una tasa de rentabilidad determinada. Todas las carteras que se sitúan en el límite de PQVW se denominan Carteras Eficientes. La Frontera Eficiente es la misma para todos los inversores, ya que todos buscan la máxima rentabilidad con el menor riesgo posible y, por lo tanto, son aversos al riesgo.

Elegir la mejor cartera

Para seleccionar la cartera óptima o la mejor cartera, se analizan las preferencias de riesgo-rentabilidad. Un inversor con alta aversión al riesgo mantendrá una cartera en la parte inferior izquierda de la frontera, mientras que un inversor con menor aversión al riesgo elegirá una cartera en la parte superior de la frontera.

Figura 2: Curvas de indiferencia riesgo-rentabilidad

La Figura 2 muestra la curva de indiferencia riesgo-rentabilidad para los inversores. Se muestran las curvas de indiferencia C1, C2 y C3. Cada punto de una curva de indiferencia representa una combinación diferente de riesgo y rentabilidad, que proporciona la misma satisfacción a los inversores. Cada curva hacia la izquierda representa una mayor utilidad o satisfacción . El objetivo del inversor sería maximizar su satisfacción moviéndose hacia una curva superior. Un inversor podría tener la satisfacción representada por C2 , pero si su satisfacción/utilidad aumenta, se moverá a la curva C3 . Por lo tanto, en cualquier momento, un inversor será indiferente entre las combinaciones S1 y S2 , o S5 y S6 .

Figura 3: La cartera eficiente

La cartera óptima del inversor se encuentra en el punto de tangencia de la frontera eficiente con la curva de indiferencia . Este punto marca el nivel más alto de satisfacción que el inversor puede obtener. Esto se muestra en la Figura 3. R es el punto donde la frontera eficiente es tangente a la curva de indiferencia C3 , y también es una cartera eficiente. Con esta cartera, el inversor obtendrá la máxima satisfacción, así como la mejor combinación riesgo-rentabilidad (una cartera que proporciona la mayor rentabilidad posible para un nivel de riesgo determinado). Cualquier otra cartera, por ejemplo X, no es la cartera óptima, aunque se encuentre en la misma curva de indiferencia, ya que está fuera de la cartera factible disponible en el mercado. La cartera Y tampoco es óptima, ya que no se encuentra en la mejor curva de indiferencia factible, aunque sea una cartera de mercado factible . Otro inversor, con otros conjuntos de curvas de indiferencia, podría tener una cartera diferente como su mejor/óptima cartera.

Hasta ahora, todas las carteras se han evaluado únicamente en función de valores de riesgo, si bien es posible incluir también valores libres de riesgo. Una cartera con valores libres de riesgo permite al inversor alcanzar un mayor nivel de satisfacción. Esto se explica en la Figura 4.

Figura 4: La combinación de valores libres de riesgo con la frontera eficiente y la CML

R 1 es el rendimiento libre de riesgo, o el rendimiento de los títulos públicos , ya que estos se consideran libres de riesgo para fines de modelización. R 1 PX se traza de manera que sea tangente a la frontera eficiente. Cualquier punto en la línea R 1 PX muestra una combinación de diferentes proporciones de títulos libres de riesgo y carteras eficientes. La satisfacción que un inversor obtiene de las carteras en la línea R 1 PX es mayor que la satisfacción obtenida de la cartera P. Todas las combinaciones de carteras a la izquierda de P muestran combinaciones de activos de riesgo y libres de riesgo, y todas las que están a la derecha de P representan compras de activos de riesgo realizadas con fondos prestados a la tasa libre de riesgo .

En caso de que un inversor haya invertido todos sus fondos, puede obtener fondos adicionales a una tasa libre de riesgo y conformar una cartera que se encuentre sobre R 1 PX. R 1 PX se conoce como la Línea del Mercado de Capitales (LMC). Esta línea representa la relación riesgo-rentabilidad en el mercado de capitales . La LMC es una línea ascendente, lo que significa que el inversor asumirá un mayor riesgo si la rentabilidad de la cartera también es mayor. La cartera P es la más eficiente, ya que se encuentra tanto sobre la LMC como sobre la Frontera Eficiente, y todo inversor preferiría obtener esta cartera, P. La cartera P se conoce como Cartera de Mercado y generalmente es la más diversificada. Está compuesta esencialmente por todas las acciones y valores del mercado de capitales (tanto en posiciones largas como cortas). La Cartera de Mercado no incluiría un valor específico si la correlación entre la cartera y el valor es cero con una rentabilidad negativa (apuesta), o si la correlación es uno (cualquier valor con una rentabilidad menor no justifica la inversión).

En el mercado de carteras, que incluye valores con y sin riesgo, la Línea del Mercado de Capitales (LMC) representa la condición de equilibrio. La LMC establece que la rentabilidad de una cartera es la tasa libre de riesgo más la prima de riesgo. La prima de riesgo es el producto del precio de mercado del riesgo y la cantidad de riesgo, y el riesgo es la desviación estándar de la cartera.

La ecuación CML es  :

R P = I RF + (R M – I RF )σ P /σ M

dónde,

R P = rentabilidad esperada de la cartera
I RF = tasa de interés libre de riesgo
R M = rentabilidad de la cartera de mercado
σ M = desviación estándar de la cartera de mercado
σ P = desviación estándar de la cartera

(R M – I RF )/σ M es la pendiente de CML. (R M – I RF ) es una medida de la prima de riesgo, o la recompensa por mantener una cartera de riesgo en lugar de una cartera libre de riesgo. σ M es el riesgo de la cartera de mercado. Por lo tanto, la pendiente mide la recompensa por unidad de riesgo de mercado.

Las características típicas de la LMC son:

1. En el punto de tangencia, es decir, la cartera P , se encuentra la combinación óptima de inversiones de riesgo y la cartera de mercado .

2. Solo las carteras eficientes que constan de inversiones libres de riesgo y la cartera de mercado P se encuentran en la CML.

3. La CML siempre tiene pendiente positiva, ya que el precio del riesgo debe ser positivo. Un inversor racional no invertirá a menos que sepa que será compensado por ese riesgo.

Figura 5: CML y préstamos y empréstitos sin riesgo

La Figura 5 muestra que un inversor elegirá una cartera en la frontera eficiente, en ausencia de inversiones libres de riesgo. Sin embargo, al introducir inversiones libres de riesgo, el inversor puede elegir la cartera en la CML (que representa la combinación de inversiones con y sin riesgo). Esto se puede lograr mediante préstamos o empréstitos a la tasa de interés libre de riesgo (I RF ) y la compra de la cartera eficiente P. La cartera que elegirá un inversor depende de su tolerancia al riesgo. La porción desde I RF hasta P es una inversión en activos libres de riesgo y se denomina Cartera de Préstamo . En esta porción, el inversor prestará una parte a la tasa libre de riesgo. La porción más allá de P se denomina Cartera de Préstamo , donde el inversor toma prestados fondos a la tasa libre de riesgo para comprar más de la cartera P.

Desventajas del modelo HM

1. A menos que se asignen restricciones de positividad, la solución de Markowitz puede encontrar fácilmente carteras altamente apalancadas (grandes posiciones largas en un subconjunto de activos invertibles financiadas por grandes posiciones cortas en otro subconjunto de activos) , pero dada su naturaleza apalancada, los rendimientos de dicha cartera son extremadamente sensibles a pequeños cambios en los rendimientos de los activos constituyentes y, por lo tanto, pueden ser extremadamente "peligrosos". Las restricciones de positividad son fáciles de aplicar y solucionan este problema, pero si el usuario quiere "creer" en la robustez del enfoque de Markowitz, sería deseable que se obtuvieran soluciones con mejor comportamiento (al menos, ponderaciones positivas) de manera no restringida cuando el conjunto de activos de inversión está cerca de las oportunidades de inversión disponibles (la cartera de mercado), pero esto no suele ser el caso.

2. En la práctica, resulta más problemático que pequeños cambios en las entradas, ya que pueden generar grandes cambios en la cartera. La optimización media-varianza sufre de «maximización del error»: «un algoritmo que toma estimaciones puntuales (de rendimientos y covarianzas) como entradas y las trata como si se conocieran con certeza reaccionará a pequeñas diferencias de rendimiento que se encuentran dentro del margen de error de medición». [ 3 ] En el mundo real, este grado de inestabilidad conllevará, en primer lugar, elevados costes de transacción, pero también es probable que socave la confianza del gestor de cartera en el modelo. [ 4 ] Extrapolando este punto, en ciertos universos de activos, los académicos han descubierto que el modelo de Markowitz ha sido susceptible a problemas como la inestabilidad del modelo cuando, por ejemplo, los activos de referencia presentan un alto grado de correlación. [ 5 ]

3. La cantidad de información (específicamente la matriz de covarianza o una distribución de probabilidad conjunta completa entre los activos de la cartera de mercado) necesaria para calcular una cartera óptima de media-varianza suele ser intratable y, ciertamente, no deja lugar para mediciones subjetivas («opiniones» sobre los rendimientos de carteras de subconjuntos de activos invertibles) . Además, la dependencia de la información y la necesidad de calcular una matriz de covarianza introducen cierta complejidad computacional, aunque manejable, y limitan la escalabilidad del modelo para carteras con universos de activos suficientemente grandes. [ 6 ]

4. Los rendimientos esperados son inciertos, y cuando hacemos esta suposición, el problema de optimización produce soluciones diferentes a las del modelo de Markowitz. [ 7 ] [ 8 ]

Referencias

  1. ^ Rustagi , RP (septiembre de 2010) . Gestión Financiera . India: Publicaciones Taxmann (P.) Ltd. ISBN 978-81-7194-786-7.
  2. ↑ "Markowitz" .
  3. ↑ Scherer, B. (2002). "Remuestreo de cartera: revisión y crítica". Financial Analysts Journal . 58 (6): 98– 109. doi : 10.2469/faj.v58.n6.2489 . S2CID 154795184 . 
  4. ↑ Barreiro-Gomez, J.; Tembine, H. (2019). "Blockchain Token Economics: A Mean-Field-Type Game Perspective" . IEEE Access . 7 : 64603–64613 . doi : 10.1109/ACCESS.2019.2917517 . ISSN 2169-3536 . 
  5. ↑ Henide, Karim (2023). "Optimización del ratio de Sherman: construcción de carteras alternativas de bonos soberanos ultracortos" . Journal of Investment Strategies . doi : 10.21314/JOIS.2023.001 . S2CID 259538567 . 
  6. ↑ Henide, Karim (2023). "Optimización del ratio de Sherman: construcción de carteras alternativas de bonos soberanos ultracortos" . Journal of Investment Strategies . doi : 10.21314/JOIS.2023.001 . S2CID 259538567 . 
  7. ↑ Benichou, R.; Lemperiere, Y.; Serie, E.; Kockelkoren, J.; Seager, P.; Bouchaud, J.-P.; Potters, M. (2017). "Paridad de riesgo agnóstica: domesticando lo conocido y lo desconocido-desconocido". Journal of Investment Strategies . 6 .
  8. ↑ Valeyre, S. (2024). "Carteras óptimas de seguimiento de tendencias". Journal of Investment Strategies . 12 .

Publicaciones seleccionadas

  • Markowitz, HM (marzo de 1952). "Selección de cartera". The Journal of Finance . 7 (1): 77– 91. doi : 10.2307/2975974 . JSTOR 2975974 . 
  • Markowitz, HM (abril de 1952). "La utilidad de la riqueza" (PDF) . The Journal of Political Economy . LX (2): 151– 158. doi : 10.1086/257177 .