La conjetura de Hall

En matemáticas , la conjetura de Hall es una cuestión abierta sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos . Afirma que un cuadrado perfecto${\displaystyle y^{2}}$y un cubo perfecto${\displaystyle x^{3}}$que no son iguales deben estar a una distancia sustancial de distancia. Esta cuestión surgió al considerar la ecuación de Mordell en la teoría de puntos enteros en curvas elípticas .

La versión original de la conjetura de Hall, formulada por Marshall Hall, Jr. en 1970, afirma que existe una constante positiva.${\displaystyle C}$de tal manera que para cualquier número entero${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$para qué${\displaystyle y^{2}\neq x^{3}}$,

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C|x|^{1/2}}$.

Hall sugirió que tal vez${\displaystyle C}$podría tomarse como${\displaystyle 1/5}$lo cual era coherente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura .

En 1982, Danilov demostró que${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|}$es menor que${\displaystyle 433{\sqrt {2}}\times |x|^{1/2}}$infinitamente a menudo, ^{[ 1 ]} proporcionando así un límite superior en${\displaystyle C}$y demostrando que el exponente${\displaystyle 1/2}$(es decir, el uso de${\displaystyle |x|^{1/2}}$) es óptimo y no puede ser reemplazado por ninguna potencia superior: para ningún${\displaystyle \delta >0}$¿Hay una constante?${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C|x|^{1/2+\delta }}$cuando sea${\displaystyle y^{2}\neq x^{3}}$.

En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura anterior en el caso de polinomios : si${\displaystyle f(t)}$y${\displaystyle g(t)}$son polinomios no nulos sobre los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$de tal manera que${\displaystyle g(t)^{3}\neq f(t)^{2}}$en${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$, entonces

${\displaystyle \deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.}$

La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada en el lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que${\displaystyle 1/2}$: para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay alguna constante${\displaystyle c(\varepsilon)}$Dependiendo de${\displaystyle \varepsilon }$de tal manera que para cualquier número entero${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$para qué${\displaystyle y^{2}\neq x^{3}}$,

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )|x|^{1/2-\varepsilon }}$.

La forma original y fuerte de la conjetura con exponente${\displaystyle 1/2}$nunca ha sido refutada, aunque ya no se cree que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente significa la versión con la${\displaystyle \varepsilon }$en él. Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo

${\displaystyle 447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843}$,

para lo cual se requeriría compatibilidad con la conjetura de Hall${\displaystyle C}$ser menos que${\displaystyle 0.0214\approx 1/50}$, por lo que es aproximadamente 10 veces más pequeño que la opción original de${\displaystyle 1/5}$que Hall sugirió.

La forma débil de la conjetura de Hall se derivaría de la conjetura ABC . ^{[ 2 ]} Una generalización a otras potencias perfectas es la conjetura de Pillai , aunque también se sabe que la conjetura de Pillai sería verdadera si la conjetura de Hall se cumpliera para cualquier potencia específica.${\displaystyle 0<\varepsilon <1/2}$. ^{[ 3 ]}

La tabla a continuación muestra los casos conocidos con${\displaystyle r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1}$. Tenga en cuenta que y se puede calcular como el entero más cercano a x ^3/2 . Se sabe que esta lista contiene todos los ejemplos con${\displaystyle x\leq 10^{29}}$(las primeras 44 entradas de la tabla), pero puede estar incompleta a partir de ese punto.

• Una página sobre el problema, escrita por Noam Elkies.