Martin mide

En la teoría descriptiva de conjuntos , la medida de Martin es un filtro en el conjunto de grados de Turing de conjuntos de números naturales , que recibe su nombre de Donald A. Martin . Bajo el axioma de determinatividad, se puede demostrar que es un ultrafiltro .

Dejar${\displaystyle D}$Sea el conjunto de grados de Turing de conjuntos de números naturales. Dada alguna clase de equivalencia${\displaystyle [X]\in D}$, podemos definir el cono (o cono ascendente ) de${\displaystyle [X]}$como el conjunto de todos los grados de Turing${\displaystyle [Y]}$de tal manera que${\displaystyle X\leq _{T}Y}$; ^{[ 1 ]} es decir, el conjunto de grados de Turing que son "al menos tan complejos" como${\displaystyle X}$bajo reducción de Turing . En términos de teoría del orden, el cono de${\displaystyle [X]}$es el conjunto superior de${\displaystyle [X]}$.

Suponiendo el axioma de determinatividad , el lema del cono establece que si A es un conjunto de grados de Turing, o bien A incluye un cono o bien el complemento de A contiene un cono. ^{[ 1 ]} Es similar al lema de Wadge para los grados de Wadge y es importante para el siguiente resultado.

Decimos que un conjunto${\displaystyle A}$de grados de Turing tiene medida 1 bajo la medida de Martin exactamente cuando${\displaystyle A}$contiene algún cono. Dado que es posible, para cualquier${\displaystyle A}$, para construir un juego en el que el jugador I tenga una estrategia ganadora exactamente cuando${\displaystyle A}$contiene un cono y en el cual el jugador II tiene una estrategia ganadora exactamente cuando el complemento de${\displaystyle A}$contiene un cono, el axioma de determinatividad implica que los conjuntos de medida 1 de grados de Turing forman un ultrafiltro.

Es fácil demostrar que una intersección numerable de conos es en sí misma un cono; por lo tanto, la medida de Martin es un filtro numerablemente completo . Este hecho, combinado con el hecho de que la medida de Martin puede transferirse a${\displaystyle \omega _{1}}$mediante un simple mapeo, nos dice que${\displaystyle \omega _{1}}$es medible bajo el axioma de determinatividad. Este resultado muestra parte de la importante conexión entre la determinatividad y los cardinales grandes .

• Moschovakis, Yiannis N. (2009). Teoría descriptiva de conjuntos . Encuestas y monografías matemáticas. Vol.  155 (2.ª  ed.). Sociedad Matemática Americana. pág.  338. ISBN 9780821848135.