Teorema del límite central de las martingalas

En teoría de la probabilidad , el teorema del límite central establece que, bajo ciertas condiciones, la suma de muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , al ser escaladas adecuadamente, converge en distribución a una distribución normal estándar . El teorema del límite central de las martingalas generaliza este resultado para variables aleatorias a martingalas , que son procesos estocásticos donde el cambio en el valor del proceso desde el tiempo t hasta el tiempo t  +  1 tiene esperanza cero, incluso condicionado a resultados anteriores.

Aquí hay una versión simple del teorema del límite central de la martingala: Sea ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}$sea ​​una martingala con incrementos acotados; es decir, supongamos

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}$

y

${\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}$

casi con seguridad para algún límite fijo k y todo t . Supongamos también que${\displaystyle |X_{1}|\leq k}$casi con seguridad.

Definir

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}$

y dejar

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$

converge en distribución a la distribución normal con media 0 y varianza 1 como${\displaystyle \nu \to +\infty \!}$. Más explícitamente,

${\displaystyle \lim _{\nu \to +\infty }\operatorname {P} \left({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}<x\right)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}$

La afirmación del resultado anterior asume implícitamente que las varianzas suman infinito, por lo que lo siguiente se cumple con probabilidad 1:

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$

Esto garantiza que con probabilidad 1:

${\displaystyle \tau _{\nu }<\infty ,\forall \nu \geq 0}$

Esta condición se incumple, por ejemplo, en una martingala que se define como cero casi con seguridad para todo tiempo.

El resultado se puede comprender intuitivamente escribiendo la razón como una sumatoria:

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {\nu }}}+{\frac {1}{\sqrt {\nu }}}\sum _{i=1}^{\tau _{\nu }-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{\nu }\geq 1}$

El primer término del lado derecho converge asintóticamente a cero, mientras que el segundo término es cualitativamente similar a la fórmula de sumatoria del teorema del límite central en el caso más simple de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.). Si bien los términos de la expresión anterior no son necesariamente i.i.d., no están correlacionados y tienen media cero. En efecto:

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\forall i\in \{1,2,3,...\}}$

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})]=0,\forall i\neq j,i,j\in \{1,2,3,...\}}$

Se pueden encontrar muchas otras variantes del teorema del límite central de la martingala en:

• Hall, Peter; Heyde, C.  C. (1980). Teoría límite de martingalas y su aplicación . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-319350-8.

Sin embargo, tenga en cuenta que la demostración del Teorema 5.4 en Hall & Heyde contiene un error. Para más información, consulte

• Bradley, Richard (1988). "Sobre algunos resultados de MI Gordin: una aclaración de un malentendido". Journal of Theoretical Probability . 1 (2). Springer: 115– 119. doi : 10.1007/BF01046930 . S2CID 120698528 .