Fórmula de ganancia de Mason

La fórmula de ganancia de Mason (MGF) es un método para encontrar la función de transferencia de un gráfico de flujo de señal lineal (SFG). La fórmula fue derivada por Samuel Jefferson Mason , ^[1] en cuyo honor recibe su nombre. MGF es un método alternativo para encontrar la función de transferencia de manera algebraica al etiquetar cada señal, escribir la ecuación de cómo esa señal depende de otras señales y luego resolver las ecuaciones múltiples para la señal de salida en términos de la señal de entrada. MGF proporciona un método paso a paso para obtener la función de transferencia de un SFG. A menudo, MGF se puede determinar mediante la inspección del SFG. El método puede manejar fácilmente SFG con muchas variables y bucles, incluidos bucles con bucles internos. MGF aparece a menudo en el contexto de sistemas de control , circuitos de microondas y filtros digitales porque estos a menudo se representan mediante SFG.

La fórmula de ganancia es la siguiente:

${\displaystyle G={\frac {y_{\text{salida}}}{y_{\text{entrada}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{G_{k}\Delta _{k}}}{\Delta \ }}}$

${\displaystyle \Delta =1-\suma L_{i}+\suma L_{i}L_{j}-\suma L_{i}L_{j}L_{k}+\cdots +(-1)^{m}\suma \cdots +\cdots }$

dónde:

• Δ = el determinante de la gráfica.
• y _in = variable del nodo de entrada
• y _out = variable del nodo de salida
• G = ganancia completa entre y _entrada y y _salida
• N = número total de rutas de avance entre y _{de entrada} y y _{de salida}
• G _k = ganancia de trayectoria de la k -ésima trayectoria de avance entre y _{de entrada} y y _{de salida}
• L _i = ganancia de bucle de cada bucle cerrado en el sistema
• L _i L _j = producto de las ganancias de bucle de dos bucles cualesquiera que no se toquen (sin nodos comunes)
• L _i L _j L _k = producto de las ganancias de bucle de tres bucles que no se tocan por pares
• Δ _k = el valor del cofactor de Δ para la k ^-ésima ruta hacia adelante, con los bucles que tocan la k ^-ésima ruta hacia adelante eliminados.

• Camino: conjunto continuo de ramas recorridas en la dirección que ellas indican.
• Ruta de avance: una ruta desde un nodo de entrada a un nodo de salida en la que ningún nodo se toca más de una vez.
• Bucle: Una ruta que se origina y termina en el mismo nodo en el que ningún nodo se toca más de una vez.
• Ganancia de ruta: el producto de las ganancias de todas las ramas de la ruta.
• Ganancia de bucle: el producto de las ganancias de todas las ramas del bucle.

1. Haz una lista de todos los caminos hacia adelante y sus ganancias, y etiquétalos como G _k .
2. Haz una lista de todos los bucles y sus ganancias, y etiquétalos como L _i (para i bucles). Haz una lista de todos los pares de bucles que no se tocan y los productos de sus ganancias ( L _i L _j ). Haz una lista de todos los pares de bucles que no se tocan tomados de tres en tres ( L _i L _j L _k ), luego de cuatro en cuatro, y así sucesivamente, hasta que no haya más.
3. Calcular el determinante Δ y los cofactores Δ _k .
4. Aplicar la fórmula.

Se desea la función de transferencia de V _in a V _{2 .}

Sólo hay un camino hacia adelante:

• V _en a V ₁ a I ₂ a V ₂ con ganancia${\displaystyle G_{1}=-y_{21}R_{L}\,}$

Hay tres bucles:

• V ₁ a I ₁ a V ₁ con ganancia ${\displaystyle L_{1}=-R_{\text{en}}y_{11}\,}$
• V ₂ a I ₂ a V ₂ con ganancia ${\displaystyle L_{2}=-R_{L}y_{22}\,}$
• V ₁ a I ₂ a V ₂ a I ₁ a V ₁ con ganancia ${\displaystyle L_{3}=y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{en}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2}+L_{3})+(L_{1}L_{2})\,}$ Nota: L ₁ y L ₂ no se tocan entre sí, mientras que L ₃ toca los otros dos bucles.

${\displaystyle \Delta _ {1}=1\,}$ Nota: la ruta hacia adelante toca todos los bucles, por lo que todo lo que queda es 1 .

${\displaystyle G={\frac {G_{1}\Delta _{1}}{\Delta }}={\frac {-y_{21}R_{L}}{1+R_{\text{en}}y_{11}+R_{L}y_{22}-y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{en}}+R_{\text{en}}y_{11}R_{L}y_{22}}}\,}$

Los filtros digitales a menudo se diagraman como gráficos de flujo de señal.

Hay dos bucles

• ${\displaystyle L_{1}=-a_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle L_{2}=-a_{2}Z^{-2}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2})\,}$Tenga en cuenta que los dos bucles se tocan, por lo que no existe un término para su producto.

Hay tres caminos hacia adelante

• ${\displaystyle G_{0}=b_{0}\,}$
• ${\displaystyle G_{1}=b_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle G_{2}=b_{2}Z^{-2}\,}$

Todos los caminos hacia adelante tocan todos los bucles, por lo que${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1\,}$

${\displaystyle G={\frac {G_{0}\Delta _{0}+G_{1}\Delta _{1}+G_{2}\Delta _{2}}{\Delta }}\,}$

${\displaystyle G={\frac {b_{0}+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}}{1+a_{1}Z^{-1}+ a__{2}Z^{-2}}}\,}$

El gráfico de flujo de señales tiene seis bucles, que son:

• ${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\beta }{sM}}\,}$

• ${\displaystyle L_{1}={\frac {-(R_{M}+R_{S})}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{2}=\,{\frac {-G_{M}K_{M}}{s^{2}L_{M}M}}}$

• ${\displaystyle L_{3}={\frac {-K_{C}R_{S}}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{4}={\frac {-K_{V}K_{C}K_{M}G_{T}}{s^{2}L_{M}M}}\,}$

• ${\displaystyle L_{5}={\frac {-K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{0}+L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}+L_{5})+(L_{0}L_{1}+ L_ {0}L_ {3})\,}$

Hay un camino hacia adelante:

• ${\displaystyle g_{0}={\frac {K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

El camino hacia adelante toca todos los bucles, por lo tanto, el cofactor${\displaystyle \Delta _{0}=1}$

Y la ganancia de entrada a salida es${\displaystyle {\frac {\theta _{L}}{\theta _{C}}}={\frac {g_{0}\Delta _{0}}{\Delta }}\,}$

La regla de Mason se puede expresar en forma de matriz simple. Supongamos que es la matriz transitoria del gráfico donde es la transmitancia total de las ramas desde el nodo m hacia el nodo n . Entonces, la ganancia desde el nodo m hasta el nodo n del gráfico es igual a , donde ${\displaystyle \mathbf {T}}$${\displaystyle t_{nm}=\left[\mathbf {T} \right]_{nm}}$${\displaystyle u_{nm}=\left[\mathbf {U} \right]_{nm}}$

${\displaystyle \mathbf {U} =\left(\mathbf {I} -\mathbf {T} \right)^{-1}}$,

y es la matriz identidad. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

La regla de Mason también es particularmente útil para derivar la función de transferencia del dominio z de redes discretas que tienen bucles de retroalimentación internos integrados en bucles de retroalimentación externos (bucles anidados). Si la red discreta se puede dibujar como un gráfico de flujo de señal, entonces la aplicación de la regla de Mason dará la función de transferencia H(z) del dominio z de esa red.

La regla de Mason puede crecer factorialmente, porque la enumeración de caminos en un grafo dirigido crece drásticamente. Para ver esto, considere el grafo dirigido completo sobre vértices, que tiene una arista entre cada par de vértices. Existe una forma de camino para cada una de las permutaciones de los vértices intermedios. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es más eficiente en el caso general. ${\displaystyle n}$${\displaystyle y_{\text{in}}}$${\displaystyle y_{\text{out}}}$${\displaystyle (n-2)!}$

Sin embargo, la regla de Mason caracteriza las funciones de transferencia de sistemas interconectados de una manera que es simultáneamente algebraica y combinatoria, lo que permite enunciados generales y otros cálculos en la teoría de sistemas algebraicos. Si bien se producen numerosas inversas durante la eliminación gaussiana, la regla de Mason las reúne naturalmente en una única cuasi-inversa . La forma general es

${\displaystyle {\frac {p}{1-q}},}$

Donde, como se describió anteriormente, es una suma de productos de ciclos, cada uno de los cuales típicamente cae en un ideal (por ejemplo, los operadores estrictamente causales). Las fracciones de esta forma forman un subanillo del cuerpo de funciones racionales . Esta observación se traslada al caso no conmutativo, ^[3] aunque la propia regla de Mason debe entonces ser reemplazada por la regla de Riegle . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle R(1+\langle L_{i}\rangle )^{-1}}$

• Gráfico de flujo de señales
• Regla de Riegle

• Bolton, W. Newnes (1998). Manual de ingeniería de control . Oxford: Newnes.
• Van Valkenburg, ME (1974). Análisis de redes (3.ª ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.