Masa

El kilogramo se definió por primera vez en 1795 como la masa de un decímetro cúbico de agua en el punto de fusión del hielo. Sin embargo, debido a la dificultad de medir con precisión un decímetro cúbico de agua a la temperatura y presión especificadas , en 1889 el kilogramo se redefinió como la masa de un objeto metálico, y así se independizó del metro y de las propiedades del agua. Esto se reflejó en el prototipo de cobre de la tumba en 1793, el Kilogramme des Archives de platino en 1799 y el Prototipo Internacional del Kilogramo (IPK) de platino-iridio en 1889.

Sin embargo, se ha observado que la masa del IPK y sus copias nacionales varían con el tiempo. La redefinición del kilogramo y de otras unidades entró en vigor el 20 de mayo de 2019, tras una votación final de la CGPM en noviembre de 2018. ^{[ 11 ]} La nueva definición utiliza únicamente cantidades invariantes de la naturaleza: la velocidad de la luz , la frecuencia hiperfina del cesio , la constante de Planck y la carga elemental . ^{[ 12 ]}

En el uso cotidiano, masa y peso se utilizan a menudo indistintamente. Por ejemplo, el peso de una persona puede expresarse como 75  kg. En un campo gravitatorio constante, el peso de un objeto es proporcional a su masa, y no hay problema en usar la misma unidad para ambos conceptos. Sin embargo, debido a las ligeras diferencias en la intensidad del campo gravitatorio terrestre en distintos lugares, la distinción cobra importancia para mediciones con una precisión superior a unos pocos por ciento, y para lugares alejados de la superficie terrestre, como en el espacio o en otros planetas. Conceptualmente, la masa (medida en kilogramos ) se refiere a una propiedad intrínseca de un objeto, mientras que el peso (medido en newtons ) mide la resistencia de un objeto a desviarse de su trayectoria actual de caída libre , la cual puede verse influenciada por el campo gravitatorio cercano. Independientemente de la intensidad del campo gravitatorio, los objetos en caída libre carecen de peso , aunque conservan su masa. ^{[ 14 ]}

La fuerza conocida como "peso" es proporcional a la masa y la aceleración en todas las situaciones donde la masa se acelera alejándose de la caída libre. Por ejemplo, cuando un cuerpo está en reposo en un campo gravitatorio (en lugar de en caída libre), debe ser acelerado por una fuerza ejercida por una báscula o la superficie de un cuerpo planetario como la Tierra o la Luna . Esta fuerza impide que el objeto caiga en caída libre. El peso es la fuerza opuesta en tales circunstancias y, por lo tanto, está determinado por la aceleración de la caída libre. En la superficie de la Tierra, por ejemplo, un objeto con una masa de 50  kilogramos pesa 491 newtons, lo que significa que se aplican 491 newtons para evitar que el objeto caiga en caída libre. En cambio, en la superficie de la Luna, el mismo objeto sigue teniendo una masa de 50  kilogramos, pero pesa solo 81,5  newtons, porque solo se requieren 81,5 newtons para evitar que este objeto caiga en caída libre en la Luna. En términos matemáticos, en la superficie de la Tierra, el peso W de un objeto está relacionado con su masa m mediante W = mg , donde g =9,80665  m/s² ^es la aceleración debida al campo gravitatorio de la Tierra (expresada como la aceleración experimentada por un objeto en caída libre).

En otras situaciones, como cuando los objetos están sometidos a aceleraciones mecánicas debidas a fuerzas distintas de la resistencia de una superficie planetaria, la fuerza de peso es proporcional a la masa del objeto multiplicada por la aceleración total que se aleja de la caída libre, denominada aceleración propia . Mediante estos mecanismos, los objetos en ascensores, vehículos, centrifugadoras y similares pueden experimentar fuerzas de peso muchas veces superiores a las causadas por la resistencia a los efectos de la gravedad sobre los objetos, resultantes de las superficies planetarias. En estos casos, la ecuación generalizada para el peso W de un objeto se relaciona con su masa m mediante la ecuación W = – ma , donde a es la aceleración propia del objeto debida a todas las influencias distintas de la gravedad. (De nuevo, si la gravedad es la única influencia, como ocurre cuando un objeto cae libremente, su peso será cero).

Aunque la masa inercial, la masa gravitacional pasiva y la masa gravitacional activa son conceptualmente distintas, ningún experimento ha demostrado de forma inequívoca ninguna diferencia entre ellas. En mecánica clásica , la tercera ley de Newton implica que la masa gravitacional activa y la pasiva deben ser siempre idénticas (o al menos proporcionales), pero la teoría clásica no ofrece ninguna razón convincente por la que la masa gravitacional deba ser igual a la masa inercial. Que lo sea es un hecho empírico establecido con una precisión de una parte en un billón. ^{[ 13 ] : 16}

Albert Einstein desarrolló su teoría general de la relatividad partiendo de la premisa de que las masas inercial y gravitacional pasiva son iguales. Esto se conoce como el principio de equivalencia .

La equivalencia particular a la que a menudo se hace referencia como el "principio de equivalencia galileana" o el " principio de equivalencia débil " tiene la consecuencia más importante para los objetos en caída libre. Supongamos que un objeto tiene masas inercial y gravitatoria m y M , respectivamente. Si la única fuerza que actúa sobre el objeto proviene de un campo gravitatorio g , la fuerza sobre el objeto es:

${\displaystyle F=Mg.}$

Dada esta fuerza, la aceleración del objeto puede determinarse mediante la segunda ley de Newton:

${\displaystyle F=ma.}$

Al combinar estos elementos, la aceleración gravitacional viene dada por:

${\displaystyle a={\frac {M}{m}}g.}$

Esto significa que la relación entre la masa gravitacional y la masa inercial de cualquier objeto es igual a una constante K si y solo si todos los objetos caen a la misma velocidad en un campo gravitatorio dado. Este fenómeno se conoce como la «universalidad de la caída libre». Además, la constante K puede considerarse igual a 1 si definimos las unidades adecuadamente.

Los primeros experimentos que demostraron la universalidad de la caída libre fueron —según el «folclore» científico— realizados por Galileo , quien dejó caer objetos desde la Torre Inclinada de Pisa . Esto es muy probablemente apócrifo: es más probable que haya realizado sus experimentos con bolas rodando por planos inclinados casi sin fricción para ralentizar el movimiento y aumentar la precisión de la medición del tiempo. Se han realizado experimentos cada vez más precisos, como los realizados por Loránd Eötvös [ ^{15 ] utilizando} el péndulo de torsión en 1889. A partir de 2008Nunca se ha encontrado ninguna desviación de la universalidad, y por lo tanto de la equivalencia galileana, al menos con una precisión de 10⁻⁶ ^. Se siguen realizando esfuerzos experimentales más precisos. ^{[ 16 ]}

La universalidad de la caída libre solo se aplica a sistemas en los que la gravedad es la única fuerza que actúa. Todas las demás fuerzas, especialmente la fricción y la resistencia del aire , deben estar ausentes o ser al menos despreciables. Por ejemplo, si se deja caer un martillo y una pluma desde la misma altura en la Tierra, la pluma tardará mucho más en llegar al suelo; la pluma no está realmente en caída libre porque la fuerza de resistencia del aire hacia arriba que actúa sobre ella es comparable a la fuerza de gravedad hacia abajo. Por otro lado, si el experimento se realiza en el vacío , donde no hay resistencia del aire, el martillo y la pluma deberían llegar al suelo exactamente al mismo tiempo (suponiendo que la aceleración de ambos objetos entre sí, y la del suelo hacia ambos objetos, por su parte, sea despreciable). Esto se puede hacer fácilmente en un laboratorio de secundaria dejando caer los objetos en tubos transparentes a los que se les ha extraído el aire con una bomba de vacío. Es aún más espectacular cuando se realiza en un entorno que tiene vacío natural, como hizo David Scott en la superficie de la Luna durante la misión Apolo 15 .

Una versión más rigurosa del principio de equivalencia, conocida como principio de equivalencia de Einstein o principio de equivalencia fuerte , constituye la base de la teoría general de la relatividad . El principio de equivalencia de Einstein establece que, en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, es imposible distinguir entre una aceleración uniforme y un campo gravitatorio uniforme. Por lo tanto, la teoría postula que la fuerza que actúa sobre un objeto masivo, causada por un campo gravitatorio, es resultado de la tendencia del objeto a moverse en línea recta (es decir, su inercia) y, en consecuencia, debería ser función de su masa inercial y de la intensidad del campo gravitatorio.

En física teórica , un mecanismo de generación de masa es una teoría que intenta explicar el origen de la masa a partir de las leyes más fundamentales de la física . Hasta la fecha, se han propuesto diversos modelos que defienden diferentes perspectivas sobre el origen de la masa. El problema se complica por el hecho de que la noción de masa está estrechamente relacionada con la interacción gravitatoria, pero una teoría de esta última aún no se ha conciliado con el modelo de física de partículas más popular actualmente , conocido como el Modelo Estándar .

El concepto de cantidad es muy antiguo y precede a la historia escrita . El concepto de "peso" incorporaría "cantidad" y adquiriría un doble significado que no se reconocía claramente como tal. ^{[ 17 ]}

Lo que hoy conocemos como masa se llamaba hasta la época de Newton «peso». ... Un orfebre creía que una onza de oro era una cantidad de oro. ... Pero los antiguos creían que una balanza de brazos también medía la «pesadez», que reconocían a través de sus sentidos musculares. ... Se creía que la masa y la fuerza descendente asociada eran lo mismo.

En alguna época temprana, los seres humanos se dieron cuenta de que el peso de una colección de objetos similares era directamente proporcional al número de objetos que la componían:

${\displaystyle W_{n}\propto n,}$

donde W es el peso de la colección de objetos similares y n es el número de objetos en la colección. La proporcionalidad, por definición, implica que dos valores tienen una razón constante :

${\displaystyle {\frac {W_{n}}{n}}={\frac {W_{m}}{m}}}$o equivalentemente${\displaystyle {\frac {W_{n}}{W_{m}}}={\frac {n}{m}}.}$

Un ejemplo temprano de esta relación es la balanza , que equilibra la fuerza del peso de un objeto con la del peso de otro. Los dos lados de la balanza están lo suficientemente cerca como para que los objetos experimenten campos gravitatorios similares. Por lo tanto, si tienen masas similares, sus pesos también serán similares. Esto permite que la balanza, al comparar pesos, también compare masas.

En consecuencia, los estándares de peso históricos a menudo se definían en términos de cantidades. Los romanos, por ejemplo, utilizaban la semilla de algarrobo ( carat o siliqua ) como unidad de medida. Si el peso de un objeto equivalía a 1728 semillas de algarrobo , se decía que pesaba una libra romana. Si, por otro lado, el peso del objeto equivalía a 144 semillas de algarrobo , se decía que pesaba una onza romana (uncia). Tanto la libra como la onza romanas se definían en términos de diferentes cantidades de la misma unidad de medida común: la semilla de algarrobo. La proporción entre una onza romana (144 semillas de algarrobo) y una libra romana (1728 semillas de algarrobo) era:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {onza} }{\mathrm {libra} }}={\frac {W_{144}}{W_{1728}}}={\frac {144}{1728}}={\frac {1}{12}}.}$

En el año 1600 d. C., Johannes Kepler buscó empleo con Tycho Brahe , quien poseía algunos de los datos astronómicos más precisos disponibles. Utilizando las precisas observaciones de Brahe sobre Marte, Kepler dedicó los siguientes cinco años a desarrollar su propio método para caracterizar el movimiento planetario. En 1609, publicó sus tres leyes del movimiento planetario, explicando cómo los planetas orbitan alrededor del Sol. En su modelo planetario final, Kepler describió las órbitas planetarias como trayectorias elípticas con el Sol en el foco de la elipse . Kepler descubrió que el cuadrado del período orbital de cada planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita, o, lo que es lo mismo, que la relación entre estos dos valores es constante para todos los planetas del Sistema Solar . ^{[ nota 2 ]}

El 25 de agosto de 1609, Galileo Galilei mostró su primer telescopio a un grupo de comerciantes venecianos, y a principios de enero de 1610, observó cuatro objetos tenues cerca de Júpiter, que confundió con estrellas. Sin embargo, tras unos días de observación, Galileo se dio cuenta de que estas "estrellas" en realidad orbitaban alrededor de Júpiter. Estos cuatro objetos (más tarde llamados lunas galileanas en honor a su descubridor) fueron los primeros cuerpos celestes observados orbitando algo distinto de la Tierra o el Sol. Galileo continuó observando estas lunas durante los siguientes dieciocho meses, y a mediados de 1611, había obtenido estimaciones extraordinariamente precisas de sus períodos.

En algún momento antes de 1638, Galileo centró su atención en el fenómeno de los objetos en caída libre, intentando caracterizar estos movimientos. Galileo no fue el primero en investigar el campo gravitatorio terrestre, ni tampoco el primero en describir con precisión sus características fundamentales. Sin embargo, la confianza de Galileo en la experimentación científica para establecer principios físicos tendría un profundo efecto en las futuras generaciones de científicos. No está claro si se trataba de experimentos hipotéticos utilizados para ilustrar un concepto, o si fueron experimentos reales realizados por Galileo, ^{[ 18 ]} pero los resultados obtenidos fueron realistas y convincentes. Una biografía escrita por el discípulo de Galileo, Vincenzo Viviani, afirma que Galileo dejó caer bolas del mismo material, pero de diferente masa, desde la Torre Inclinada de Pisa para demostrar que su tiempo de descenso era independiente de su masa. ^{[ nota 3 ]} Para respaldar esta conclusión, Galileo planteó el siguiente argumento teórico: Se preguntó si, al atar dos cuerpos de masas y velocidades de caída diferentes mediante una cuerda, el sistema resultante caería más rápido por ser ahora más masivo, o si el cuerpo más ligero, al caer más lentamente, frenaría al más pesado. La única solución convincente a esta cuestión es que todos los cuerpos deben caer a la misma velocidad. ^{[ 19 ]}

Un experimento posterior se describió en Las dos nuevas ciencias de Galileo , publicado en 1638. Uno de los personajes ficticios de Galileo, Salviati, describe un experimento que utiliza una bola de bronce y una rampa de madera. La rampa de madera medía "12 codos de largo, medio codo de ancho y tres dedos de grosor", con una ranura recta, lisa y pulida . La ranura estaba revestida con " pergamino , también liso y pulido lo más posible". En esta ranura se colocó "una bola de bronce dura, lisa y muy redonda". La rampa se inclinó en varios ángulos para reducir la aceleración lo suficiente como para poder medir el tiempo transcurrido. Se dejó que la bola rodara una distancia conocida por la rampa y se midió el tiempo que tardó en recorrer esa distancia. El tiempo se midió utilizando un reloj de agua descrito de la siguiente manera:

Un gran recipiente de agua colocado en una posición elevada; en el fondo de este recipiente se soldó un tubo de pequeño diámetro que emitía un fino chorro de agua, el cual recogimos en un pequeño vaso durante el tiempo de cada descenso, ya fuera en toda la longitud del canal o en una parte de ella; el agua así recogida se pesó, después de cada descenso, en una balanza de gran precisión; las diferencias y proporciones de estos pesos nos dieron las diferencias y proporciones de los tiempos, y esto con tal precisión que, aunque la operación se repitió muchísimas veces, no hubo discrepancias apreciables en los resultados. ^{[ 20 ]}

Galileo descubrió que, para un objeto en caída libre, la distancia que ha caído es siempre proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido:

${\displaystyle {\text{Distancia}}\propto {{\text{Tiempo}}^{2}}}$

Galileo había demostrado que los objetos en caída libre bajo la influencia del campo gravitatorio terrestre tienen una aceleración constante, y su contemporáneo, Johannes Kepler, había demostrado que los planetas siguen trayectorias elípticas bajo la influencia de la masa gravitatoria del Sol. Sin embargo, los movimientos de caída libre descritos por Galileo y los movimientos planetarios de Kepler se mantuvieron distintos durante la vida de Galileo.

Según KM Browne: «Kepler formó un concepto [distinto] de masa ('cantidad de materia' ( copia materiae )), pero lo llamó 'peso', como todos en ese momento». ^{[ 17 ]} Finalmente, en 1686, Newton le dio a este concepto distinto su propio nombre. En el primer párrafo de Principia , Newton definió la cantidad de materia como «densidad y volumen conjuntamente», y la masa como cantidad de materia. ^{[ 21 ]}

La cantidad de materia es su medida, que surge de su densidad y volumen conjuntamente. ... Es a esta cantidad a la que me refiero de ahora en adelante con el nombre de cuerpo o masa. Y esta se conoce por el peso de cada cuerpo, pues es proporcional a él.

El experimento mental de la bala de cañón de Newton sirvió para salvar la brecha entre la aceleración gravitatoria de Galileo y las órbitas elípticas de Kepler. Apareció en el libro de Newton de 1728, Tratado del sistema del mundo . Según el concepto de gravitación de Galileo, una piedra que se deja caer cae con aceleración constante hacia la Tierra. Sin embargo, Newton explica que cuando una piedra se lanza horizontalmente (es decir, de lado o perpendicular a la gravedad terrestre), sigue una trayectoria curva. «Pues una piedra proyectada, por la presión de su propio peso, se desvía de la trayectoria rectilínea que, por sí sola, debería haber seguido, describiendo una curva en el aire; y a través de esa trayectoria sinuosa, finalmente cae al suelo. Y cuanto mayor sea la velocidad con la que se proyecta, más lejos llega antes de caer a la Tierra». ^{[ 26 ] : 513} Newton razona además que si un objeto fuera "proyectado en dirección horizontal desde la cima de una montaña alta" con suficiente velocidad, "llegaría finalmente más allá de la circunferencia de la Tierra y regresaría a la montaña desde la que fue proyectado". ^{[ 28 ]}

A diferencia de teorías anteriores (por ejemplo, las esferas celestes ) que afirmaban que los cielos estaban hechos de un material completamente diferente, la teoría de la masa de Newton fue revolucionaria en parte porque introdujo la masa gravitacional universal : todo objeto tiene masa gravitacional y, por lo tanto, todo objeto genera un campo gravitacional. Newton supuso además que la intensidad del campo gravitacional de cada objeto disminuiría según el cuadrado de la distancia a ese objeto. Si una gran colección de objetos pequeños se uniera para formar un cuerpo esférico gigante como la Tierra o el Sol, Newton calculó que la colección crearía un campo gravitacional proporcional a la masa total del cuerpo, ^{[ 26 ] : 397} e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro del cuerpo. ^{[ 26 ] : 221 [ nota 4 ]}

Por ejemplo, según la teoría de la gravitación universal de Newton, cada semilla de algarrobo produce un campo gravitatorio. Por lo tanto, si se reuniera una inmensa cantidad de semillas de algarrobo y se formara una enorme esfera, el campo gravitatorio de la esfera sería proporcional al número de semillas que contiene. En consecuencia, teóricamente debería ser posible determinar la cantidad exacta de semillas de algarrobo necesarias para producir un campo gravitatorio similar al de la Tierra o el Sol. De hecho, mediante una simple conversión de unidades, resulta evidente que cualquier unidad de masa tradicional puede utilizarse teóricamente para medir la masa gravitatoria.

Medir la masa gravitacional en términos de unidades de masa tradicionales es sencillo en principio, pero extremadamente difícil en la práctica. Según la teoría de Newton, todos los objetos producen campos gravitacionales y, teóricamente, es posible reunir una inmensa cantidad de objetos pequeños y formar con ellos una enorme esfera gravitacional. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, los campos gravitacionales de los objetos pequeños son extremadamente débiles y difíciles de medir. Los libros de Newton sobre la gravitación universal se publicaron en la década de 1680, pero la primera medición exitosa de la masa de la Tierra en términos de unidades de masa tradicionales, el experimento de Cavendish , no se produjo hasta 1797, más de cien años después. Henry Cavendish descubrió que la densidad de la Tierra era 5,448 ± 0,033 veces la del agua. A fecha de 2025, la masa de la Tierra solo se conoce con una precisión de unas cinco cifras significativas, mientras que GM₅ , el producto de la masa de la Tierra y la constante gravitacional universal, se conoce con una precisión de más de nueve cifras significativas.

Dados dos objetos A y B, de masas M _A y M _B , separados por un desplazamiento R _AB , la ley de gravitación de Newton establece que cada objeto ejerce una fuerza gravitatoria sobre el otro, de magnitud

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{AB}}=-GM_{\text{A}}M_{\text{B}}{\frac {{\hat {\mathbf {R} }}_{\text{AB}}}{|\mathbf {R} _{\text{AB}}|^{2}}}\ }$,

donde G es la constante gravitacional universal . La afirmación anterior puede reformularse de la siguiente manera: si g es la magnitud en una ubicación dada en un campo gravitacional, entonces la fuerza gravitacional sobre un objeto con masa gravitacional M es

${\displaystyle F=Mg}$.

Este es el principio fundamental para determinar las masas mediante pesaje . En las balanzas de resorte simples , por ejemplo, la fuerza F es proporcional al desplazamiento del resorte bajo el plato de pesaje, según la ley de Hooke , y la balanza se calibra para tener en cuenta la gravedad (g) , lo que permite leer la masa M. Suponiendo que el campo gravitatorio sea equivalente a ambos lados de la balanza, esta mide el peso relativo, lo que proporciona la masa gravitatoria relativa de cada objeto.

Tradicionalmente se creía que la masa era una medida de la cantidad de materia en un cuerpo físico, equivalente a la "cantidad de materia" en un objeto. Por ejemplo, Barré de Saint-Venant argumentó en 1851 que todo objeto contiene una serie de "puntos" (básicamente, partículas elementales intercambiables) y que la masa es proporcional a la cantidad de puntos que contiene el objeto. ^{[ 29 ]} (En la práctica, esta definición de "cantidad de materia" es adecuada para la mayor parte de la mecánica clásica y, a veces, se sigue utilizando en la educación básica, si la prioridad es enseñar la diferencia entre masa y peso). ^{[ 30 ]} Esta creencia tradicional de "cantidad de materia" fue contradicha por el hecho de que diferentes átomos (y, posteriormente, diferentes partículas elementales) pueden tener diferentes masas, y fue contradicha aún más por la teoría de la relatividad de Einstein (1905), que demostró que la masa medible de un objeto aumenta cuando se le añade energía (por ejemplo, aumentando su temperatura o forzándolo cerca de un objeto que lo repele eléctricamente). Esto motiva la búsqueda de una definición diferente de masa que sea más precisa que la definición tradicional de "la cantidad de materia en un objeto". ^{[ 31 ]}

La masa inercial es la masa de un objeto medida por su resistencia a la aceleración. Esta definición fue defendida por Ernst Mach ^{[ 32 ] [ 33 ]} y posteriormente desarrollada en la noción de operacionalismo por Percy W. Bridgman . ^{[ 34 ] [ 35 ]} La definición simple de masa en la mecánica clásica difiere ligeramente de la definición en la teoría de la relatividad especial , pero el significado esencial es el mismo.

En mecánica clásica, según la segunda ley de Newton , decimos que un cuerpo tiene una masa m si, en cualquier instante de tiempo, obedece la ecuación de movimiento.

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

donde F es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y a es la aceleración del centro de masa del cuerpo. ^{[ nota 5 ]} Por el momento, dejaremos de lado la cuestión de qué significa realmente "fuerza que actúa sobre el cuerpo".

Esta ecuación ilustra la relación entre la masa y la inercia de un cuerpo. Consideremos dos objetos con masas diferentes. Si aplicamos una fuerza idéntica a cada uno, el objeto con mayor masa experimentará una aceleración menor, y el objeto con menor masa experimentará una aceleración mayor. Podríamos decir que la mayor masa ejerce una mayor "resistencia" al cambio de su estado de movimiento en respuesta a la fuerza.

Sin embargo, esta noción de aplicar fuerzas "idénticas" a diferentes objetos nos lleva de nuevo al hecho de que realmente no hemos definido qué es una fuerza. Podemos sortear esta dificultad con la ayuda de la tercera ley de Newton , que establece que si un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, experimentará una fuerza igual y opuesta. Para ser precisos, supongamos que tenemos dos objetos de masas inerciales constantes m₁ y _{m₂ .} Aislamos los dos objetos de todas las demás influencias físicas, de modo que las únicas fuerzas presentes son la fuerza ejercida sobre _m₁ por _m₂ , que denotamos F₁₂ , y la fuerza ejercida sobre m₂ por _m₁ , que denotamos F₂₁ _{. La segunda ley} de Newton establece _que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F_{12}} &=m_{1}\mathbf {a} _{1},\\\mathbf {F_{21}} &=m_{2}\mathbf {a} _{2},\end{aligned}}}$

donde a ₁ y a ₂ son las aceleraciones de m ₁ y m ₂ , respectivamente. Supongamos que estas aceleraciones son distintas de cero, de modo que las fuerzas entre los dos objetos son distintas de cero. Esto ocurre, por ejemplo, si los dos objetos están en proceso de colisionar entre sí. La tercera ley de Newton establece entonces que

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21};}$

y por lo tanto

${\displaystyle m_{1}=m_{2}{\frac {|\mathbf {a} _{2}|}{|\mathbf {a} _{1}|}}\!.}$

Si | a₁ _| es distinto de cero , la fracción está bien definida, lo que nos permite medir la masa inercial de m₁ _. En este caso, m₂ es nuestro objeto de referencia, y podemos definir su masa m como (por ejemplo) 1 kilogramo. Entonces podemos medir la masa de cualquier otro objeto del universo haciéndolo colisionar con el objeto _de referencia y midiendo las aceleraciones. 

Además, la masa relaciona el momento lineal p de un cuerpo con su velocidad lineal v :

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$,

y la energía cinética K del cuerpo en relación con su velocidad:

${\displaystyle K={\dfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}}$.

The primary difficulty with Mach's definition of mass is that it fails to take into account the potential energy (or binding energy) needed to bring two masses sufficiently close to one another to perform the measurement of mass.^[33] This is most vividly demonstrated by comparing the mass of the proton in the nucleus of deuterium, to the mass of the proton in free space (which is greater by about 0.239%—this is due to the binding energy of deuterium). Thus, for example, if the reference weight m₂ is taken to be the mass of the neutron in free space, and the relative accelerations for the proton and neutron in deuterium are computed, then the above formula over-estimates the mass m₁ (by 0.239%) for the proton in deuterium. At best, Mach's formula can only be used to obtain ratios of masses, that is, as m₁ / m₂ = |a₂| / |a₁|. An additional difficulty was pointed out by Henri Poincaré, which is that the measurement of instantaneous acceleration is impossible: unlike the measurement of time or distance, there is no way to measure acceleration with a single measurement; one must make multiple measurements (of position, time, etc.) and perform a computation to obtain the acceleration. Poincaré termed this to be an "insurmountable flaw" in the Mach definition of mass.^[36]

En algunos marcos de la relatividad especial , los físicos han utilizado diferentes definiciones del término. En estos marcos, se definen dos tipos de masa: masa en reposo (masa invariante) ^{[ nota 6 ]} y masa relativista (que aumenta con la velocidad). La masa en reposo es la masa newtoniana medida por un observador que se mueve junto con el objeto. ^La masa relativista es la cantidad total de energía en un cuerpo o sistema dividida por c² . Ambas se relacionan mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle m_{\mathrm {relativo} }=\gamma (m_{\mathrm {resto} })\!}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es el factor de Lorentz :

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

La masa invariante de los sistemas es la misma para los observadores en todos los sistemas de referencia inerciales, mientras que la masa relativista depende del sistema de referencia del observador . Para formular las ecuaciones de la física de manera que los valores de masa no cambien entre observadores, es conveniente utilizar la masa en reposo. La masa en reposo de un cuerpo también está relacionada con su energía E y la magnitud de su momento p mediante la ecuación relativista de energía-momento :

${\displaystyle (m_{\mathrm {rest} })c^{2}={\sqrt {E_{\mathrm {total} }^{2}-(|\mathbf {p} |c)^{2}}}.\!}$

Mientras el sistema sea cerrado con respecto a la masa y la energía, ambos tipos de masa se conservan en cualquier sistema de referencia dado. La conservación de la masa se mantiene incluso cuando algunos tipos de partículas se convierten en otros. Las partículas de materia (como los átomos) pueden convertirse en partículas no materiales (como los fotones de luz), pero esto no afecta la cantidad total de masa o energía. Aunque cosas como el calor no sean materia, todos los tipos de energía siguen exhibiendo masa. ^{[ nota 7 ] [ 37 ]} Por lo tanto, la masa y la energía no se transforman la una en la otra en la relatividad; más bien, ambas son nombres para la misma cosa, y ni la masa ni la energía aparecen sin la otra.

^{Tanto la} masa en reposo como la masa relativista pueden expresarse como una energía aplicando la conocida relación E  = mc² , obteniendo respectivamente la energía en reposo y la "energía relativista" (energía total del sistema):

${\displaystyle E_{\mathrm {rest} }=(m_{\mathrm {rest} })c^{2}\!}$

${\displaystyle E_{\mathrm {total} }=(m_{\mathrm {relative} })c^{2}\!}$

Los conceptos de masa y energía "relativistas" están relacionados con sus contrapartes en "reposo", pero no tienen el mismo valor que estas en sistemas donde existe un momento neto. Debido a que la masa relativista es proporcional a la energía , ha caído gradualmente en desuso entre los físicos. ^{[ 38 ]} Existe desacuerdo sobre si el concepto sigue siendo útil pedagógicamente . ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

En los sistemas ligados, la energía de enlace a menudo debe restarse de la masa del sistema no ligado, ya que la energía de enlace suele abandonar el sistema al unirse. La masa del sistema cambia en este proceso simplemente porque el sistema no estaba cerrado durante la unión, por lo que la energía se perdió. Por ejemplo, la energía de enlace de los núcleos atómicos se suele perder en forma de rayos gamma durante su formación, dando lugar a nucleidos con menor masa que las partículas libres ( nucleones ) que los componen.

La equivalencia masa-energía también se cumple en sistemas macroscópicos. ^{[ 42 ]} Por ejemplo, si se toma exactamente un kilogramo de hielo y se le aplica calor, la masa del agua derretida resultante será mayor que un kilogramo: incluirá la masa de la energía térmica ( calor latente ) utilizada para derretir el hielo; esto se deduce de la conservación de la energía . ^{[ 43 ]} Este número es pequeño pero no despreciable: aproximadamente 3,7 nanogramos. Se obtiene dividiendo el calor latente de fusión del hielo (334 kJ/kg) entre la velocidad de la luz al cuadrado ( c ² ≈9 × 10 ¹⁶  m ² /s ² ).

En la relatividad general , el principio de equivalencia establece la equivalencia entre la masa gravitatoria y la masa inercial . En el centro de esta afirmación se encuentra la idea de Albert Einstein de que la fuerza gravitatoria experimentada localmente al estar de pie sobre un cuerpo masivo (como la Tierra) es la misma que la pseudofuerza experimentada por un observador en un sistema de referencia no inercial (es decir, acelerado).

Sin embargo, resulta imposible encontrar una definición general objetiva para el concepto de masa invariante en la relatividad general. El núcleo del problema reside en la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein , lo que imposibilita escribir la energía del campo gravitatorio como parte del tensor energía-impulso de forma invariante para todos los observadores. Para un observador dado, esto se puede lograr mediante el pseudotensor energía-impulso . ^{[ 44 ]}

Un campo taquiónico , o simplemente taquión , es un campo cuántico con una masa imaginaria . ^{[ 45 ]} Aunque los taquiones ( partículas que se mueven más rápido que la luz ) son un concepto puramente hipotético que generalmente no se cree que exista, ^{[ 45 ] [ 46 ]} los campos con masa imaginaria han llegado a desempeñar un papel importante en la física moderna ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]} y se discuten en libros populares de física. ^{[ 45 ] [ 50 ]} Bajo ninguna circunstancia ninguna excitación se propaga más rápido que la luz en tales teorías: la presencia o ausencia de una masa taquiónica no tiene ningún efecto en absoluto sobre la velocidad máxima de las señales (no hay violación de la causalidad ). ^{[ 51 ]} Si bien el campo puede tener masa imaginaria, ninguna partícula física la tiene; La "masa imaginaria" muestra que el sistema se vuelve inestable y se deshace de la inestabilidad al experimentar un tipo de transición de fase llamada condensación de taquiones (estrechamente relacionada con las transiciones de fase de segundo orden) que da como resultado una ruptura de simetría en los modelos actuales de física de partículas .

El término « taquión » fue acuñado por Gerald Feinberg en un artículo de 1967, ^{[ 52 ]} pero pronto se comprendió que el modelo de Feinberg, de hecho, no permitía velocidades superlumínicas . ^{[ 51 ]} En cambio, la masa imaginaria crea una inestabilidad en la configuración: cualquier configuración en la que una o más excitaciones de campo sean taquiónicas decaerá espontáneamente, y la configuración resultante no contiene taquiones físicos. Este proceso se conoce como condensación de taquiones. Ejemplos bien conocidos incluyen la condensación del bosón de Higgs en física de partículas y el ferromagnetismo en física de la materia condensada .

Aunque la noción de una masa imaginaria taquiónica pueda parecer problemática debido a la falta de una interpretación clásica de una masa imaginaria, esta no está cuantizada. En cambio, el campo escalar sí lo está; incluso para campos cuánticos taquiónicos , los operadores de campo en puntos separados espacialmente siguen conmutando (o anticonmutando) , preservando así la causalidad. Por lo tanto, la información no se propaga más rápido que la luz ^{[ 52 ]} y las soluciones crecen exponencialmente, pero no superlumínicamente (no hay violación de la causalidad ). La condensación de taquiones impulsa un sistema físico que ha alcanzado un límite local y del que ingenuamente se esperaría que produjera taquiones físicos, hacia un estado estable alternativo donde no existen taquiones físicos. Una vez que el campo taquiónico alcanza el mínimo del potencial, sus cuantos ya no son taquiones, sino partículas ordinarias con una masa al cuadrado positiva ^{[ 53 ] .}

Este es un caso especial de la regla general, donde las partículas masivas inestables se describen formalmente como poseedoras de una masa compleja , con la parte real siendo su masa en el sentido usual, y la parte imaginaria siendo la tasa de desintegración en unidades naturales . ^{[ 53 ]} Sin embargo, en la teoría cuántica de campos , una partícula (un "estado de una partícula") se define aproximadamente como un estado que es constante en el tiempo; es decir, un autovalor del hamiltoniano . Una partícula inestable es un estado que es solo aproximadamente constante en el tiempo; si existe el tiempo suficiente para ser medida, puede describirse formalmente como poseedora de una masa compleja, con la parte real de la masa mayor que su parte imaginaria. Si ambas partes son de la misma magnitud, esto se interpreta como una resonancia que aparece en un proceso de dispersión en lugar de una partícula, ya que se considera que no existe el tiempo suficiente para ser medida independientemente del proceso de dispersión. En el caso de un taquión, la parte real de la masa es cero, y por lo tanto no se le puede atribuir ningún concepto de partícula.

En una teoría invariante de Lorentz , las mismas fórmulas que se aplican a las partículas ordinarias más lentas que la luz (a veces llamadas " bradiones " en discusiones sobre taquiones) también deben aplicarse a los taquiones. En particular, la relación energía-momento :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\;}$

(donde p es el momento relativista del bradión y m es su masa en reposo ) debería seguir aplicándose, junto con la fórmula para la energía total de una partícula:

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Esta ecuación muestra que la energía total de una partícula (bradión o taquión) contiene una contribución de su masa en reposo (la "masa en reposo-energía") y una contribución de su movimiento, la energía cinética. Cuando v es mayor que c , el denominador en la ecuación de la energía es "imaginario" , ya que el valor bajo la raíz cuadrada es negativo. Dado que la energía total debe ser real , el numerador también debe ser imaginario: es decir, la masa en reposo m debe ser imaginaria, ya que un número puramente imaginario dividido por otro número puramente imaginario es un número real.