flujo de inyección masiva

El flujo de inyección de masa ( también conocido como flujo de Limbach) se refiere a un flujo adiabático e inviscido a través de un conducto de área constante donde se considera el efecto de la adición de masa. Para este modelo, el área del conducto permanece constante, se supone que el flujo es estacionario y unidimensional , y se agrega masa dentro del conducto. Debido a que el flujo es adiabático, a diferencia del flujo de Rayleigh , la temperatura de estancamiento es constante. ^{[ 1 ]} Los efectos de compresibilidad a menudo se tienen en cuenta, aunque este modelo de flujo también se aplica al flujo incompresible .

Para flujo supersónico ( número de Mach aguas arriba mayor que 1), la deceleración ocurre al añadir masa al conducto y el flujo puede estrangularse . Por el contrario, para flujo subsónico (número de Mach aguas arriba menor que 1), la aceleración ocurre y el flujo puede estrangularse si se añade suficiente masa. Por lo tanto, la adición de masa hará que tanto el número de Mach supersónico como el subsónico se aproximen a Mach 1, lo que resultará en un flujo estrangulado.

Teoría

El modelo de flujo de inyección de masa 1D comienza con una relación masa-velocidad derivada para la inyección de masa en un flujo estacionario, adiabático, sin fricción y de área constante de gas calóricamente perfecto :

$\ {\frac {dm}{m}}=-{\frac {du}{u}}\left(M^{2}-1\right)$

dónde $m$ representa un flujo de masa , $m={\dot {m}}/A$ . Esta expresión describe cómo cambiará la velocidad con un cambio en el flujo de masa (es decir, cómo un cambio en el flujo de masa $dm$ provoca un cambio en la velocidad $du$ De esta relación se desprenden dos modos de comportamiento distintos:

Cuando el flujo es subsónico ( $M<1$ ) la cantidad $[M^{2}-1]$ es negativo, por lo que el lado derecho de la ecuación se vuelve positivo. Esto indica que un mayor flujo de masa aumentará la velocidad del flujo subsónico hacia Mach 1.
Cuando el flujo es supersónico ( $M>1$ ) la cantidad $[M^{2}-1]$ es positivo, por lo que el lado derecho de la ecuación se vuelve negativo. Esto indica que un aumento en el flujo de masa disminuirá la velocidad del flujo supersónico hacia Mach 1.

A partir de la relación masa-velocidad, se puede derivar una relación explícita masa-Mach:

${\frac {dm}{m}}={\frac {1-M^{2}}{M+{\frac {1}{2}}M^{3}(\gamma -1)}}dM$

Derivaciones

Aunque el flujo de Fanno y el flujo de Rayleigh se tratan en detalle en muchos libros de texto, el flujo de inyección de masa no. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Por esta razón, aquí se presentan derivaciones de las propiedades fundamentales del flujo de masa. En las siguientes derivaciones, la constante $R$ se utiliza para denotar la constante de gas específica (es decir, $R={\bar {R}}/M$ ).

Relación masa-velocidad

Comenzamos estableciendo una relación entre la entalpía diferencial, la presión y la densidad de un gas calóricamente perfecto:

A partir de la ecuación de energía adiabática ( $dh_{0}=0$ ) ^{[ 1 ]} encontramos:

Sustituyendo la relación entalpía-presión-densidad ( 1 ) en la relación de energía adiabática ( 2 ) se obtiene

A continuación, encontramos una relación entre la densidad diferencial y el flujo de masa ( $m={\dot {m}}/A$ ), y velocidad:

Sustituyendo la relación densidad-masa-velocidad ( 4 ) en la relación de energía modificada ( 3 ) se obtiene

Sustituyendo la ecuación de conservación del momento de flujo estacionario unidimensional (véanse también las ecuaciones de Euler ) de la forma $dp=-\rho udu$ ^{[ 5 ]} en (5) produce

De la ley de los gases ideales encontramos:

y de la definición de un gas calóricamente perfecto ^{[ 1 ]} encontramos,

Sustituyendo las expresiones ( 7 ) y ( 8 ) en la ecuación combinada ( 6 ) se obtiene

Utilizando la velocidad del sonido en un gas ideal ( $a^{2}=\gamma RT$ ) ^{[ 1 ]} y la definición del número de Mach ( $M=u/a$ ) ^{[ 1 ]} produce

Relación masa-velocidad

${\frac {dm}{m}}=-{\frac {du}{u}}[M^{2}-1]$

Esta es la relación masa-velocidad para la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de un gas calóricamente perfecto.

Relación masa-máquina

Para encontrar una relación entre la masa diferencial y el número de Mach, encontraremos una expresión para $du/u$ únicamente en términos del número de Mach, $M$ Luego podemos sustituir esta expresión en la relación masa-velocidad para obtener una relación masa-Mach. Comenzamos relacionando la velocidad diferencial, el número de Mach y la velocidad del sonido:

Ahora podemos volver a expresarlo $da$ en términos de $dT$ :

Sustituyendo ( 12 ) en ( 11 ) se obtiene:

Ahora podemos volver a expresarlo $dT$ en términos de $du$ :

Al sustituir ( 14 ) en ( 13 ), podemos crear una expresión completamente en términos de $du$ y $dM$ . Realizando esta sustitución y resolviendo para $du/u$ rendimientos,

Finalmente, la expresión ( 15 ) para $du/u$ en términos de $dM$ puede sustituirse directamente en la relación masa-velocidad ( 10 ):

Relación masa-máquina

${\frac {dm}{m}}={\frac {1-M^{2}}{M+{\frac {1}{2}}M^{3}(\gamma -1)}}dM$

Esta es la relación masa-Mach para la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de un gas calóricamente perfecto.

Véase también

Referencias

1 2 3 4 5 6 Anderson, John David (2002). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0072424435.
↑ Shapiro, AH, La dinámica y la termodinámica del flujo de fluidos compresibles, Volumen 1 , Ronald Press, 1953.
↑ Zucker, RD, Biblarz, O., Fundamentos de la dinámica de gases , John Wiley & Sons, 2002.
↑ Hodge, BK y Koenig, K., Dinámica de fluidos compresibles con aplicaciones para ordenadores personales , Prentice Hall, 1995.
↑ "Conservación del momento, 1 dimensión, flujo estacionario" . Centro de Investigación Glenn de la NASA.

[anderson-1] 1 2 3 4 5 6 Anderson, John David (2002). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0072424435.

[2] Shapiro, AH, La dinámica y la termodinámica del flujo de fluidos compresibles, Volumen 1 , Ronald Press, 1953.

[3] Zucker, RD, Biblarz, O., Fundamentos de la dinámica de gases , John Wiley & Sons, 2002.

[4] Hodge, BK y Koenig, K., Dinámica de fluidos compresibles con aplicaciones para ordenadores personales , Prentice Hall, 1995.

[5] "Conservación del momento, 1 dimensión, flujo estacionario" . Centro de Investigación Glenn de la NASA.

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