Función de estabilidad maestra

En matemáticas, la función de estabilidad maestra es una herramienta que se utiliza para analizar la estabilidad del estado síncrono en un sistema dinámico que consta de muchos sistemas idénticos que están acoplados entre sí, como el modelo de Kuramoto .

El escenario es el siguiente. Consideremos un sistema con${\displaystyle N}$osciladores idénticos. Sin el acoplamiento, evolucionan según la misma ecuación diferencial , por ejemplo${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f(x_{i})}$dónde${\displaystyle x_{i}}$denota el estado del oscilador${\displaystyle i}$Un estado síncrono del sistema de osciladores se da cuando todos los osciladores están en el mismo estado.

El acoplamiento se define por una fuerza de acoplamiento${\displaystyle \sigma }$, una matriz${\displaystyle A_{ij}}$que describe cómo se acoplan los osciladores entre sí, y una función${\displaystyle g}$del estado de un solo oscilador. Incluir el acoplamiento conduce a la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f(x_{i})+\sigma \sum _{j=1}^{N}A_{ij}g(x_{j}).}$

Se supone que las sumas de las filas${\displaystyle \sum _ {j}A_ {ij}}$desaparecen de modo que la variedad de estados síncronos sea neutralmente estable.

La función de estabilidad maestra se define ahora como la función que mapea el número complejo.${\displaystyle \gamma }$al mayor exponente de Lyapunov de la ecuación

${\displaystyle {\dot {y}}=(Df+\gamma Dg)y.}$

El estado síncrono del sistema de osciladores acoplados es estable si la función de estabilidad maestra es negativa en${\displaystyle \sigma \lambda _{k}}$dónde${\displaystyle \lambda _{k}}$abarca los valores propios de la matriz de acoplamiento${\displaystyle A}$.

• Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008), "Sincronización en redes complejas", Physics Reports , 469 (3): 93–153 , arXiv : 0805.2976 , Bibcode : 2008PhR...469...93A , doi : 10.1016/j.physrep.2008.09.002 , S2CID 14355929 .
• Pecora, Louis M.; Carroll, Thomas L. (1998), "Funciones de estabilidad maestra para sistemas acoplados sincronizados", Physical Review Letters , 80 (10): 2109– 2112, Bibcode : 1998PhRvL..80.2109P , doi : 10.1103/PhysRevLett.80.2109.