Función de covarianza de Matérn

En estadística , la covarianza de Matérn , también llamada núcleo de Matérn , ^{[ 1 ]} es una función de covarianza utilizada en estadística espacial , geoestadística , aprendizaje automático , análisis de imágenes y otras aplicaciones de análisis estadístico multivariante en espacios métricos . Recibe su nombre del estadístico forestal sueco Bertil Matérn . ^{[ 2 ]} Especifica la covarianza entre dos mediciones en función de la distancia.${\displaystyle d}$entre los puntos en los que se toman. Dado que la covarianza solo depende de las distancias entre puntos, es estacionaria . Si la distancia es la distancia euclidiana , la covarianza de Matérn también es isotrópica .

La covarianza de Matérn entre mediciones tomadas en dos puntos separados por d unidades de distancia viene dada por ^{[ 3 ].}

${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Grande )},}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma ,${\displaystyle K_{\nu }}$es la función de Bessel modificada de segundo tipo, y ρ y${\displaystyle \nu }$son parámetros positivos de la covarianza.

Un proceso gaussiano con covarianza de Matérn es${\displaystyle \lceil \nu \rceil -1}$veces diferenciable en el sentido de la media cuadrática. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El espectro de potencia de un proceso con covarianza de Matérn definida en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es la transformada de Fourier ( n -dimensional) de la función de covarianza de Matérn (véase el teorema de Wiener-Khinchin ). Explícitamente, esto viene dado por

${\displaystyle S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.}$^{[ 3 ]}

A partir de la relación básica que satisface la función Gamma${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ y la relación básica que satisface la función de Bessel modificada de la segunda

${\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(x)-I_{\nu }(x)}{\sin(\pi \nu )}}}$

y la definición de las funciones de Bessel modificadas de la primera ${\displaystyle I_{\nu }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\nu +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\nu },}$

el comportamiento para${\displaystyle d\rightarrow 0}$se puede obtener mediante la siguiente serie de Taylor (cuando ${\displaystyle \nu }$no es un número entero y es mayor que 2):

$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu }{2(1-\nu )}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2}+{\frac {\nu ^{2}}{8(2-3\nu +\nu ^{2})}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{4}+{\mathcal {O}}\left(d^{6\wedge (2\nu )}\right)\right),\,\,\nu >2.}$$^{[ 8 ]}

Cuando se definen, los siguientes momentos espectrales pueden derivarse de la serie de Taylor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{0}&=C_{\nu }(0)=\sigma ^{2},\\[8pt]\lambda _{2}&=-\left.{\frac {\partial ^{2}C_{\nu }(d)}{\partial d^{2}}}\right|_{d=0}={\frac {\sigma ^{2}\nu }{\rho ^{2}(\nu -1)}}.\end{aligned}}}$

En el caso de${\displaystyle \nu \in (0,1)\cup (1,2)}$Se pueden obtener series de Taylor similares :$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu }{2(1-\nu )}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2}-{\frac {\Gamma (1-\nu )}{\Gamma (1+\nu )}}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2\nu }+{\mathcal {O}}\left(d^{4\wedge (2\nu +2)}\right)\right),\,\,\nu \in (0,1)\cup (1,2).}$$ Cuando${\displaystyle \nu }$es un número entero, se deben tomar valores límite (ver ^{[ 8 ]} ).

• Función de base radial