Material condicional

El condicional material (también conocido como implicación material ) es una operación binaria comúnmente utilizada en lógica . Cuando el símbolo condicional${\displaystyle \to }$se interpreta como implicación material, una fórmula${\displaystyle P\to Q}$es cierto a menos que${\displaystyle P}$es cierto y${\displaystyle Q}$es falso.

La implicación material se utiliza en todos los sistemas básicos de la lógica clásica , así como en algunas lógicas no clásicas . Se asume como un modelo de razonamiento condicional correcto en matemáticas y sirve de base para comandos en muchos lenguajes de programación . Sin embargo, muchas lógicas reemplazan la implicación material con otros operadores, como el condicional estricto y el condicional variablemente estricto . Debido a las paradojas de la implicación material y los problemas relacionados, generalmente no se considera un análisis viable de las oraciones condicionales en lenguaje natural .

En lógica y campos relacionados, el condicional material se suele notar con un operador infijo.${\displaystyle \to }$( U+2192 → FLECHA HACIA LA DERECHA ). ^{[ 1 ]} El condicional material también se anota usando los infijos${\displaystyle \supset }$y${\displaystyle \Rightarrow }$( U+2283 ⊃ SUPERSET OF y U+21D2 ⇒ FLECHA DOBLE HACIA LA DERECHA respectivamente). ^{[ 2 ]} En la notación polaca con prefijo , los condicionales se notan como${\displaystyle Cpq}$En una fórmula condicional${\displaystyle p\to q}$, la subfórmula${\displaystyle p}$se denomina antecedente y${\displaystyle q}$se denomina consecuente de la condicional. Las proposiciones condicionales pueden estar anidadas de tal manera que el antecedente o el consecuente pueden ser a su vez proposiciones condicionales, como en la fórmula${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$.

En Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889), Peano expresó la proposición "Si${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle B}$" como${\displaystyle A}$Ɔ${\displaystyle B}$con el símbolo Ɔ, que es el opuesto de C. ^{[ 3 ]} También expresó la proposición${\displaystyle A\supset B}$como${\displaystyle A}$Ɔ${\displaystyle B}$. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Hilbert expresó la proposición "Si A , entonces B " como${\displaystyle A\to B}$en 1918. ^{[ 1 ]} Russell siguió a Peano en su Principia Mathematica (1910–1913), en la que expresó la proposición "Si A , entonces B " como${\displaystyle A\supset B}$Siguiendo a Russell, Gentzen expresó la proposición "Si A , entonces B " como${\displaystyle A\supset B}$Heyting expresó la proposición "Si A , entonces B " como${\displaystyle A\supset B}$al principio, pero luego llegó a expresarlo como${\displaystyle A\to B}$con una flecha que apunta hacia la derecha. Bourbaki expresó la proposición "Si A , entonces B " como ${\displaystyle A\Rightarrow B}$en 1954. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

La definición semántica mediante tablas de verdad no permite examinar formas proposicionales estructuralmente idénticas en diversos sistemas lógicos , donde se pueden demostrar propiedades diferentes. El lenguaje considerado aquí se restringe a fórmulas f-implicacionales .

Considere las siguientes reglas de deducción natural (candidatas) .

• Lógica mínima : Al limitar las reglas de deducción natural a la introducción de implicaciones (${\displaystyle \to }$I) y Eliminación de Implicaciones (${\displaystyle \to }$E), se obtiene (el fragmento implicacional de) ^{[ 10 ]} lógica mínima (tal como la define Johansson ). ^{[ 11 ]}

• Lógica intuicionista : Al agregar la eliminación de falsos (${\displaystyle \bot }$E) por regla general, se obtiene (el fragmento implicacional de) ^{[ 10 ]} lógica intuicionista.

La declaración${\displaystyle P\to \neg \neg P}$es válido (ya en lógica mínima), a diferencia de la implicación inversa que implicaría la ley del tercero excluido .

• Lógica clásica : Si se elimina la doble negación (${\displaystyle \neg \neg }$E) también está permitido, ^{[ 14 ]} el sistema define lógica clásica (¡completa!). ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 15 ]}

En la lógica clásica, la implicación material valida lo siguiente:

• Importación-exportación :${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• Condicionales negadas:${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• O si:${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• Conmutatividad de los antecedentes:${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• Distributividad izquierda :${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

De manera similar, en las interpretaciones clásicas de los demás conectores, la implicación material valida las siguientes consecuencias :

• Fortalecimiento del antecedente:${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• Transitividad :${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• Simplificación de antecedentes disyuntivos :${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

Las tautologías que implican implicaciones materiales incluyen:

• Reflexividad :${\displaystyle \models P\to P}$
• Totalidad :${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• Medio excluido condicional :${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

El condicional material es un conector oracional dentro de un lenguaje formal. No debe confundirse con la relación de consecuencia lógica (también llamada implicación lógica o deducción), que se trata habitualmente como una relación entre oraciones expresadas en un metalenguaje .

La relación entre el condicional material y la relación de consecuencia lógica viene dada por el teorema de deducción .

${\displaystyle \Gamma \cup \{A\}\vdash B\;}$si y solo si${\displaystyle \;\Gamma \vdash A\to B}$

Esto puede interpretarse como una afirmación de que el conjunto de oraciones${\displaystyle \Gamma }$junto con A implica lógicamente B si y solo si${\displaystyle \Gamma }$lógicamente implica la condición material${\displaystyle A\to B}$.

En el caso especial donde${\displaystyle \Gamma }$está vacío, esto se reduce a:

${\displaystyle A\vdash B\;}$si y solo si${\displaystyle \;\vdash A\to B}$

Esto afirma que A implica lógicamente B si y solo si la condición material${\displaystyle A\to B}$es un teorema de la lógica.

Muchos libros de texto reservan el término consecuencia lógica (o implicación lógica) para la relación de consecuencia semántica con el símbolo${\displaystyle \models }$. ^{[ 16 ] [ 17 ]} En cuyo caso la relación se convierte en

${\displaystyle A\models B\;}$si y solo si${\displaystyle \;\models A\to B}$

A implica lógicamente B si y solo si la condición material${\displaystyle A\to B}$es una tautología .

La implicación material no se ajusta del todo al uso de oraciones condicionales en el lenguaje natural . Por ejemplo, aunque las condicionales materiales con antecedentes falsos son vacuamente verdaderas , la afirmación en lenguaje natural "Si 8 es impar, entonces 3 es primo" se suele considerar falsa. Del mismo modo, cualquier condicional material con un consecuente verdadero es en sí mismo verdadero, pero los hablantes suelen rechazar oraciones como "Si tengo un centavo en el bolsillo, entonces París está en Francia". Estos problemas clásicos se han denominado las paradojas de la implicación material . ^{[ 18 ]} Además de las paradojas, se han presentado diversos argumentos en contra de un análisis de implicación material. Por ejemplo, según este enfoque, todas las condicionales contrafactuales serían vacuamente verdaderas, cuando en realidad algunas son falsas. ^{[ 19 ]}

A mediados del siglo XX, varios investigadores, entre ellos HP Grice y Frank Jackson, propusieron que los principios pragmáticos podrían explicar las discrepancias entre los condicionales del lenguaje natural y el condicional material. Según sus planteamientos, los condicionales denotan implicación material, pero terminan transmitiendo información adicional cuando interactúan con normas conversacionales como las máximas de Grice . ^{[ 18 ] [ 20 ]} Los trabajos recientes en semántica formal y filosofía del lenguaje generalmente han evitado la implicación material como análisis para los condicionales del lenguaje natural. ^{[ 20 ]} En particular, dichos trabajos a menudo han rechazado la suposición de que los condicionales del lenguaje natural son veritativamente funcionales en el sentido de que el valor de verdad de "Si P , entonces Q " está determinado únicamente por los valores de verdad de P y Q. ^{[ 18} ] Por lo tanto, los análisis semánticos de los condicionales suelen proponer interpretaciones alternativas basadas en fundamentos como la lógica modal , la lógica de relevancia , la teoría de la probabilidad ^y los modelos causales . ^{[ 20 ] [ 18 ] [ 21 ]}

Discrepancias similares han sido observadas por psicólogos que estudian el razonamiento condicional, por ejemplo, en el conocido estudio de la tarea de selección de Wason , donde menos del 10 % de los participantes razonaron de acuerdo con el condicional material. Algunos investigadores han interpretado este resultado como un fallo de los participantes en ajustarse a las leyes normativas del razonamiento, mientras que otros interpretan que los participantes razonaron normativamente de acuerdo con leyes no clásicas. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

• Ayala Rincón, Mauricio; de Moura, Flávio LC (2017). Lógica Aplicada para Informáticos . Temas de Pregrado en Ciencias de la Computación. Saltador. doi : 10.1007/978-3-319-51653-0 . ISBN 978-3-319-51651-6.

• Bourbaki, N. (1954). Teoría de los conjuntos . París: Hermann & Cie, Éditeurs. pag.  14.

• Edgington, Dorothy (2008). "Condicionales" . En Edward N. Zalta (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford (  edición de invierno de 2008).

• Enderton, Herbert B. (2001). Introducción matemática a la lógica (2.ª  ed.). Academic Press. ISBN 0-12-238452-0.

• Von Fintel, Kai (2011). "Condicionales" (PDF) . En von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (eds.). Semántica: un manual internacional de significado . de Gruyter Mouton. págs. 1515-1538 . doi : 10.1515/9783110255072.1515 . hdl : 1721.1/95781 . ISBN  978-3-11-018523-2.

• Franco, John; Goldsmith, Judy; Schlipf, John; Speckenmeyer, Ewald; Swaminathan, RP (1999). "Un algoritmo para la clase de fórmulas implicacionales puras" . Matemáticas Aplicadas Discretas . 96–97 : 89–106 . doi : 10.1016/S0166-218X(99)00038-4 .

• Gillies, Thony (2017). «Condicionales» (PDF) . En Hale, B.; Wright, C.; Miller, A. (eds.). A Companion to the Philosophy of Language . Wiley Blackwell. pp. 401–436 . doi : 10.1002/9781118972090.ch17 . ISBN  9781118972090.

• Van Heijenoort, Jean, ed. (1967). De Frege a Gödel: Un libro de referencia en lógica matemática, 1879–1931 . Harvard University Press. pp. 84–87 . ISBN  0-674-32449-8.

• Hilbert, D. (1918). Prinzipien der Mathematik (Apuntes de conferencias editados por Bernays, P.) .

• Johansson, Ingebrigt (1937). "Der Minimalkalkül, un reduzierter intuitionistischer Formalismus" . Compositio Mathematica (en alemán). 4 : 119-136 .

• Mendelson, Elliott (2015). Introducción a la lógica matemática (6.ª  ed.). Boca Raton: CRC Press/Taylor & Francis Group (Un libro de Chapman & Hall). pág.  2. ISBN 978-1-4822-3778-8.

• Nahas, Michael (25 de abril de 2022). "Traducción al inglés de 'Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita'" (PDF) . GitHub . Consultado el 10-08-2022 .

• Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "Un análisis racional de la tarea de selección como selección óptima de datos". Psychological Review . 101 (4): 608– 631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . doi : 10.1037/0033-295X.101.4.608 . S2CID 2912209 .  

• Prawitz, Dag (1965). Deducción natural: un estudio de teoría de la prueba . Acta Universitatis Stockholmiensis; Estudios de Filosofía de Estocolmo, 3. Estocolmo, Göteborg, Uppsala: Almqvist & Wiksell. OCLC 912927896 . 

• Starr, Willow (2019). "Contrafactuales" . En Zalta, Edward N. (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford .

• Stenning, K.; van Lambalgen, M. (2004). "Un poco de lógica da para mucho: basar el experimento en la teoría semántica en la ciencia cognitiva del razonamiento condicional". Cognitive Science . 28 (4): 481– 530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . doi : 10.1016/j.cogsci.2004.02.002 . 

• Von Sydow, M. (2006). Hacia una lógica bayesiana y deóntica flexible para la comprobación de reglas descriptivas y prescriptivas (tesis doctoral). Göttingen: Göttingen University Press. doi : 10.53846/goediss-161 . S2CID 246924881 . 

• Tennant, Neil (1990) [1978]. Lógica natural (1.ª ed., reimpresión con correcciones  ). Edinburgh University Press . ISBN 0852245793.

• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations , 1.ª edición, Kluwer Academic Publishers, Norwell , MA. 2.ª edición, Dover Publications , Mineola , NY, 2003.
• Edgington, Dorothy (2001), "Condicionales", en Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
• Quine, WV (1982), Métodos de lógica , (1.ª ed. 1950), (2.ª ed. 1959), (3.ª ed. 1972), 4.ª edición, Harvard University Press , Cambridge , MA.
• Stalnaker, Robert , "Condicionales Indicativos", Philosophia , 5 (1975): 269–286.

• Edgington, Dorothy. "Condicionales" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .