Teoría de la deformación finita

Consideremos una partícula o punto material.${\displaystyle P}$con vector de posición${\displaystyle \mathbf {X} =X_ {I}\mathbf {I} _{I}}$en la configuración no deformada (Figura 2). Después de un desplazamiento del cuerpo, la nueva posición de la partícula indicada por${\displaystyle p}$En la nueva configuración viene dada por la posición del vector.${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$Los sistemas de coordenadas para la configuración sin deformar y deformada se pueden superponer para mayor comodidad.

Consideremos ahora un punto material${\displaystyle Q}$vecino${\displaystyle P\,\!}$, con vector de posición${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$En la configuración deformada, esta partícula tiene una nueva posición.${\displaystyle q}$dado por el vector de posición${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$. Suponiendo que los segmentos de línea${\displaystyle \Delta X}$y${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$uniendo las partículas${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$En ambas configuraciones, no deformada y deformada, respectivamente, son muy pequeñas, entonces podemos expresarlas como${\displaystyle d\mathbf {X} }$y${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$. Por lo tanto, de la Figura 2 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} ),\\\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} ),\\{\text{and}}{\text{ therefore}}&\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}},}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {du} }$es el vector de desplazamiento relativo , que representa el desplazamiento relativo de${\displaystyle Q}$con respecto a${\displaystyle P}$en la configuración deformada.

Los cálculos que implican la deformación de un cuerpo en función del tiempo suelen requerir el cálculo de la derivada temporal del gradiente de deformación. Una definición geométricamente consistente de dicha derivada exige adentrarse en la geometría diferencial ^{[ 1 ]} , pero en este artículo evitamos esos aspectos.

La derivada temporal de${\displaystyle \mathbf {F} }$es $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {V} }$es la velocidad (material). La derivada del lado derecho representa un gradiente de velocidad material . Es común convertirlo en un gradiente espacial aplicando la regla de la cadena para derivadas, es decir, $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ dónde${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$es el gradiente de velocidad espacial y donde${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$es la velocidad espacial (euleriana) en${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$Si el gradiente de velocidad espacial es constante en el tiempo, la ecuación anterior se puede resolver exactamente para obtener $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ arrogante${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$en${\displaystyle t=0}$Existen varios métodos para calcular la exponencial anterior.

Las magnitudes relacionadas que se utilizan frecuentemente en mecánica de medios continuos son el tensor de velocidad de deformación y el tensor de giro , definidos respectivamente como: $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$ El tensor de velocidad de deformación indica la velocidad de estiramiento de los elementos de línea, mientras que el tensor de giro indica la velocidad de rotación o vorticidad del movimiento.

La derivada temporal material del inverso del gradiente de deformación (manteniendo fija la configuración de referencia) suele ser necesaria en análisis que implican deformaciones finitas. Esta derivada es $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ La relación anterior se puede verificar tomando la derivada material con respecto al tiempo de${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$y observando que${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$.

El gradiente de deformación${\displaystyle \mathbf {F} }$, como cualquier tensor invertible de segundo orden, puede descomponerse, utilizando el teorema de descomposición polar , en un producto de dos tensores de segundo orden (Truesdell y Noll, 1965): un tensor ortogonal y un tensor simétrico definido positivo, es decir,$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$donde el tensor${\displaystyle \mathbf {R} }$es un tensor ortogonal propio , es decir,${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$y${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$, que representa una rotación; el tensor${\displaystyle \mathbf {U} }$es el tensor de estiramiento correcto ; y${\displaystyle \mathbf {V} }$el tensor de estiramiento izquierdo . Los términos derecha e izquierda significan que están a la derecha y a la izquierda del tensor de rotación.${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$, respectivamente.${\displaystyle \mathbf {U} }$y${\displaystyle \mathbf {V} }$son ambos definidos positivos , es decir${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$y${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$para todos los valores distintos de cero${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$y tensores simétricos , es decir${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$y${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$, de segundo orden.

Esta descomposición implica que la deformación de un elemento de línea${\displaystyle d\mathbf {X} }$en la configuración no deformada sobre${\displaystyle d\mathbf {x} }$en la configuración deformada, es decir,${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$, se puede obtener estirando primero el elemento por${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$, es decir${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$seguido de una rotación${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$, es decir,${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {R} \,d\mathbf {x} '\,\!}$; o equivalentemente, aplicando una rotación rígida.${\displaystyle \mathbf {R} }$primero, es decir,${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$, seguido más tarde por un estiramiento${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$, es decir,${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {V} \,d\mathbf {x} '}$(Véase la figura 3).

Debido a la ortogonalidad de${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ de modo que${\displaystyle \mathbf {U} }$y${\displaystyle \mathbf {V} }$tienen los mismos autovalores o estiramientos principales , pero diferentes autovectores o direcciones principales.${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$y${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$, respectivamente. Las direcciones principales están relacionadas por $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

Esta descomposición polar, que es única como${\displaystyle \mathbf {F} }$es invertible con un determinante positivo, es un corolario de la descomposición en valores singulares .

Para transformar cantidades que se definen con respecto a áreas en una configuración deformada a aquellas relativas a áreas en una configuración de referencia, y viceversa, utilizamos la relación de Nanson , expresada como$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$dónde${\displaystyle da}$es un área de una región en la configuración deformada,${\displaystyle dA}$es la misma área en la configuración de referencia, y${\displaystyle \mathbf {n} }$es la normal exterior al elemento de área en la configuración actual, mientras que${\displaystyle \mathbf {N} }$es la normal exterior en la configuración de referencia,${\displaystyle \mathbf {F} }$es el gradiente de deformación y${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$.

La fórmula correspondiente para la transformación del elemento de volumen es$${\displaystyle dv=J~dV}$$

En 1839, George Green introdujo un tensor de deformación conocido como el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho o tensor de deformación de Green (la IUPAC recomienda que este tensor se denomine tensor de deformación de Cauchy ), ^{[ 3 ]} definido como:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

Físicamente, el tensor de Cauchy-Green nos da el cuadrado del cambio local en las distancias debido a la deformación, es decir${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

Invariantes de${\displaystyle \mathbf {C} }$se utilizan a menudo en las expresiones para las funciones de densidad de energía de deformación . Los invariantes más comúnmente utilizados son $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$es el determinante del gradiente de deformación${\displaystyle \mathbf {F} }$y${\displaystyle \lambda _{i}}$son relaciones de estiramiento para las fibras unitarias que están inicialmente orientadas a lo largo de las direcciones de los vectores propios del tensor de estiramiento derecho (de referencia) (estos generalmente no están alineados con los tres ejes de los sistemas de coordenadas).

La IUPAC recomienda ^{[ 3 ]} que el inverso del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho (llamado tensor de deformación de Cauchy en ese documento), es decir,${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$, se le puede llamar tensor de deformación de Finger . Sin embargo, esa nomenclatura no es universalmente aceptada en la mecánica aplicada .

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

Invirtiendo el orden de multiplicación en la fórmula para el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se obtiene el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo , que se define como: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se denomina a menudo tensor de deformación de Finger , en honor a Josef Finger (1894). ^{[ 4 ]}

La IUPAC recomienda que este tensor se denomine tensor de deformación de Green . ^{[ 3 ]}

Invariantes de${\displaystyle \mathbf {B} }$También se utilizan en las expresiones para las funciones de densidad de energía de deformación . Los invariantes convencionales se definen como $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$es el determinante del gradiente de deformación.

Para materiales compresibles, se utiliza un conjunto de invariantes ligeramente diferente: $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

A principios de 1828, ^{[ 5 ]} Augustin-Louis Cauchy introdujo un tensor de deformación definido como el inverso del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo,${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$Este tensor también ha sido denominado tensor de deformación de Piola por la IUPAC ^{[ 3 ]} y tensor de Finger ^{[ 6 ]} en la literatura de reología y dinámica de fluidos.

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

Si hay tres tramos principales distintos${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$, las descomposiciones espectrales de${\displaystyle \mathbf {C} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$es dado por

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

Además,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

Observa que $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ Por lo tanto, la unicidad de la descomposición espectral también implica que${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$. El tramo izquierdo (${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$) también se denomina tensor de estiramiento espacial, mientras que el estiramiento derecho (${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$) se denomina tensor de estiramiento del material .

El efecto de${\displaystyle \mathbf {F} }$actuando en${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$es estirar el vector por${\displaystyle \lambda _{i}}$y para girarlo a la nueva orientación${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$, es decir, $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ En la misma línea, $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

Las derivadas del estiramiento con respecto al tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se utilizan para derivar las relaciones tensión-deformación de muchos sólidos, en particular los materiales hiperelásticos . Estas derivadas son $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ y se desprenden de las observaciones que $${\displaystyle \mathbf {C}$$ :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}

Dejar${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$Sea un sistema de coordenadas cartesianas definido en el cuerpo no deformado y dejemos${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$Sea otro sistema definido en el cuerpo deformado. Sea una curva${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$en el cuerpo no deformado se parametrizará usando${\displaystyle s\in [0,1]}$Su imagen en el cuerpo deformado es${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$.

La longitud no deformada de la curva viene dada por $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ Después de la deformación, la longitud se convierte en $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ Nótese que el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se define como $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ Por eso, $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ lo que indica que los cambios de longitud se caracterizan por${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$.

BR Seth del Instituto Indio de Tecnología de Kharagpur fue el primero en demostrar que los tensores de deformación de Green y Almansi son casos especiales de una medida de deformación más general . ^{[ 10 ] [ 11 ]} La idea fue ampliada posteriormente por Rodney Hill en 1968. ^{[ 12 ]} La familia de medidas de deformación de Seth-Hill (también llamadas tensores de Doyle-Ericksen) ^{[ 13 ]} se puede expresar como

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}$$