Mathematical constant

The square root of 2, often known as root 2 or Pythagoras' constant, and written as √2, is the unique positive real number that, when multiplied by itself, gives the number 2. It is more precisely called the principal square root of 2, to distinguish it from the negative number with the same property.

Geometrically the square root of 2 is the length of a diagonal across a square with sides of one unit of length; this follows from the Pythagorean theorem. It is an irrational number, possibly the first number to be known as such, and an algebraic number. Its numerical value truncated to 50 decimal places is:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694...(sequence A002193 in the OEIS).

Alternatively, the quick approximation 99/70 (≈ 1.41429) for the square root of two was frequently used before the common use of electronic calculators and computers. Despite having a denominator of only 70, it differs from the correct value by less than 1/10,000 (approx. 7.2 × 10⁻⁵).

Its simple continued fraction is periodic and given by:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

The constant π (pi) has a natural definition in Euclidean geometry as the ratio between the circumference and diameter of a circle. It may be found in many other places in mathematics: for example, the Gaussian integral, the complex roots of unity, and Cauchy distributions in probability. However, its ubiquity is not limited to pure mathematics. It appears in many formulas in physics, and several physical constants are most naturally defined with π or its reciprocal factored out. For example, the ground state wave function of the hydrogen atom is

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},}$

where ${\displaystyle a_{0}}$ is the Bohr radius.

π is an irrational number, transcendental number and an algebraic period.

The numeric value of π is approximately:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...(sequence A000796 in the OEIS).

Unusually good approximations are given by the fractions 22/7 and 355/113.

Memorizing as well as computing increasingly more digits of π is a world record pursuit.

El número de Euler e , también conocido como constante de crecimiento exponencial , aparece en muchas áreas de las matemáticas, y una posible definición del mismo es el valor de la siguiente expresión:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

La constante e está intrínsecamente relacionada con la función exponencial.${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$.

El matemático suizo Jacob Bernoulli descubrió que e surge en el interés compuesto : si una cuenta comienza con $1 y produce intereses a una tasa anual R , entonces a medida que el número de períodos de capitalización por año tiende al infinito (una situación conocida como capitalización continua ), la cantidad de dinero al final del año se aproximará a e ^R dólares.

La constante e también tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad , donde surge de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Por ejemplo, supongamos que se juega n veces en una máquina tragamonedas con una probabilidad de ganar de uno entre n ; entonces, para valores grandes de n (por ejemplo, un millón), la probabilidad de no ganar nada tenderá a 1/ e cuando n tienda a infinito.

Otra aplicación de e , descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con el matemático francés Pierre Raymond de Montmort , se encuentra en el problema de los desordenamientos , también conocido como el problema del sombrero . ^{[ 2 ]} Aquí, n invitados son invitados a una fiesta, y en la puerta cada invitado deja su sombrero en la caja del mayordomo, quien luego los coloca en cajas etiquetadas. El mayordomo no conoce el nombre de los invitados, por lo que debe colocarlos en cajas seleccionadas al azar. El problema de de Montmort es: ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los sombreros se coloque en la caja correcta? La respuesta es

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}}$

que, cuando n tiende a infinito, se aproxima a 1/ e .

e es un número irracional y un número trascendental.

El valor numérico de e es aproximadamente:

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (secuencia A001113 en el OEIS ) .

The imaginary unit or unit imaginary number, denoted as i, is a mathematical concept which extends the real number system to the complex number system. The imaginary unit's core property is that i² = −1. The term "imaginary" was coined because there is no (real) number having a negative square.

There are in fact two complex square roots of −1, namely i and −i, just as there are two complex square roots of every other real number (except zero, which has one double square root).

In contexts where the symbol i is ambiguous or problematic, j or the Greek iota (ι) is sometimes used. This is in particular the case in electrical engineering and control systems engineering, where the imaginary unit is often denoted by j, because i is commonly used to denote electric current.

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

An explicit formula for the nth Fibonacci number involving the golden ratioφ

El número φ , también llamado proporción áurea , aparece con frecuencia en geometría , particularmente en figuras con simetría pentagonal . De hecho, la longitud de la diagonal de un pentágono regular es φ veces su lado. Los vértices de un icosaedro regular son los de tres rectángulos áureos mutuamente ortogonales . Además, está relacionado con la sucesión de Fibonacci , relacionada con el crecimiento por recursión . ^{[ 3 ]} Kepler demostró que es el límite de la razón de números de Fibonacci consecutivos. ^{[ 4 ]} La proporción áurea tiene la fracción continua de convergencia más lenta de cualquier número irracional. ^{[ 5 ]} Por esa razón, es uno de los peores casos del teorema de aproximación de Lagrange y es un caso extremo de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas a números irracionales. Esto puede explicar por qué los ángulos cercanos a la proporción áurea aparecen a menudo en la filotaxis (el crecimiento de las plantas). ^{[ 6 ]} Es aproximadamente igual a:

1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576... (secuencia A001622 en el OEIS ) .

o, más precisamente${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

La constante de Euler o constante de Euler-Mascheroni se define como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]\end{aligned}}}$

Aparece con frecuencia en matemáticas, especialmente en contextos de teoría de números como el tercer teorema de Mertens o la tasa de crecimiento de la función divisor . Tiene relación con la función gamma y sus derivadas , así como con la función zeta , y existen muchas integrales y series diferentes que la involucran.${\displaystyle \gamma }$.

A pesar de la omnipresencia de la constante de Euler-Mascheroni, muchas de sus propiedades siguen siendo desconocidas. Esto incluye las principales preguntas abiertas sobre si es un número racional o irracional y si es algebraico o trascendental. De hecho,${\displaystyle \gamma }$ha sido descrita como una constante matemática "sombreada únicamente"${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle e}$en importancia." ^{[ 7 ]}

El valor numérico de${\displaystyle \gamma }$es aproximadamente:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992... (secuencia A001620 en el OEIS ) .

La constante de Apery se define como la suma de los recíprocos de los cubos de los números naturales:$${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}\cdots }$$Es el valor especial de la función zeta de Riemann.${\displaystyle \zeta (s)}$en${\displaystyle s=3}$La búsqueda para encontrar un valor exacto para esta constante en términos de otras constantes conocidas y funciones elementales se originó cuando Euler resolvió el famoso problema de Basilea dando${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$Hasta la fecha no se ha encontrado tal valor y se conjetura que no existe. ^{[ 8 ]} Sin embargo, existen muchas representaciones de${\displaystyle \zeta (3)}$en términos de series infinitas.

La constante de Apéry surge de forma natural en varios problemas físicos, incluidos los términos de segundo y tercer orden de la relación giromagnética del electrón , calculada mediante electrodinámica cuántica . ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \zeta (3)}$Se sabe que es un número irracional , lo cual fue demostrado por el matemático francés Roger Apéry en 1979. Sin embargo, se desconoce si es algebraico o trascendental.

El valor numérico de la constante de Apéry es aproximadamente:

1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 34049... (secuencia A002117 en el OEIS ) .

La constante de Catalan se define por la suma alternada de los recíprocos de los números cuadrados impares :

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots }$

Es el valor especial de la función beta de Dirichlet.${\displaystyle \beta (s)}$en${\displaystyle s=2}$La constante de Catalan aparece con frecuencia en combinatoria y teoría de números , y también fuera de las matemáticas, como en el cálculo de la distribución de masas de las galaxias espirales . ^{[ 10 ]}

También quedan sin respuesta preguntas sobre la naturaleza aritmética de esta constante.${\displaystyle G}$ having been called "arguably the most basic constant whose irrationality and transcendence (though strongly suspected) remain unproven."^[11] There exist many integral and series representations of Catalan's constant.

It is named after the French and Belgian mathematician Charles Eugène Catalan.

The numeric value of ${\displaystyle G}$ is approximately:

0.91596559417721901505460351493238411077414937428167...(sequence A006752 in the OEIS).

Iterations of continuous maps serve as the simplest examples of models for dynamical systems.^[12] Named after mathematical physicist Mitchell Feigenbaum, the two Feigenbaum constants appear in such iterative processes: they are mathematical invariants of logistic maps with quadratic maximum points^[7] and their bifurcation diagrams. Specifically, the constant α is the ratio between the width of a tine and the width of one of its two subtines, and the constant δ is the limiting ratio of each bifurcation interval to the next between every period-doubling bifurcation.

The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. The map was popularized in a seminal 1976 paper by the Australian biologist Robert May,^[13] in part as a discrete-time demographic model analogous to the logistic equation first created by Pierre François Verhulst. The difference equation is intended to capture the two effects of reproduction and starvation.

The Feigenbaum constants in bifurcation theory are analogous to π in geometry and e in calculus. Neither of them is known to be irrational or even transcendental. However proofs of their universality exist.^[14]

The respective approximate numeric values of δ and α are:

4.66920160910299067185320382046620161725818557747576...(sequence A006890 in the OEIS).

2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714... (secuencia A006891 en el OEIS ) .

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots }$

La constante de Liouville es un ejemplo sencillo de un número trascendental .

Algunas constantes, como la raíz cuadrada de 2 , la constante de Liouville y la constante de Champernowne :

${\displaystyle C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots }$

No son invariantes matemáticos importantes, pero conservan interés por ser simples representantes de conjuntos especiales de números: los números irracionales , ^{[ 16 ]} los números trascendentales ^{[ 17 ]} y los números normales (en base 10), ^{[ 18 ]} respectivamente. El descubrimiento de los números irracionales se atribuye generalmente al pitagórico Hipaso de Metaponto, quien demostró, muy probablemente geométricamente, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. En cuanto a la constante de Liouville, que lleva el nombre del matemático francés Joseph Liouville , fue el primer número cuya trascendencia se demostró. ^{[ 19 ]}

En el subcampo de la teoría de la información algorítmica de la informática , la constante de Chaitin es el número real que representa la probabilidad de que una máquina de Turing elegida al azar se detenga, y se deriva de una construcción del matemático e informático argentino - estadounidense Gregory Chaitin . Si bien la constante de Chaitin no es computable , se ha demostrado que es trascendental y normal . La constante de Chaitin no es universal, ya que depende en gran medida de la codificación numérica utilizada para las máquinas de Turing; sin embargo, sus propiedades interesantes son independientes de dicha codificación.

Es común expresar el valor numérico de una constante mediante su representación decimal (o simplemente sus primeros dígitos). Esta representación puede causar problemas por dos razones. Primero, aunque los números racionales tienen una expansión decimal finita o que se repite, los números irracionales no la tienen, lo que hace imposible describirlos completamente de esta manera. Además, la expansión decimal de un número no es necesariamente única. Por ejemplo, las dos representaciones 0.999... y 1 son equivalentes ^{[ 20 ] [ 21 ]} en el sentido de que representan el mismo número.

El cálculo de dígitos de la expansión decimal de constantes ha sido una tarea común durante muchos siglos. Por ejemplo, el matemático alemán Ludolph van Ceulen, del siglo XVI, dedicó gran parte de su vida a calcular los primeros 35 dígitos de pi. ^{[ 22 ]} Mediante el uso de computadoras y supercomputadoras , algunas constantes matemáticas, como π, e y la raíz cuadrada de 2, se han calculado con más de cien mil millones de dígitos. Se han desarrollado algoritmos rápidos , algunos de los cuales —como el de la constante de Apéry— son sorprendentemente rápidos.

${\displaystyle G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$

El número de Graham se define utilizando la notación de flecha hacia arriba de Knuth.

Algunas constantes difieren tanto de las habituales que se ha inventado una nueva notación para representarlas adecuadamente. El número de Graham ilustra esto, ya que se utiliza la notación de flecha hacia arriba de Knuth . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

Puede resultar interesante representarlas mediante fracciones continuas para realizar diversos estudios, incluido el análisis estadístico. Muchas constantes matemáticas tienen una forma analítica , es decir, pueden construirse utilizando operaciones bien conocidas que se prestan fácilmente al cálculo. Sin embargo, no todas las constantes tienen formas analíticas conocidas; la constante de Grossman ^{[ 25 ]} y la constante de Foias ^{[ 26 ]} son ​​ejemplos de ello.

Simbolizar constantes con letras es un método frecuente para hacer la notación más concisa. Una convención común , iniciada por René Descartes en el siglo XVII y Leonhard Euler en el siglo XVIII, consiste en utilizar letras minúsculas del principio del alfabeto latino.${\displaystyle a,b,c,\dots }$o el alfabeto griego${\displaystyle \alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots }$al trabajar con constantes en general.

Sin embargo, para constantes más importantes, los símbolos pueden ser más complejos y tener una letra adicional, un asterisco , un número, una lemniscata o usar alfabetos diferentes como el hebreo , el cirílico o el gótico . ^{[ 24 ]}

Constante de Erdős-Borwein${\displaystyle E_{B}}$Constante de Embree-Trefethen${\displaystyle \beta ^{*}}$La constante de Brun para el primo gemelo${\displaystyle B_{2}}$Constantes de Champernowne${\displaystyle C_{b}}$número cardinal aleph cero${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ejemplos de diferentes tipos de notación para constantes

A veces, el símbolo que representa una constante es una palabra completa. Por ejemplo, el sobrino de 9 años del matemático estadounidense Edward Kasner acuñó los nombres googol y googolplex . ^{[ 24 ] [ 27 ]}

${\displaystyle \mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}}$

Otros nombres están relacionados con el significado de la constante ( constante parabólica universal , constante prima gemela , etc.) o con una persona específica ( constante de Sierpiński , constante de Josephson , etc.).