Discusión matemática sobre el mantenimiento de rangos

Durante la Segunda Guerra Mundial, los operadores de telémetro de la Armada de los Estados Unidos utilizaban un sistema de coordenadas móvil basado en la línea de visión (LOS) entre el buque que disparaba su cañón (conocido como "buque propio") y el objetivo (conocido como "objetivo"). Como se muestra en la Figura 1, el operador de telémetro definía el "eje y" como la línea de visión y el "eje x" como una perpendicular a la línea de visión, con el origen de ambos ejes centrado en el objetivo.

Un aspecto importante a la hora de elegir un sistema de coordenadas es comprender los signos de las distintas velocidades. La velocidad de cambio de rumbo es positiva en sentido horario. La velocidad de cambio de alcance es positiva a medida que aumenta la distancia al objetivo.

Durante la Segunda Guerra Mundial, el seguimiento de un objetivo implicaba conocer continuamente su alcance y rumbo. Estos parámetros eran registrados periódicamente por marineros que manejaban los directores de tiro ^{[ 7 ]} y los sistemas de radar , quienes luego enviaban los datos a un telémetro. El telémetro realizaba una extrapolación lineal del alcance y el rumbo del objetivo en función del tiempo, basándose en las muestras de información del objetivo.

Además de las observaciones de objetivos a bordo, los observadores de objetivos también podían recibir información de aeronaves de reconocimiento o incluso de globos tripulados amarrados al propio buque. Estas plataformas de reconocimiento podían lanzarse y recuperarse desde grandes buques de guerra, como los acorazados. En general, se preferían las observaciones de objetivos realizadas con instrumentos a bordo para objetivos a distancias inferiores a 20 000 yardas, y las observaciones aéreas para objetivos de mayor alcance. ^{[ 8 ]} Tras la Segunda Guerra Mundial, se dispuso de helicópteros y se eliminó la necesidad de realizar las peligrosas operaciones de lanzamiento y recuperación de aeronaves o globos de reconocimiento (véase el acorazado de la clase Iowa para una breve explicación).

Durante la Primera Guerra Mundial, la información de seguimiento de objetivos se presentaba a menudo en una hoja de papel. ^{[ 9 ]} Durante la Segunda Guerra Mundial, la información de seguimiento podía mostrarse en pantallas electrónicas (véase el portaaviones de la clase Essex para un análisis de las pantallas comunes).

Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, la distancia al objetivo se medía con telémetros ópticos . Aunque se realizaron algunas operaciones nocturnas con reflectores y bengalas , en general, los telémetros ópticos se limitaban al uso diurno. ^{[ 10 ]} Durante la última parte de la Segunda Guerra Mundial, se utilizó el radar para determinar la distancia al objetivo. El radar demostró ser más preciso ^{[ 11 ]} que los telémetros ópticos (al menos en condiciones operativas) ^{[ 12 ]} y fue el método preferido para determinar la distancia al objetivo tanto de día como de noche. ^{[ 13 ]}

Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, se tomaron mediciones de alcance y rumbo del objetivo durante un período de tiempo y se graficaron manualmente en un gráfico. ^{[ 14 ]} La velocidad y el rumbo del objetivo se podían calcular utilizando la distancia que recorría en un intervalo de tiempo. Durante la última parte de la Segunda Guerra Mundial, la velocidad del objetivo se podía medir utilizando datos de radar. El radar proporcionaba datos precisos de rumbo, alcance y velocidad radial, que se convertían en rumbo y velocidad del objetivo.

En algunos casos, como en el de los submarinos, la velocidad objetivo puede estimarse utilizando datos de sonar. Por ejemplo, el operador del sonar podría medir acústicamente la velocidad de giro de la hélice y, conociendo la clase del buque , calcular su velocidad (consulte TDC para obtener más información).

El rumbo objetivo era el dato más difícil de obtener. En muchos casos, en lugar de medir el rumbo objetivo, muchos sistemas medían una magnitud relacionada llamada ángulo de proa . El ángulo de proa es el ángulo formado por el rumbo del buque y la línea de visión (véase la Figura 1).

El ángulo de la proa se estimaba generalmente basándose en la experiencia de observación del observador. En algunos casos, los observadores mejoraban sus habilidades de estimación practicando con modelos de barcos montados en una " Lazy Susan ". ^{[ 15 ]} La Armada Imperial Japonesa tenía una herramienta única, llamada Sokutekiban (測的盤), ^{[ 16 ]} que se utilizaba para ayudar a los observadores a medir el ángulo de la proa. El observador primero usaba este dispositivo para medir el ancho angular del objetivo. Conociendo el ancho angular del objetivo, el alcance al objetivo y la longitud conocida de esa clase de barco , el ángulo de la proa del objetivo se puede calcular usando las ecuaciones que se muestran en la Figura 2.

Se requerían observadores humanos para determinar el ángulo de la proa. Para confundir a los observadores, los barcos solían usar camuflaje deslumbrante , que consistía en pintar líneas en el casco para dificultar la determinación del ángulo de la proa del objetivo. Si bien el camuflaje deslumbrante era útil contra algunos tipos de telémetros ópticos, este método era inútil contra el radar y cayó en desuso durante la Segunda Guerra Mundial.

El alcance del objetivo en el momento del impacto del proyectil se puede estimar utilizando la ecuación 1, que se ilustra en la figura 3.

dónde

• ${\displaystyle R_{TP}\,}$es la distancia al objetivo en el momento del impacto del proyectil.
• ${\displaystyle R_{T}\,}$es la distancia al objetivo en el momento del disparo.
• ${\displaystyle t_{TOF'}\,}$es el tiempo de vuelo del proyectil${\displaystyle \left(t_{TOF}\right)\,}$más los retrasos de disparo del sistema ^{[ 19 ]}${\displaystyle \left(t_{Retraso}\right)\,}$, es decir${\displaystyle t_{TOF'}=t_{TOF}+t_{Delay}\,}$.

La predicción exacta del alcance del objetivo en el momento del impacto del proyectil es difícil porque requiere conocer el tiempo de vuelo del proyectil, que es función de la posición proyectada del objetivo. Si bien este cálculo puede realizarse mediante un método de ensayo y error, no era práctico con el hardware de las computadoras analógicas disponibles durante la Segunda Guerra Mundial. En el caso del Ford Rangekeeper Mk 1, el tiempo de vuelo se aproximó asumiendo que era linealmente proporcional al alcance, como se muestra en la ecuación 2. ^{[ 20 ]}

dónde

• ${\displaystyle k_{TOF}\,}$ es la constante de proporcionalidad entre el tiempo de vuelo (TOF) y el alcance del objetivo.

La suposición de que el tiempo de vuelo es linealmente proporcional al alcance es simplista y podría mejorarse mediante el uso de métodos más sofisticados de evaluación de funciones.

La predicción de alcance requiere conocer la tasa de cambio de alcance. Como se muestra en la Figura 3, la tasa de cambio de alcance se puede expresar como se muestra en la Ecuación 3.

dónde

• ${\displaystyle s_{Oy}\,}$es la velocidad del propio barco a lo largo de la línea de visión donde ${\displaystyle v_{Oy}=\lVert v_{O}\rVert \cdot \cos(\theta _ {T})}$.
• ${\displaystyle s_{Ty}\,}$es la velocidad objetivo del buque a lo largo de la línea de visión donde${\displaystyle v_{Ty}=\lVert v_{T}\rVert \cdot \cos(\theta _ {AOB})}$.

La ecuación 4 muestra la ecuación completa para el rango previsto.

La predicción del acimut ^{[ 21 ]} se realiza de forma similar a la predicción del alcance. ^{[ 1 ]} La ecuación 5 es la relación fundamental, cuya derivación se ilustra en la figura 4.

dónde

• ${\displaystyle \theta _{T}\,}$es el acimut hacia el objetivo en el momento del disparo.
• ${\displaystyle \theta _{TP}\,}$es el acimut hacia el objetivo en el momento del impacto del proyectil.

La tasa de cambio de los cojinetes se puede calcular utilizando la ecuación 6, que se ilustra en la figura 4.

dónde

• ${\displaystyle s_{Ox}\,}$es la velocidad de la propia nave a lo largo del eje x, es decir${\displaystyle s_{Ox}=\lVert v_{O}\rVert \cdot \sin(\theta _{T})\,}$.
• ${\displaystyle s_{Tx}\,}$es la velocidad objetivo a lo largo del eje x, es decir${\displaystyle s_{Tx}=\lVert v_{T}\rVert \cdot \sin(\theta _{AOB})\,}$.

Sustituyendo${\displaystyle t_{TOF}{\dot {=}}k_{TOF}\cdot R_{T}}$La ecuación 7 muestra la fórmula final para el rumbo previsto.