Identidad (matemáticas)

Ciertas identidades, como${\displaystyle a+0=a}$y${\displaystyle a+(-a)=0}$, forman la base del álgebra , ^{[ 5 ]} mientras que otras identidades, como${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$y${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$, puede ser útil para simplificar expresiones algebraicas y para expandirlas. ^{[ 6 ]}

Geométricamente, las identidades trigonométricas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . ^{[ 7 ]} Se distinguen de las identidades triangulares , que involucran tanto los ángulos como las longitudes de los lados de un triángulo . Solo las primeras se tratan en este artículo.

Estas identidades resultan útiles cuando se necesita simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común que consiste en utilizar primero la regla de sustitución con una función trigonométrica y, a continuación, simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Uno de los ejemplos más destacados de identidades trigonométricas involucra la ecuación${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$lo cual es cierto para todos los valores reales de${\displaystyle \theta }$. Por otro lado, la ecuación

${\displaystyle \cos \theta =1}$

Esto solo es cierto para ciertos valores de${\displaystyle \theta }$, no todos. Por ejemplo, esta ecuación es verdadera cuando${\displaystyle \theta =0,}$pero falso cuando${\displaystyle \theta =2}$.

Otro grupo de identidades trigonométricas se refiere a las llamadas fórmulas de suma/resta (por ejemplo, la identidad del ángulo doble).${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$, la fórmula de adición para${\displaystyle \tan(x+y)}$), que se puede utilizar para descomponer expresiones de ángulos más grandes en aquellas con componentes más pequeños.

Las siguientes identidades se cumplen para todos los exponentes enteros , siempre que la base sea distinta de cero:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

A diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 y 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , pero 2 ³ = 8 mientras que 3 ² = 9 .

A diferencia de la suma y la multiplicación, la potenciación tampoco es asociativa . Por ejemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 y (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , pero 2³ ^elevado a la 4 es 8⁴ ⁽ o 4096), mientras que 2³ elevado a la 4 ^es 2⁸¹ ⁽ o 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Cuando no se escriben paréntesis, por convención el orden es de arriba hacia abajo, no de abajo hacia arriba:

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$ mientras ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes de logaritmos , relacionan los logaritmos entre sí: ^{[ a ]}

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn ^{[ 9 ]} establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica desarrollándola completamente en términos de potencias enteras de senos y cosenos, cambiando seno por sinh y coseno por cosh, e invirtiendo el signo de cada término que contenga un producto de un número par de senos hiperbólicos. ^{[ 10 ]}

La función de Gudermann establece una relación directa entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas que no involucra números complejos .