Morfología matemática

Una forma (en azul) y su dilatación morfológica (en verde) y erosión (en amarillo) por un elemento estructurante en forma de diamante.

La morfología matemática ( MM ) es una teoría y técnica para analizar y procesar estructuras geométricas . Se basa en la teoría de conjuntos , la teoría de retículos , la topología y las funciones aleatorias . La MM se aplica con mayor frecuencia a imágenes digitales , pero también puede utilizarse en grafos , mallas de superficies , sólidos y muchas otras estructuras espaciales.

Conceptos topológicos y geométricos de espacio continuo , como tamaño, forma , convexidad , conectividad y distancia geodésica , fueron introducidos por MM tanto en espacios continuos como discretos . MM también constituye la base del procesamiento morfológico de imágenes , que consiste en un conjunto de operadores que transforman las imágenes según las caracterizaciones mencionadas.

Los operadores morfológicos básicos son la erosión , la dilatación , la apertura y el cierre .

El método MM se desarrolló originalmente para imágenes binarias y posteriormente se extendió a funciones e imágenes en escala de grises . La posterior generalización a retículos completos se acepta hoy en día como el fundamento teórico de MM.

Historia

La morfología matemática fue desarrollada en 1964 gracias al trabajo conjunto de Georges Matheron y Jean Serra en la École des Mines de Paris , Francia . Matheron dirigió la tesis doctoral de Serra, dedicada a la cuantificación de las características minerales a partir de secciones transversales delgadas , y este trabajo dio como resultado un enfoque práctico novedoso, así como avances teóricos en geometría integral y topología .

En 1968, el Centre de Morphologie Mathématique fue fundado por la École des Mines de Paris en Fontainebleau , Francia, dirigido por Matheron y Serra.

Durante el resto de la década de 1960 y la mayor parte de la de 1970, MM se dedicó principalmente a imágenes binarias , tratadas como conjuntos , y generó un gran número de operadores y técnicas binarias : transformación de acierto o error , dilatación , erosión , apertura , cierre , granulometría , adelgazamiento , esqueletización , erosión final , bisectriz condicional , entre otras. También se desarrolló un enfoque aleatorio, basado en nuevos modelos de imagen. La mayor parte del trabajo de ese período se desarrolló en Fontainebleau.

Desde mediados de la década de 1970 hasta mediados de la de 1980, MM se generalizó también a funciones e imágenes en escala de grises . Además de extender los conceptos principales (como dilatación, erosión, etc.) a funciones, esta generalización dio lugar a nuevos operadores, como gradientes morfológicos , la transformada top-hat y el algoritmo Watershed (el principal método de segmentación de MM ).

En las décadas de 1980 y 1990, el método MM obtuvo mayor reconocimiento, ya que centros de investigación en varios países comenzaron a adoptarlo e investigarlo. MM empezó a aplicarse a un gran número de problemas y aplicaciones de imagen, especialmente en el campo del filtrado no lineal de imágenes con ruido.

En 1986, Serra generalizó aún más el método MM, esta vez a un marco teórico basado en retículos completos . Esta generalización aportó flexibilidad a la teoría, permitiendo su aplicación a un número mucho mayor de estructuras, incluyendo imágenes en color, vídeo, grafos , mallas , etc. Al mismo tiempo, Matheron y Serra también formularon una teoría para el filtrado morfológico , basada en el nuevo marco de retículos.

En las décadas de 1990 y 2000 también se produjeron nuevos avances teóricos, incluidos los conceptos de conexiones y nivelaciones .

En 1993, se celebró en Barcelona , España, el primer Simposio Internacional de Morfología Matemática (ISMM). Desde entonces, los ISMM se organizan cada 2-3 años: Fontainebleau, Francia (1994); Atlanta , EE. UU. (1996); Ámsterdam , Países Bajos (1998); Palo Alto, CA , EE. UU. (2000) ; Sídney , Australia (2002); París , Francia (2005); Río de Janeiro , Brasil (2007); Groninga , Países Bajos (2009); Intra ( Verbania ), Italia (2011); Uppsala , Suecia (2013); Reikiavik , Islandia (2015); Fontainebleau, Francia (2017); y Saarbrücken , Alemania (2019). ^{[ 1 ]}

Referencias

"Introducción" de Pierre Soille, en ( Serra et al. (Eds.) 1994 ), págs. 1-4.
"Apéndice A: El 'Centre de Morphologie Mathématique', una descripción general" por Jean Serra, en ( Serra et al. (Eds.) 1994 ), págs. 369-374.
"Prólogo" en ( Ronse et al. (Eds.) 2005 )

Morfología binaria

En morfología binaria, una imagen se considera un subconjunto de un espacio euclidiano. $\mathbb {R} ^{d}$ o la cuadrícula de enteros $\mathbb {Z} ^{d}$ , para alguna dimensión d .

Elemento estructural

La idea básica de la morfología binaria consiste en analizar una imagen con una forma simple y predefinida, y extraer conclusiones sobre si esta forma se ajusta o no a las demás formas de la imagen. Esta sencilla "sonda" se denomina elemento estructurante y es, a su vez, una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o la cuadrícula).

Aquí hay algunos ejemplos de elementos estructurantes ampliamente utilizados (denotados por $B$ ):

Dejar $E=\mathbb {R} ^{2}$ ; $B$ es un disco abierto de radio $r$ , centrado en el origen.
Dejar $E=\mathbb {Z} ^{2}$ ; $B$ es un $3\times 3$ cuadrado, es decir, $B=\{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)\}$ .
Dejar $E=\mathbb {Z} ^{2}$ ; $B$ es la “cruz” dada por $B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}$ .

Operadores básicos

Las operaciones básicas son operadores invariantes a desplazamientos ( invariantes a traslaciones ) fuertemente relacionados con la suma de Minkowski .

Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula entera, y A una imagen binaria en E.

Erosión

La erosión de la imagen binaria $A$ por el elemento estructurante $B$ se define por

A\ominus B=\{z\in E\mid B_{z}\subseteq A\},

dónde $B_{z}$ es la traducción de $B$ por el vector $z$ , es decir, $\forall z\in E\quad B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}.$

Cuando el elemento estructurante $B$ tiene un centro (por ejemplo, $B$ es un disco o un cuadrado), y este centro se encuentra en el origen de $E$ , luego la erosión de $A$ por $B$ puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos alcanzados por el centro de $B$ cuando $B$ se mueve hacia adentro $A$ . Por ejemplo, la erosión de un cuadrado de lado $10$ , centrado en el origen, por un disco de radio $2$ , también centrado en el origen, es un cuadrado de lado $6$ centrado en el origen.

La erosión de $A$ por $B$ también viene dado por la expresión $A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}$ .

Ejemplo de aplicación: Supongamos que hemos recibido un fax con una fotocopia borrosa. Todo parece escrito con tinta que se corre. El proceso de erosión hará que las líneas más gruesas se vuelvan más finas y permitirá detectar el agujero dentro de la letra "o".

Dilatación

La dilatación de A por el elemento estructurante B se define por

A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}.

La dilatación es conmutativa, también dada por $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}$ .

Si B tiene su centro en el origen, como antes, entonces la dilatación de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos cubiertos por B cuando el centro de B se mueve dentro de A. En el ejemplo anterior, la dilatación del cuadrado de lado 10 por el disco de radio 2 es un cuadrado de lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.

La dilatación también se puede obtener mediante $A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}$ , donde B ^s denota la simetría de B , es decir, $B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}$ .

Ejemplo de aplicación: la dilatación es la operación dual de la erosión. Las figuras dibujadas con trazos muy suaves se vuelven gruesas al dilatarse. La forma más sencilla de describirlo es imaginar que el mismo fax o texto se escribe con un bolígrafo más grueso.

Apertura

La apertura de A por B se obtiene mediante la erosión de A por B , seguida de la dilatación de la imagen resultante por B :

A\circ B=(A\ominus B)\oplus B.

La apertura también la da por $A\circ B=\bigcup _{B_{x}\subseteq A}B_{x}$ , lo que significa que es el lugar geométrico de las traslaciones del elemento estructurante B dentro de la imagen A. En el caso del cuadrado de lado 10, y un disco de radio 2 como elemento estructurante, la abertura es un cuadrado de lado 10 con esquinas redondeadas, donde el radio de la esquina es 2.

Ejemplo de aplicación: Supongamos que alguien ha escrito una nota en un papel que no se absorbe y que la escritura parece tener pequeñas raíces filamentosas por todas partes. Al abrir el papel, se eliminan esas diminutas filtraciones superficiales y se restaura el texto. Como efecto secundario, las formas se suavizan y los bordes afilados comienzan a desaparecer.

Cierre

El cierre de A por B se obtiene mediante la dilatación de A por B , seguida de la erosión de la estructura resultante por B :

A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B.

El cierre también se puede obtener mediante $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}$ , donde X ^c denota el complemento de X con respecto a E (es decir, $X^{c}=\{x\in E\mid x\notin X\}$ ). Lo anterior significa que el cierre es el complemento del lugar de traslaciones de la simetría del elemento estructurante fuera de la imagen A.

Propiedades de los operadores básicos

A continuación se presentan algunas propiedades de los operadores morfológicos binarios básicos (dilatación, erosión, apertura y cierre):

Son invariantes a la traslación .
Están aumentando , es decir, si $A\subsetequ C$ , entonces $A\oplus B\subseteq C\oplus B$ , y $A\ominus B\subseteq C\ominus B$ , etc.
La dilatación es conmutativa : $A\oplus B=B\oplus A$ .
Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces $A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$ .
La dilatación es asociativa , es decir, $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ Además, la erosión satisface $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$ .
La erosión y la dilatación satisfacen la dualidad. $A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}$ .
Abrir y cerrar satisfacen la dualidad. $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}$ .
La dilatación es distributiva sobre la unión de conjuntos.
La erosión es distributiva sobre la intersección de conjuntos.
La dilatación es una pseudoinversa de la erosión, y viceversa, en el siguiente sentido: $A\subseteq (C\ominus B)$ si y solo si $(A\oplus B)\subseteq C$ .
La apertura y el cierre son idempotentes .
La apertura es anti-extensiva , es decir, $A\circ B\subsetae$ , mientras que el cierre es extenso , es decir, $A\subseteq A\bullet B$ .

Otros operadores y herramientas

Morfología en escala de grises

Cuenca hidrográfica del gradiente de la imagen cardíaca

En la morfología en escala de grises , las imágenes son funciones que mapean un espacio euclidiano o cuadrícula E en $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ , dónde $\mathbb {R}$ es el conjunto de los números reales , $\infty$ es un elemento mayor que cualquier número real, y $-\infty$ es un elemento menor que cualquier número real.

Los elementos estructurantes en escala de grises también son funciones del mismo formato, denominadas "funciones estructurantes".

Denotando una imagen por f ( x ), la función estructurante por b ( x ) y el soporte de b por B , la dilatación en escala de grises de f por b viene dada por

(f\oplus b)(x)=\sup _{y\in B}[f(xy)+b(y)],

donde "sup" denota el supremo .

De manera similar, la erosión de f por b viene dada por

(f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)],

donde "inf" denota el mínimo .

Al igual que en la morfología binaria, la apertura y el cierre vienen dados respectivamente por

f\circ b=(f\ominus b)\oplus b,

f\bullet b=(f\oplus b)\ominus b.

Funciones de estructuración plana

Es común utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones estructurantes planas son funciones b ( x ) de la forma

b(x)={\begin{cases}0,&x\in B,\\-\infty &{\text{en otro caso}},\end{cases}}

dónde $B\subseteq E$ .

En este caso, la dilatación y la erosión se simplifican enormemente y se dan respectivamente por

(f\oplus b)(x)=\sup _{z\in B^{s}}f(x+z),

(f\ominus b)(x)=\inf _{z\in B}f(x+z).

En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B es acotado), los operadores supremo e ínfimo pueden ser reemplazados por máximo y mínimo . Por lo tanto, la dilatación y la erosión son casos particulares de filtros de estadísticas de orden , donde la dilatación devuelve el valor máximo dentro de una ventana móvil (la simétrica del soporte de la función estructurante B ), y la erosión devuelve el valor mínimo dentro de la ventana móvil B.

En el caso de un elemento estructurante plano, los operadores morfológicos dependen únicamente del orden relativo de los valores de los píxeles , independientemente de sus valores numéricos, y por lo tanto son especialmente adecuados para el procesamiento de imágenes binarias e imágenes en escala de grises cuya función de transferencia de luz se desconoce.

Otros operadores y herramientas

Al combinar estos operadores se pueden obtener algoritmos para muchas tareas de procesamiento de imágenes, como detección de características , segmentación de imágenes , mejora de nitidez de imágenes , filtrado de imágenes y clasificación . En este sentido, también se debería considerar la morfología continua ^{[ 2 ].}

Morfología matemática en retículos completos

Los retículos completos son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un ínfimo y un supremo . En particular, contienen un elemento mínimo y un elemento máximo (también denominado "universo").

Adjunciones (dilatación y erosión)

Dejar $(L,\leq )$ ser un retículo completo, con el ínfimo y el supremo simbolizados por $\wedge$ y $\vee$ , respectivamente. Su universo y su elemento más pequeño están simbolizados por U y $\emptyset$ , respectivamente. Además, sea $\{X_{i}\}$ ser una colección de elementos de L.

Una dilatación es cualquier operador $\delta \dos puntos L\rightarrow L$ que se distribuye sobre el supremo y conserva el elemento mínimo. Es decir:

$\bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right)$ ,
$\delta (\emptyset )=\emptyset$ .

Una erosión es cualquier operador $\varepsilon \colon L\rightarrow L$ que se distribuye sobre el ínfimo y preserva el universo. Es decir:

$\bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)$ ,
$\varepsilon (U)=U$ .

Las dilataciones y erosiones forman conexiones de Galois . Es decir, por cada dilatación $\delta$ Hay una y solo una erosión $\varepsilon$ que satisface

X\leq \varepsilon (Y)\Leftrightarrow \delta (X)\leq Y

a pesar de $X,Y\in L$ .

De manera similar, para cada erosión existe una y solo una dilatación que satisface la relación anterior.

Además, si dos operadores satisfacen la conexión, entonces $\delta$ debe ser una dilatación, y $\varepsilon$ una erosión.

Los pares de erosiones y dilataciones que satisfacen la relación anterior se denominan "adjunciones", y se dice que la erosión es la erosión adjunta de la dilatación, y viceversa.

Apertura y cierre

Para cada adjunción $(\varepsilon ,\delta )$ , la apertura morfológica $\gamma \colon L\to L$ y cierre morfológico $\phi \colon L\to L$ se definen de la siguiente manera:

\gamma =\delta \varepsilon ,

\phi =\varepsilon \delta .

La apertura y el cierre morfológicos son casos particulares de apertura algebraica (o simplemente apertura) y cierre algebraico (o simplemente cierre). Las aperturas algebraicas son operadores en L que son idempotentes, crecientes y antiextensivos. Los cierres algebraicos son operadores en L que son idempotentes, crecientes y extensivos.

Casos particulares

La morfología binaria es un caso particular de morfología reticular, donde L es el conjunto potencia de E (espacio euclidiano o cuadrícula), es decir, L es el conjunto de todos los subconjuntos de E , y $\leq$ es la inclusión de conjuntos . En este caso, el ínfimo es la intersección de conjuntos y el supremo es la unión de conjuntos .

De manera similar, la morfología en escala de grises es otro caso particular, donde L es el conjunto de funciones que mapean E en $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ , y $\leq$ , $\vee$ , y $\wedge$ , son el orden puntual, el supremo y el ínfimo, respectivamente. Es decir, si f y g son funciones en L , entonces $f\leq g$ si y solo si $f(x)\leq g(x),\forall x\in E$ ; el ínfimo $f\wedge g$ es dado por $(f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)$ ; y el supremo $f\vee g$ es dado por $(f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)$ .

Véase también

Notas

↑ "Simposio Internacional sobre Morfología Matemática y sus Aplicaciones al Procesamiento de Señales e Imágenes" . link.springer.com . Consultado el 17 de mayo de 2024 .
↑ G. Sapiro, R. Kimmel, D. Shaked, B. Kimia y AM Bruckstein. Implementación de morfología de escala continua mediante evolución de curvas . Pattern Recognition, 26(9):1363–1372, 1993.

Referencias

Análisis de imágenes y morfología matemática por Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3(1982)
Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos por Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1(1988)
Introducción al procesamiento morfológico de imágenes por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X(1992)
Análisis morfológico de imágenes; principios y aplicaciones por Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5(1999), 2ª edición (2003)
Morfología matemática y su aplicación al procesamiento de señales , J. Serra y Ph. Salembier (Eds.), actas del 1er taller internacional sobre morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de señales (ISMM'93), ISBN 84-7653-271-7(1993)
Morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes , J. Serra y P. Soille (Eds.), actas del 2.º simposio internacional sobre morfología matemática (ISMM'94), ISBN 0-7923-3093-5(1994)
Morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes y señales , Henk JAM Heijmans y Jos BTM Roerdink (Eds.), actas del 4.º simposio internacional sobre morfología matemática (ISMM'98), ISBN 0-7923-5133-9(1998)
Morfología matemática: 40 años después , Christian Ronse, Laurent Najman y Etienne Decencière (eds.), ISBN 1-4020-3442-3(2005)
Morfología matemática y sus aplicaciones al procesamiento de señales e imágenes , Gerald JF Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto (Eds.), actas del 8.º simposio internacional sobre morfología matemática (ISMM'07), ISBN 978-85-17-00032-4(2007)
Morfología matemática: de la teoría a las aplicaciones , Laurent Najman y Hugues Talbot (Eds.). ISTE-Wiley. ISBN 978-1-84821-215-2(520 págs.) Junio de 2010

Enlaces externos

Curso online de morfología matemática , impartido por Jean Serra (en inglés, francés y español).
Centro de Morfología Matemática , Escuela de Minas de París
Historia de la morfología matemática , por Georges Matheron y Jean Serra
Morphology Digest, un boletín informativo sobre morfología matemática , por Pierre Soille.
Conferencias sobre procesamiento de imágenes: Una colección de 18 conferencias en formato PDF de la Universidad de Vanderbilt. Las conferencias 16 a 18 tratan sobre morfología matemática , impartidas por Alan Peters.
Morfología matemática; de las clases de Visión por Computadora , por Robyn Owens
SMIL - Una biblioteca de imágenes morfológicas sencilla (pero eficiente) (de la École des Mines de Paris)
Biblioteca gratuita de procesamiento de imágenes optimizada para SIMD
Demostración de un applet de Java
FILTROS : una biblioteca de procesamiento de imágenes gratuita y de código abierto.
Erosiones, dilataciones, aperturas y cierres morfológicos rápidos.
Análisis morfológico de neuronas mediante Matlab

[1] "Simposio Internacional sobre Morfología Matemática y sus Aplicaciones al Procesamiento de Señales e Imágenes" . link.springer.com . Consultado el 17 de mayo de 2024 .

[2] G. Sapiro, R. Kimmel, D. Shaked, B. Kimia y AM Bruckstein. Implementación de morfología de escala continua mediante evolución de curvas . Pattern Recognition, 26(9):1363–1372, 1993.

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