Estructuralismo (filosofía de las matemáticas)

El estructuralismo es una teoría de la filosofía de las matemáticas que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras de objetos matemáticos . Los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en tales estructuras. En consecuencia, el estructuralismo sostiene que los objetos matemáticos no poseen ninguna propiedad intrínseca , sino que se definen por sus relaciones externas en un sistema. Por ejemplo, el estructuralismo sostiene que el número 1 se define exhaustivamente por ser el sucesor del 0 en la estructura de la teoría de los números naturales . Por generalización de este ejemplo, cualquier número natural se define por su respectivo lugar en esa teoría. Otros ejemplos de objetos matemáticos podrían incluir líneas y planos en geometría , o elementos y operaciones en álgebra abstracta .

El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo . Sin embargo, su afirmación central sólo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería de la de las estructuras en las que están insertos; diferentes subvariedades del estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto. ^[1]

El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas está particularmente asociado con Paul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart Shapiro y James Franklin .

Motivación histórica

La motivación histórica para el desarrollo del estructuralismo deriva de un problema fundamental de ontología . Desde la época medieval , los filósofos han discutido si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que:

(1) existe independientemente de la mente;

(2) existe independientemente del mundo empírico; y

(3) tiene propiedades eternas e inmutables.

El platonismo matemático tradicional sostiene que un conjunto de elementos matemáticos ( números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas ) son objetos abstractos de ese tipo. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.

A finales del siglo XIX y principios del XX, una serie de teorías antiplatónicas ganaron popularidad, entre ellas el intuicionismo , el formalismo y el predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas tenían una serie de problemas propios, lo que posteriormente dio lugar a un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico que se desarrollaron las motivaciones del estructuralismo. En 1965, Paul Benacerraf publicó un artículo titulado "What Numbers Could Not Be" (Lo que los números no podrían ser). ^[2] Benacerraf concluyó, sobre la base de dos argumentos principales, que el platonismo de teoría de conjuntos no puede tener éxito como teoría filosófica de las matemáticas.

En primer lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba ontológica. ^[2] Desarrolló un argumento contra la ontología del platonismo de teoría de conjuntos, que ahora se conoce históricamente como el problema de identificación de Benacerraf . Benacerraf señaló que existen formas de teoría de conjuntos elementalmente equivalentes de relacionar los números naturales con los conjuntos puros . Sin embargo, si alguien pregunta por las declaraciones de identidad "verdaderas" para relacionar los números naturales con los conjuntos puros, entonces diferentes métodos de teoría de conjuntos producen declaraciones de identidad contradictorias cuando estos conjuntos elementalmente equivalentes se relacionan entre sí. ^[2] Esto genera una falsedad de teoría de conjuntos. En consecuencia, Benacerraf infirió que esta falsedad de teoría de conjuntos demuestra que es imposible que exista algún método platónico de reducción de números a conjuntos que revele algún objeto abstracto.

En segundo lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba epistemológica . Benacerraf sostuvo que no existe un método empírico o racional para acceder a objetos abstractos. Si los objetos matemáticos no son espaciales o temporales, entonces Benacerraf infiere que tales objetos no son accesibles a través de la teoría causal del conocimiento . ^[3] Por lo tanto, surge el problema epistemológico fundamental para el platónico de ofrecer una explicación plausible de cómo un matemático con una mente limitada y empírica es capaz de acceder con precisión a verdades eternas independientes de la mente y del mundo. Fue a partir de estas consideraciones, el argumento ontológico y el argumento epistemológico, que las críticas antiplatónicas de Benacerraf motivaron el desarrollo del estructuralismo en la filosofía de las matemáticas.

Variedades

Stewart Shapiro divide el estructuralismo en tres grandes escuelas de pensamiento. ^[4] Estas escuelas se denominan ante rem , in re y post rem .

El estructuralismo ante rem^[5] ("antes de la cosa"), o estructuralismo abstracto ^[4] o abstraccionismo ^[6]^[7] (particularmente asociado con Michael Resnik , ^[4] Stewart Shapiro , ^[4] Edward N. Zalta , ^[8] y Øystein Linnebo ) ^[9] tiene una ontología similar al platonismo (véase también neologicismo modal ). Se sostiene que las estructuras tienen una existencia real pero abstracta e inmaterial. Como tal, se enfrenta al problema epistemológico estándar, como señaló Benacerraf, de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y los matemáticos de carne y hueso. ^[3]
El estructuralismo in re^[5] ("en la cosa"), ^[5] o estructuralismo modal ^[4] (particularmente asociado con Geoffrey Hellman ), ^[4] es el equivalente del realismo aristotélico ^[10] (realismo en el valor de verdad, pero antirrealismo sobre objetos abstractos en ontología). Se sostiene que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifique. Esto genera los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas podrían accidentalmente no existir, y que un mundo físico finito podría no ser "lo suficientemente grande" para acomodar algunas estructuras que de otro modo serían legítimas. El realismo aristotélico de James Franklin también es un estructuralismo in re , argumentando que las propiedades estructurales como la simetría se instancian en el mundo físico y son perceptibles. ^[11] En respuesta al problema de las estructuras no instanciadas que son demasiado grandes para caber en el mundo físico, Franklin responde que otras ciencias también pueden tratar con universales no instanciados; Por ejemplo, la ciencia del color puede ocuparse de un tono de azul que no se presenta en ningún objeto real. ^[12]
El estructuralismo post rem^[13] ("después de la cosa"), o estructuralismo eliminativo ^[4] (particularmente asociado con Paul Benacerraf ), ^[4] es antirrealista en cuanto a las estructuras de una manera que es paralela al nominalismo . Al igual que el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas a su lugar en una estructura relacional. Según esta visión, los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común. Si algo es cierto de una estructura, será cierto de todos los sistemas que ejemplifican la estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras que "se mantienen en común" entre sistemas: de hecho, no tienen existencia independiente.

Véase también

Precursores

Nicolás Bourbaki

Referencias

^ Brown, James (2008). Filosofía de las matemáticas . Routledge. pág. 62. ISBN. 978-0-415-96047-2.
^ abc Benacerraf, Paul (1965). "Lo que los números no podrían ser". Philosophical Review . 74 (1): 47–73. doi :10.2307/2183530. JSTOR 2183530.
^ ab Benacerraf, Paul (1983). "Mathematical Truth". En Putnam, HW; Benacerraf, P. (eds.). Filosofía de las matemáticas: lecturas seleccionadas (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 403–420. ISBN 978-0-521-29648-9.
^ abcdefgh Shapiro, Stewart (mayo de 1996). "Estructuralismo matemático". Philosophia Mathematica . 4 (2): 81–82. doi :10.1093/philmat/4.2.81.
^ abc Shapiro 1997, pág. 9
^ Tennant, Neil (2017), "Logicismo y neologicismo", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2017), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 10 de julio de 2022.
^ No debe confundirse con el platonismo abstraccionista .
^ Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (febrero de 2011). "Un estructuralismo ante rem lógicamente coherente" (PDF) . Taller sobre dependencia ontológica . Universidad de Bristol.
^ Linnebo, Øystein (2018). Objetos delgados: una perspectiva abstraccionista. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255896-1.
^ da Silva, Jairo José (2017). Matemáticas y sus aplicaciones: una perspectiva trascendental-idealista. Springer. pág. 265. ISBN 978-3-319-63073-1.
^ Franklin 2014, págs. 48-59
^ Franklin, James (2015). «Propiedades no instanciadas y aristotelismo semiplatónico». Review of Metaphysics . 69 (1): 25–45. JSTOR 24636591 . Consultado el 29 de junio de 2021 .
^ Nefdt, Ryan M. (2018). "Inferencialismo y estructuralismo: una historia de dos teorías". Logique et Analyse . 244 : 489–512. doi :10.2143/LEA.244.0.3285352.

Bibliografía

Franklin, James (2014). Una filosofía realista aristotélica de las matemáticas: las matemáticas como ciencia de la cantidad y la estructura. Palgrave Macmillan. ISBN 978-1-137-40072-7.
Resnik, Michael (1982). "Las matemáticas como ciencia de patrones: epistemología". Noûs . 16 (1): 95–105. doi :10.2307/2215419. JSTOR 2215419.
Resnik, Michael (1997). Matemáticas como ciencia de patrones. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-825014-2.
Shapiro, Stewart (1997). Filosofía de las matemáticas: estructura y ontología. Oxford University Press. doi :10.1093/0195139305.001.0001. ISBN 978-0-19-513930-3.

Enlaces externos

Estructuralismo matemático, Enciclopedia de filosofía en Internet
Abstraccionismo, Enciclopedia de Filosofía en Internet
Proyecto de investigación Fundamentos del estructuralismo, Universidad de Bristol, Reino Unido

[1] Brown, James (2008). Filosofía de las matemáticas . Routledge. pág. 62. ISBN. 978-0-415-96047-2.

[What_Numbers_Could_Not_Be-2] Benacerraf, Paul (1965). "Lo que los números no podrían ser". Philosophical Review . 74 (1): 47–73. doi :10.2307/2183530. JSTOR 2183530.

[Mathematical_Truth-3] Benacerraf, Paul (1983). "Mathematical Truth". En Putnam, HW; Benacerraf, P. (eds.). Filosofía de las matemáticas: lecturas seleccionadas (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 403–420. ISBN 978-0-521-29648-9.

[PM-4] Shapiro, Stewart (mayo de 1996). "Estructuralismo matemático". Philosophia Mathematica . 4 (2): 81–82. doi :10.1093/philmat/4.2.81.

[Shapiro1997-5] Shapiro 1997, pág. 9

[6] Tennant, Neil (2017), "Logicismo y neologicismo", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2017), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 10 de julio de 2022.

[7] No debe confundirse con el platonismo abstraccionista .

[8] Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (febrero de 2011). "Un estructuralismo ante rem lógicamente coherente" (PDF) . Taller sobre dependencia ontológica . Universidad de Bristol.

[9] Linnebo, Øystein (2018). Objetos delgados: una perspectiva abstraccionista. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255896-1.

[10] Silva, Jairo José (2017). Matemáticas y sus aplicaciones: una perspectiva trascendental-idealista. Springer. pág. 265. ISBN 978-3-319-63073-1.

[Frabook-11] Franklin 2014, págs. 48-59

[12] Franklin, James (2015). «Propiedades no instanciadas y aristotelismo semiplatónico». Review of Metaphysics . 69 (1): 25–45. JSTOR 24636591 . Consultado el 29 de junio de 2021 .

[13] Nefdt, Ryan M. (2018). "Inferencialismo y estructuralismo: una historia de dos teorías". Logique et Analyse . 244 : 489–512. doi :10.2143/LEA.244.0.3285352.