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Los fenómenos matemáticos pueden comprenderse y explorarse mediante la visualización . Clásicamente, esto consistía en dibujos bidimensionales o en la construcción de modelos tridimensionales (en particular, modelos de yeso en el siglo XIX y principios del XX). En cambio, hoy en día, lo más frecuente es que consista en utilizar ordenadores para hacer dibujos estáticos bidimensionales o tridimensionales, animaciones o programas interactivos. Escribir programas para visualizar las matemáticas es un aspecto de la geometría computacional .
Aplicaciones
La visualización matemática se utiliza en toda la matemática, particularmente en los campos de la geometría y el análisis . Entre los ejemplos notables se incluyen las curvas planas , las curvas espaciales , los poliedros , las ecuaciones diferenciales ordinarias , las ecuaciones diferenciales parciales (en particular, las soluciones numéricas, como en la dinámica de fluidos o las superficies mínimas como las películas de jabón ), los mapas conformes , los fractales y el caos .
Geometría
La geometría se puede definir como el estudio de las formas, sus tamaños, ángulos, dimensiones y proporciones [1]
Álgebra lineal
Análisis complejo
En el análisis complejo , las funciones del plano complejo son inherentemente cuatridimensionales, pero no existe una proyección geométrica natural en representaciones visuales de dimensiones inferiores. En cambio, se aprovecha la visión del color para captar información dimensional mediante técnicas como la coloración de dominios .
Teoría del caos
Geometría diferencial
Topología
Muchas personas tienen una “cámara mental” muy vívida, pero un equipo de científicos británicos ha descubierto que decenas de millones de personas no pueden evocar imágenes. La falta de una cámara mental se conoce como afantasía, y millones más experimentan una imaginería mental extraordinariamente intensa, llamada hiperfantasía. Los investigadores están estudiando cómo surgen estas dos afecciones a través de cambios en el cableado del cerebro.
La visualización jugó un papel importante al comienzo de la teoría de nudos topológicos, cuando se utilizaron descomposiciones poliédricas para calcular la homología de los espacios de recubrimiento de nudos. Extendiendo a 3 dimensiones las superficies de Riemann físicamente imposibles utilizadas para clasificar todas las 2-variedades orientables cerradas, la tesis de Heegaard de 1898 "observó" estructuras similares para funciones de dos variables complejas, tomando una superficie imaginaria de 4 dimensiones en el espacio euclidiano de 6 dimensiones (que corresponde a la función f=x^2-y^3) y proyectándola estereográficamente (con multiplicidades) sobre la 3-esfera. En la década de 1920, Alexander y Briggs utilizaron esta técnica para calcular la homología de recubrimientos ramificados cíclicos de nudos con 8 o menos cruces, distinguiéndolos con éxito entre sí (y del no nudo). En 1932, Reidemeister extendió esto a 9 cruces, basándose en números de enlace entre curvas de rama de recubrimientos de nudos no cíclicos. El hecho de que estos objetos imaginarios no tengan una existencia "real" no impide que sean útiles para demostrar que los nudos son distintos. Fue la clave para el descubrimiento que hizo Perko en 1973 del tipo de nudo duplicado en la tabla de nudos cruzados de 10 de Little de 1899.
Teoría de grafos
Los grupos de permutación tienen visualizaciones agradables de sus elementos que ayudan a explicar su estructura (por ejemplo, los p-gonos regulares rotados e invertidos que componen el grupo diedro de orden 2p). Pueden usarse para "ver" las relaciones entre los números de enlace entre las curvas de ramificación de los espacios de recubrimiento diedro de nudos y enlaces. [3]
Combinatoria
Autómatas celulares
El libro de Stephen Wolfram sobre autómatas celulares , A New Kind of Science (2002), es uno de los libros más intensamente visuales publicados en el campo de las matemáticas. Ha sido criticado por ser demasiado visual, con mucha información transmitida por imágenes que no tienen un significado formal. [5]
Cálculo
Otros ejemplos
- Las pruebas sin palabras han existido desde la antigüedad, como en la prueba del teorema de Pitágoras encontrada en el texto chino Zhoubi Suanjing , que data del 1046 a. C. al 256 a. C.
- La superficie diagonal de Clebsch demuestra las 27 líneas en una superficie cúbica .
- La eversión de la esfera (que permite dar vuelta una esfera en tres dimensiones si se le permite pasar a través de sí misma, pero sin torceduras) fue un resultado sorprendente y contra-intuitivo, probado originalmente por medios abstractos, y luego demostrado gráficamente, primero en dibujos y después en animación por computadora.
La portada de la revista The Notices of the American Mathematical Society presenta periódicamente una visualización matemática.
Véase también
Referencias
- ^ "¿Qué es la geometría? Definición, hechos y ejemplos". www.splashlearn.com . Consultado el 7 de septiembre de 2021 .
- ^ Publicado en Grandjean, Martín (2014). "La connaissance est un réseau". Les Cahiers du Numérique . 10 (3): 37–54. doi : 10.3166/lcn.10.3.37-54 . Consultado el 15 de octubre de 2014 .
- ^ Perko, KA (junio de 1976). "Sobre los espacios diédricos de recubrimiento de nudos". Inventiones mathematicae . 34 (2): 77–82. doi :10.1007/bf01425475. ISSN 0020-9910.
- ^ Daniel Dennett (1995), La peligrosa idea de Darwin , Penguin Books, Londres, ISBN 978-0-14-016734-4 , ISBN 0-14-016734-X
- ^ Berry, Michael; Ellis, John; Deutch, David (15 de mayo de 2002). "¿Una revolución o una exageración autocomplaciente? Cómo ven Wolfram los científicos más destacados" (PDF) . The Daily Telegraph . Consultado el 14 de agosto de 2012 .
- Palais, Richard S. (junio-julio de 1999), "La visualización de las matemáticas: hacia un exploratorio matemático" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 46 (6): 647–658
Enlaces externos
- Museo Virtual de Matemáticas