Matemáticas

El matematismo es «el esfuerzo por emplear la estructura formal y el método riguroso de las matemáticas como modelo para la práctica de la filosofía» ^{[ 1 ]} , o la visión epistemológica de que la realidad es fundamentalmente matemática ^{[ 2 ]} . El término se ha aplicado a varios filósofos, incluidos Pitágoras ^{[ 3 ]} y René Descartes ^{[ 4 ],} aunque ellos mismos no lo utilizaron.

El papel de las matemáticas en la filosofía occidental ha crecido y se ha expandido desde Pitágoras en adelante. Es evidente que los números tuvieron una importancia particular para la escuela pitagórica , aunque fue la obra posterior de Platón la que recibió la denominación de matematismo por parte de los filósofos modernos. Además, es René Descartes quien proporciona la primera epistemología matemática, que él describe como una mathesis universalis , y que también se conoce como matematismo.

Aunque no conservamos escritos del propio Pitágoras, Platón ofrece buenas pruebas de que fue pionero en el concepto de matemática, resumidas en la cita que a menudo se le atribuye: «Todo es matemática». Aristóteles dice de la escuela pitagórica:

Los primeros en dedicarse a las matemáticas y en hacerlas progresar fueron los llamados pitagóricos. Entregados a este estudio, creían que los principios matemáticos eran también los principios de todas las cosas. Dado que los principios matemáticos son números, y pensaban encontrar en ellos, más que en el fuego, la tierra y el agua, semejanzas con las cosas que son y que llegan a ser (consideraban, por ejemplo, que la justicia era una propiedad particular de los números, el alma y la mente otra, la oportunidad otra, y así sucesivamente, por así decirlo, todo lo demás), y puesto que además veían expresadas en los números las propiedades y proporciones de la armonía, puesto que finalmente todo en la naturaleza les parecía similar a los números, y los números parecían ser lo primero entre todo lo que existe en la naturaleza, pensaban que los elementos de los números eran los elementos de todo lo que existe, y que el mundo entero era armonía y número. Y todas las propiedades que pudieron encontrar en los números y en los acordes musicales, correspondientes a propiedades y partes del cielo, y en general a todo el orden cósmico, las reunieron y adaptaron a él. Y si faltaba algo, se esforzaban por incluirlo, para que su tratado fuera completo. Para ilustrarlo con un ejemplo: puesto que el diez parece ser un número perfecto y contener en sí mismo toda la naturaleza de los números, dijeron que los cuerpos que se mueven en el cielo también son diez; y puesto que solo se pueden ver nueve, añadieron como décimo la anti-Tierra.

Otras pruebas que respaldan las ideas de Pitágoras y su escuela, aunque fragmentarias y a veces contradictorias, provienen de Alejandro Polihistor. Alejandro nos dice que las doctrinas centrales de los pitagóricos eran la armonía de los números y el ideal de que el mundo matemático tiene primacía sobre el mundo físico, o puede explicar su existencia. ^{[ 5 ]}

Según Aristóteles, los pitagóricos utilizaban las matemáticas únicamente por razones místicas, carentes de aplicación práctica. ^{[ 6 ]} Creían que todas las cosas estaban hechas de números. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El número uno (la mónada ) representaba el origen de todas las cosas ^{[ 9 ]} y otros números tenían representaciones simbólicas similares. Sin embargo, los estudiosos modernos debaten si esta numerología fue enseñada por el propio Pitágoras o si fue original del filósofo posterior de la escuela pitagórica, Filolao de Crotona . ^{[ 10 ]}

Walter Burkert argumenta en su estudio Lore and Science in Ancient Pythagoreanism que las únicas matemáticas que los pitagóricos practicaron fueron una aritmética simple y sin demostraciones , ^{[ 11 ]} pero que estos descubrimientos aritméticos contribuyeron significativamente a los inicios de las matemáticas. ^{[ 12 ]}

La escuela pitagórica influyó en la obra de Platón. El platonismo matemático es la visión metafísica que sostiene que (a) existen objetos matemáticos abstractos cuya existencia es independiente de nosotros, y (b) existen enunciados matemáticos verdaderos que proporcionan descripciones veraces de dichos objetos. La independencia de los objetos matemáticos es tal que no son físicos y no existen en el espacio ni en el tiempo. Su existencia tampoco depende del pensamiento ni del lenguaje. Por esta razón, las demostraciones matemáticas se descubren, no se inventan. La demostración existía antes de su descubrimiento y simplemente llegó a conocimiento de quien la descubrió. ^{[ 13 ]}

En resumen, por lo tanto, el platonismo matemático se puede reducir a tres proposiciones:

• Existencia: Existen objetos matemáticos.
• Abstracción: Los objetos matemáticos son abstractos.
• Independencia: Los objetos matemáticos son independientes de los agentes inteligentes y de su lenguaje, pensamiento y prácticas.

No está claro hasta qué punto Platón compartía estas ideas, pero estaban asociadas a la escuela platónica. No obstante, esto representó un avance significativo en las ideas del matemáticano. ^{[ 13 ]}

Markus Gabriel hace referencia a Platón en su obra Campos de los sentidos: Una nueva ontología realista , y al hacerlo proporciona una definición de matematismo. Dice:

En última instancia, la ontología conjuntista es un vestigio del matematismo platónico. En adelante, el matematismo se define como la perspectiva según la cual todo lo que existe puede estudiarse matemáticamente, ya sea directa o indirectamente. Se trata de un ejemplo de reducción teórica, es decir, una afirmación que sostiene que todo vocabulario puede traducirse al lenguaje matemático, de modo que esta reducción fundamenta todo vocabulario derivado y nos ayuda a comprenderlo mucho mejor. ^{[ 14 ]}

Sin embargo, continúa demostrando que el término no tiene por qué aplicarse únicamente a la ontología de la teoría de conjuntos con la que discrepa, sino también a otras ontologías matemáticas.

La ontología de la teoría de conjuntos es solo un ejemplo de matematismo. Dependiendo de la teoría que se prefiera para la estructura cuantificable más fundamental, se puede llegar a un matematismo basado en la teoría de grafos, en la teoría de conjuntos, en la teoría de categorías o en alguna otra forma (quizás híbrida) de matematismo. Sin embargo, el matematismo es metafísica, y la metafísica no tiene por qué estar asociada con la ontología. ^{[ 14 ]}

Aunque los métodos matemáticos de investigación se han utilizado para establecer significado y analizar el mundo desde Pitágoras, fue Descartes quien fue pionero en la materia como epistemología , estableciendo Reglas para la dirección del pensamiento . Propuso que el método, en lugar de la intuición, debería dirigir la mente, diciendo:

Tan ciega es la curiosidad que posee a los mortales que a menudo dirigen sus mentes por caminos inexplorados, con la vana esperanza de encontrar por casualidad lo que buscan, como alguien consumido por un deseo tan insensato de descubrir tesoros que vaga continuamente por las calles para ver si encuentra alguno que un transeúnte haya dejado caer [...] Por "método" me refiero a reglas fiables que son fáciles de aplicar, y tales que si uno las sigue al pie de la letra, nunca tomará lo falso como verdadero ni gastará inútilmente sus esfuerzos mentales, sino que aumentará gradual y constantemente su conocimiento hasta llegar a una verdadera comprensión de todo lo que está dentro de su capacidad.

En la discusión de la Regla Cuatro , ^{[ 16 ]} Descartes describe lo que él llama mathesis universalis :

Regla cuatro

Necesitamos un método si queremos investigar la verdad de las cosas.

[...] Comencé mi investigación indagando qué se entiende exactamente por el término «matemáticas» y por qué, además de la aritmética y la geometría, ciencias como la astronomía, la música, la óptica y la mecánica, entre otras, se denominan ramas de las matemáticas. [...] Esto me hizo comprender que debe existir una ciencia general que explique todos los aspectos relacionados con el orden y la medida, independientemente del tema, y ​​que esta ciencia debería llamarse mathesis universalis —un término venerable con un significado bien establecido—, pues abarca todo aquello que permite que estas otras ciencias se consideren ramas de las matemáticas. [...]

Para Descartes, el concepto de mathesis universalis era una ciencia universal modelada a partir de las matemáticas. Es a esta mathesis universalis a la que se hace referencia cuando los autores hablan del matematismo de Descartes. ^{[ 4 ]} Siguiendo a Descartes, Leibniz intentó derivar conexiones entre la lógica matemática , el álgebra , el cálculo infinitesimal , la combinatoria y las características universales en un tratado incompleto titulado " Mathesis Universalis ", publicado en 1695. A partir de Leibniz, Benedict de Spinoza y luego varios filósofos del siglo XX, incluidos Bertrand Russell , Ludwig Wittgenstein y Rudolf Carnap, intentaron elaborar y desarrollar el trabajo de Leibniz sobre lógica matemática, sistemas sintácticos y sus cálculos, y resolver problemas en el campo de la metafísica.

Leibniz intentó dilucidar las posibles conexiones entre la lógica matemática , el álgebra , el cálculo infinitesimal , la combinatoria y las características universales en un tratado incompleto titulado " Mathesis Universalis " en 1695.

En su relato de mathesis universalis , Leibniz propuso un método dual de síntesis y análisis universal para determinar la verdad , descrito en De Synthesi et Analysi universale seu Arte inveniendi et judicandi (1890). ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Uno de los críticos quizás más prominentes de la idea de mathesis universalis fue Ludwig Wittgenstein y su filosofía de las matemáticas . ^{[ 20 ]} Como señala la antropóloga Emily Martin: ^{[ 21 ]}

Al abordar las matemáticas, el ámbito de la vida simbólica quizás más difícil de considerar como dependiente de las normas sociales, Wittgenstein comentó que a la gente le resultaba "insoportable" la idea de que los números se basaran en entendimientos sociales convencionales.

Los Principia Mathematica son una obra en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas, escrita por los matemáticos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell y publicada en 1910, 1912 y 1913. Según su introducción, esta obra tenía tres objetivos:

1. Analizar en la mayor medida posible las ideas y los métodos de la lógica matemática y minimizar el número de nociones primitivas , axiomas y reglas de inferencia ;
2. Para expresar con precisión proposiciones matemáticas en lógica simbólica utilizando la notación más conveniente que permite la expresión precisa;
3. Para resolver las paradojas que aquejaban a la lógica y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX, como la paradoja de Russell . ^{[ 22 ]}

No cabe duda de que Principia Mathematica es de gran importancia en la historia de las matemáticas y la filosofía: como ha señalado Irvine , despertó el interés por la lógica simbólica e impulsó el campo al popularizarla; puso de manifiesto las capacidades y el potencial de la lógica simbólica; y demostró cómo los avances en la filosofía de las matemáticas y la lógica simbólica podían ir de la mano con una enorme fecundidad. ^{[ 23 ]} De hecho, la obra surgió en parte del interés por el logicismo , la postura según la cual todas las verdades matemáticas son verdades lógicas. Fue en parte gracias a los avances realizados en Principia Mathematica que, a pesar de sus defectos, se produjeron numerosos avances en la metalógica, incluidos los teoremas de incompletitud de Gödel .

En Las palabras y las cosas , Michel Foucault analiza la mathesis como el punto de conjunción en la ordenación de las naturalezas simples y el álgebra, estableciendo un paralelismo con su concepto de taxinomia . Si bien omite referencias explícitas a la universalidad, Foucault utiliza el término para organizar e interpretar toda la ciencia humana, como se evidencia en el título completo de su libro: « Las palabras y las cosas: una arqueología de las ciencias humanas ». ^{[ 24 ]}

La hipótesis del universo matemático de Tim Maudlin intenta construir "una estructura matemática rigurosa utilizando términos primitivos que encajen naturalmente con la física" e investiga por qué las matemáticas deberían proporcionar un lenguaje tan poderoso para describir el mundo físico. ^{[ 25 ]} Según Maudlin, "la respuesta más satisfactoria posible a tal pregunta es: porque el mundo físico tiene, literalmente, una estructura matemática".

• Física digital
• Psicología matemática
• Platonismo moderno
• Atomismo de punto unitario
• Proyecto de Física de Wolfram
• Hipótesis del universo matemático
• Characteristica universalis
• De Arte Combinatoria
• Un ensayo para la construcción de un carácter real y un lenguaje filosófico.
• Lengua generalis

• Contenido multimedia relacionado con las matemáticas en Wikimedia Commons
• Página web de ontología de Raúl Corazón: Mathesis Universalis con bibliografía.

• "matematicismo" . Britannica .
• "matematicismo" . Diccionario Collins .
• «matematicismo» . Oxford Living Dictionary . Archivado del original el 15 de enero de 2018.