Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon

En física , específicamente en relatividad general , las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de un cuerpo masivo que gira en un campo gravitatorio . Otras ecuaciones con nombres y formas matemáticas similares son las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou y las ecuaciones de Papapetrou-Dixon . Los tres conjuntos de ecuaciones describen la misma física.

Estas ecuaciones reciben su nombre de Myron Mathisson , ^{[ 1 ]} William Graham Dixon , ^{[ 2 ]} y Achilles Papapetrou , ^{[ 3 ]} quienes trabajaron en ellas.

A lo largo de este artículo, se utilizan las unidades naturales c = G = 1 y la notación de índice tensorial .

Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon (MPD) para una masa${\displaystyle m}$cuerpo giratorio son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {Dk_{\nu }}{D\tau }}+{\frac {1}{2}}S^{\lambda \mu }R_{\lambda \mu \nu \rho }V^{\rho }&=0,\\{\frac {DS^{\lambda \mu }}{D\tau }}+V^{\lambda }k^{\mu }-V^{\mu }k^{\lambda }&=0.\end{aligned}}}$

Aquí${\displaystyle \tau }$es el momento adecuado a lo largo de la trayectoria,${\displaystyle k_{\nu }}$es el cuadrimomento del cuerpo

${\displaystyle k_{\nu }=\int _{t={\text{const}}}{T^{0}}_{\nu }{\sqrt {g}}d^{3}x,}$

el vector${\displaystyle V^{\mu }}$es la cuadrivelocidad de algún punto de referencia${\displaystyle X^{\mu }}$en el cuerpo y el tensor antisimétrico${\displaystyle S^{\mu \nu }}$es el momento angular

${\displaystyle S^{\mu \nu }=\int _{t={\text{const}}}\left\{\left(x^{\mu }-X^{\mu }\right)T^{0\nu }-\left(x^{\nu }-X^{\nu }\right)T^{0\mu }\right\}{\sqrt {g}}d^{3}x}$

del cuerpo alrededor de este punto. En las integrales de corte temporal estamos asumiendo que el cuerpo es lo suficientemente compacto como para que podamos usar coordenadas planas dentro del cuerpo donde el tensor energía-momento${\displaystyle T^{\mu \nu }}$es distinto de cero.

Tal como están, solo hay diez ecuaciones para determinar trece cantidades. Estas cantidades son los seis componentes de${\displaystyle S^{\lambda \mu }}$, los cuatro componentes de${\displaystyle k_{\nu }}$y los tres componentes independientes de${\displaystyle V^{\mu }}$Por lo tanto, las ecuaciones deben complementarse con tres restricciones adicionales que sirven para determinar qué punto del cuerpo tiene velocidad.${\displaystyle V^{\mu }}$Mathison y Pirani originalmente optaron por imponer la condición${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }=0}$que, aunque involucra cuatro componentes, contiene solo tres restricciones porque${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }}$es idénticamente cero. Sin embargo, esta condición no conduce a una solución única y puede dar lugar a los misteriosos "movimientos helicoidales". ^{[ 4 ]} La condición de Tulczyjew-Dixon${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$conduce a una solución única ya que selecciona el punto de referencia.${\displaystyle X^{\mu }}$ser el centro de masa del cuerpo en el marco en el que se encuentra su momento${\displaystyle (k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)}$.

Aceptar la condición de Tulczyjew-Dixon${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$, podemos manipular la segunda de las ecuaciones MPD para obtener la forma

${\displaystyle {\frac {DS_{\lambda \mu }}{D\tau }}+{\frac {1}{m^{2}}}\left(S_{\lambda \rho }k_{\mu }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}+S_{\rho \mu }k_{\lambda }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}\right)=0,}$

Esta es una forma de transporte de Fermi-Walker del tensor de espín a lo largo de la trayectoria, pero que preserva la ortogonalidad al vector de momento.${\displaystyle k^{\mu }}$en lugar de al vector tangente${\displaystyle V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$Dixon lo llama transporte M.

• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• ecuación geodésica
• pseudovector de Pauli-Lubanski
• Partícula de prueba
• momento angular relativista
• Centro de masas (relativista)