exponencial matricial

En matemáticas , la exponencial matricial es una función matricial sobre matrices cuadradas análoga a la exponencial ordinaria . Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En la teoría de grupos de Lie, la exponencial matricial proporciona la función exponencial entre un álgebra de Lie matricial y el grupo de Lie correspondiente .

Sea $X$ una matriz real o compleja $de n \times n$ . La exponencial de $X$ , denotada por $e$ $X$ o $exp($ $X$ $)$ , es la matriz $de n$ $\times$ $n$ dada por la serie de potencias.

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$

dónde $X^{0}$ se define como la matriz identidad $I$ con las mismas dimensiones que $X$ y $X^{k}=XX^{k-1}$ para entero $k>0$ ⁠ .^{[ 1 ]} La serie siempre converge, por lo que la exponencial de $X$ está bien definida.

De forma equivalente, $e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}$

$para k$ de valor entero , donde $I$ es la matriz identidad $n \times n$ .

De forma equivalente, la exponencial de la matriz viene dada por la solución. $Y(t)=e^{Xt}$ de la ecuación diferencial (matricial)

${\frac {d}{dt}}Y(t)=X\,Y(t),\quad Y(0)=I,$ evaluado en $t = 1$ .

Cuando $X$ es una matriz diagonal $n \times n,$ entonces $exp($ $X$ $)$ será una matriz diagonal $n$ $\times$ $n$ donde cada elemento diagonal es igual a la exponencial ordinaria aplicada al elemento diagonal correspondiente de $X.$

Propiedades

Propiedades elementales

Sean $X$ e $Y$ matrices complejas de dimensión $n \times n$ y sean $a$ y $b$ números complejos arbitrarios. Denotamos la matriz identidad de dimensión $n \times n$ por $I$ y la matriz nula por 0. La exponencial matricial satisface las siguientes propiedades. ^[²^]

Comenzamos con las propiedades que son consecuencias inmediatas de la definición como serie de potencias:

$e 0 = yo$
$exp(X T) = (exp X) T$ , donde $X T$ denota la transpuesta de $X$ .
$exp(X *) = (exp X) *$ , donde $X *$ denota la transpuesta conjugada de $X$ .
Si $Y$ es invertible , entonces $e YXY -1 = Ye X Y -1 .$
Si $XY=YX$ entonces $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$ .

La demostración de esta última identidad es la misma que el argumento estándar de series de potencias para la identidad correspondiente para la exponencial de los números reales. Es decir, siempre que $X$ y $Y$ el desplazamiento diario no cambia el argumento de si $X$ y $Y$ son números o matrices. Esta identidad normalmente no se cumple si $X$ y $Y$ no conmutan (véase la desigualdad de Golden-Thompson más adelante). Los casos especiales de esta identidad incluyen:

$e aX e bX = e (a + b) X$
$e X e - X = I$

Utilizando los resultados anteriores, podemos verificar fácilmente las siguientes afirmaciones:

Si $X$ es simétrico , entonces $e X$ también es simétrico.

Si $X$ es antisimétrico $,$ entonces $X$ es ortogonal .

Si $X$ es hermitiana , entonces $e X$ también es hermitiana.

Si $X$ es antihermítica, entonces $e X$ es unitaria .

Finalmente, una transformada de Laplace de exponenciales de matrices equivale a la resolvente , $\int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}$ para todos los valores positivos suficientemente grandes de $s$ .

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Una de las razones de la importancia de la exponencial matricial es que puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales . La solución de ${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$ donde $A$ es una matriz constante e y es un vector columna, viene dado por $y(t)=e^{At}y_{0}.$

La exponencial matricial también se puede utilizar para resolver la ecuación no homogénea. ${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$ Consulte la sección sobre aplicaciones a continuación para ver ejemplos.

No existe una solución analítica para ecuaciones diferenciales de la forma ${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$ donde $A$ no es constante, pero la serie de Magnus da la solución como una suma infinita.

El determinante de la exponencial de la matriz

Según la fórmula de Jacobi , para cualquier matriz cuadrada compleja se cumple la siguiente identidad de traza : ^{[ 3 ]}

$\det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.$

Además de proporcionar una herramienta de cálculo, esta fórmula demuestra que una exponencial matricial es siempre una matriz invertible . Esto se deduce del hecho de que el lado derecho de la ecuación anterior siempre es distinto de cero, por lo que $det(e A) \neq 0$ , lo que implica que $e A$ debe ser invertible.

En el caso de valores reales, la fórmula también presenta el mapa $\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ no ser sobreyectiva , a diferencia del caso complejo mencionado anteriormente. Esto se debe a que, para matrices de valores reales, el lado derecho de la fórmula siempre es positivo, mientras que existen matrices invertibles con determinante negativo.

Matrices simétricas reales

La exponencial matricial de una matriz simétrica real es definida positiva. Sea $S$ sea una matriz simétrica real $n \times n y$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ un vector columna. Utilizando las propiedades elementales de la exponencial matricial y de las matrices simétricas, tenemos:

$x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.$

Desde $e^{S/2}$ es invertible, la igualdad solo se cumple para $x=0$ y tenemos $x^{T}e^{S}x>0$ para todos los valores distintos de cero $x$ . Por eso $e^{S}$ es definido positivo.

Producto tensorial de exponencial

La exponencial de la suma de Kronecker ^{[ 4 ]} ${\overline {\oplus }}$ de dos matrices cuadradas $A,B$ que no debe confundirse con la suma directa toma una forma simple. $A\,{\overline {\oplus }}\,B=A\otimes \mathrm {I} _{m}+\mathrm {I} _{n}\otimes B$ En este caso, la exponencial es simplemente el producto tensorial. $\otimes$ de las exponenciales de las matrices ^{[ 5 ]} :

$\exp {\left(A\,{\overline {\oplus }}\,B\right)}=\exp {A}\,\otimes \,\exp {B}$

Aquí asumimos

A,B

estar en orden

n,m

respectivamente y

\mathrm {I} _ {k}

es la matriz identidad de orden

k

.

Esto se deduce de la conmutación de los sumandos de la suma de Kronecker y de las propiedades analizadas anteriormente.

Este resultado está vinculado al producto directo de grupos de Lie y su álgebra de Lie asociada para la cual $[A\,{\overline {\oplus }}\,B,C\,{\overline {\oplus }}\,D]=[A,C]\,{\overline {\oplus }}\,[B,D]$ como una representación de la suma directa de álgebras de Lie .

Otra aplicación de esta fórmula es la física de sistemas no interactuantes. Su fórmula inversa $\log {A}\,{\overline {\oplus }}\,\log {B}=\log {\left(A\otimes B\right)}$ Esto conduce a la aditividad de la entropía de von Neumann para sistemas independientes si existen estas expresiones logarítmicas.

La exponencial de sumas

Para cualesquiera números (escalares) $a$ y $b,$ sabemos que la función exponencial satisface $e a + b = e a e b$ . Lo mismo ocurre con las matrices conmutativas. Si las matrices $X$ e $Y$ conmutan (es decir, $XY = YX$ ), entonces $e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.$

Sin embargo, para matrices que no conmutan, la igualdad anterior no necesariamente se cumple.

La fórmula del producto Mentira

Aunque $X$ e $Y$ no conmuten, la exponencial $e X + Y$ se puede calcular mediante la fórmula del producto de Lie ^{[ 6 ].} $e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.$

$El uso de un k$ grande y finito para aproximar lo anterior es la base de la expansión de Suzuki-Trotter, que se utiliza a menudo en la evolución temporal numérica .

La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

En la otra dirección, si $X$ e $Y$ son matrices suficientemente pequeñas (pero no necesariamente conmutativas), tenemos $e^{X}e^{Y}=e^{Z},$ donde $Z$ puede calcularse como una serie de conmutadores de $X$ e $Y$ mediante la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff : ^{[ 7 ]} $Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$ donde los términos restantes son todos conmutadores iterados que involucran a $X$ e $Y.$ Si $X$ e $Y$ conmutan, entonces todos los conmutadores son cero y simplemente tenemos $Z = X + Y.$

Desigualdades para exponenciales de matrices hermíticas

Para las matrices hermíticas existe un teorema notable relacionado con la traza de las exponenciales de matrices.

Si $A$ y $B$ son matrices hermíticas, entonces ^{[ 8 ]} $\operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].$

No se requiere conmutatividad. Existen contraejemplos que demuestran que la desigualdad de Golden-Thompson no puede extenderse a tres matrices y, en cualquier caso, no se garantiza que $tr(exp(A)exp(B)exp(C))$ sea real para matrices hermitianas $A$ , $B$ y $C.$ Sin embargo, Lieb demostró ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} que puede generalizarse a tres matrices si modificamos la expresión de la siguiente manera: $\operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].$

El mapa exponencial

La exponencial de una matriz es siempre una matriz invertible . La matriz inversa de $e X$ viene dada por $e - X.$ Esto es análogo al hecho de que la exponencial de un número complejo siempre es distinta de cero. La exponencial de la matriz nos da entonces una función $\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ del espacio de todas las matrices n × n al grupo lineal general de grado $n$ , es decir, el grupo de todas las matrices invertibles n × n . De hecho, esta aplicación es sobreyectiva , lo que significa que toda matriz invertible puede escribirse como la exponencial de alguna otra matriz ^{[ 11 ]} (para esto, es esencial considerar el cuerpo C de los números complejos y no R ).

Para cualesquiera dos matrices $X$ e $Y$ , $\left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$

donde $‖ \cdot ‖ denota una$ norma matricial arbitraria . De ello se deduce que la aplicación exponencial es continua y Lipschitz continua en subconjuntos compactos de $M n (C)$ .

El mapa $t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$ define una curva suave en el grupo lineal general que pasa por el elemento identidad en $t = 0$ .

De hecho, esto da un subgrupo uniparamétrico del grupo lineal general ya que $e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.$

La derivada de esta curva (o vector tangente ) en un punto t viene dada por

La derivada en $t = 0$ es simplemente la matriz X , lo que significa que X genera este subgrupo de un parámetro.

De manera más general, ^{[ 12 ]} para un exponente genérico dependiente $de t$ , $X (t)$ ,

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.$

Tomando la expresión anterior $e X (t)$ fuera del signo integral y expandiendo el integrando con la ayuda del lema de Hadamard se puede obtener la siguiente expresión útil para la derivada del exponente de la matriz, ^{[ 13 ]} $e^{-X(t)}\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)={\frac {d}{dt}}X(t)-{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]-\cdots$

Los coeficientes de la expresión anterior son diferentes de los que aparecen en la exponencial. Para una forma cerrada, véase la derivada del mapa exponencial .

Derivadas direccionales cuando se restringen a matrices hermíticas

Dejar $X$ ser un $n\times n$ Matriz hermitiana con valores propios distintos. Sea $X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}$ sea su descomposición en valores propios donde $E$ es una matriz unitaria cuyas columnas son los vectores propios de $X$ , $E^{*}$ es su transpuesta conjugada, y $\Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)$ el vector de autovalores correspondientes. Entonces, para cualquier $n\times n$ matriz hermitiana $V$ , la derivada direccional de $\exp :X\to e^{X}$ en $X$ en la dirección $V$ es ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} $D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}$ dónde ${\bar {V}}=E^{*}VE$ , el operador $\odot$ denota el producto de Hadamard y, para todo $1\leq i,j\leq n$ , la matriz $G$ se define como $G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.$ Además, para cualquier $n\times n$ matriz hermitiana $U$ , la segunda derivada direccional en direcciones $U$ y $V$ es ^{[ 15 ]} $D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}$ donde la función con valores matriciales $F$ se define, para todos $1\leq i,j\leq n$ , como $F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})$ con $\phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.$

Cálculo de la exponencial de la matriz

Encontrar métodos fiables y precisos para calcular la exponencial de una matriz es difícil, y este sigue siendo un tema de considerable investigación actual en matemáticas y análisis numérico. Matlab , GNU Octave , R y SciPy utilizan la aproximación de Padé . ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} En esta sección, analizamos métodos que son aplicables en principio a cualquier matriz y que pueden llevarse a cabo explícitamente para matrices pequeñas. ^{[ 20 ]} Las secciones posteriores describen métodos adecuados para la evaluación numérica en matrices grandes.

caso diagonalizable

Si una matriz es diagonal : $A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},$ Entonces, su exponencial se puede obtener elevando a la potencia cada elemento de la diagonal principal: $e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$

Este resultado también permite exponenciar matrices diagonalizables . Si

A = UDU -1

entonces

e A = Ue D U -1

,

lo cual es especialmente fácil de calcular cuando $D$ es diagonal.

La aplicación de la fórmula de Sylvester produce el mismo resultado. (Para comprobarlo, observe que la suma y la multiplicación, y por lo tanto también la exponenciación, de matrices diagonales son equivalentes a la suma y la multiplicación elemento a elemento, y por consiguiente a la exponenciación; en particular, la exponenciación "unidimensional" se aplica elemento a elemento en el caso de la matriz diagonal).

Ejemplo : Diagonalizable

Por ejemplo, la matriz $A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}$ puede diagonalizarse como ${\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.$

De este modo, $e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.$

Caso nilpotente

Una matriz $N$ es nilpotente si $N q = 0$ para algún entero q . En este caso, la exponencial matricial $e N$ se puede calcular directamente a partir del desarrollo en serie, ya que la serie termina después de un número finito de términos:

$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.$

Dado que la serie tiene un número finito de pasos, es un polinomio matricial, que puede calcularse de manera eficiente .

Caso general

Utilizando la descomposición de Jordan-Chevalley

Por la descomposición de Jordan-Chevalley , cualquier $n\times n$ La matriz X con entradas complejas se puede expresar como $X=A+N$ dónde

A es diagonalizable
N es nilpotente
A se desplaza diariamente con N.

Esto significa que podemos calcular la exponencial de X reduciéndola a los dos casos anteriores: $e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.$

Tenga en cuenta que necesitamos que A y N sean conmutativos para que el último paso funcione.

Utilizando la forma canónica de Jordan

Un método estrechamente relacionado es, si el cuerpo es algebraicamente cerrado , trabajar con la forma de Jordan de $X.$ Supongamos que $X = PJP -1$ donde $J$ es la forma de Jordan de $X.$ Entonces $e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.$

Además, dado que ${\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}$

Por lo tanto, solo necesitamos saber cómo calcular la exponencial matricial de un bloque de Jordan . Pero cada bloque de Jordan tiene la forma ${\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}$

donde $N$ es una matriz nilpotente especial. La exponencial matricial de $J$ viene dada por $e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}$

Caso de proyección

Si $P$ es una matriz de proyección (es decir, es idempotente : $P 2 = P$ ), su exponencial matricial es:

e P = I + (e - 1) P

.

Derivando esto mediante la expansión de la función exponencial, cada potencia de $P$ se reduce a $P$ que se convierte en un factor común de la suma: $e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.$

Caso de rotación

Para una rotación simple en la que los vectores unitarios perpendiculares $a$ y $b$ especifican un plano, ^{[ 21 ]} la matriz de rotación $R$ puede expresarse en términos de una función exponencial similar que involucra un generador $G$ y un ángulo $θ$ . ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} ${\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}$

La fórmula para el exponencial resulta de reducir las potencias de $G$ en el desarrollo en serie e identificar los coeficientes de serie respectivos de $G 2$ y $G$ con $-cos(θ)$ y $sin(θ)$ respectivamente. La segunda expresión aquí para $e Gθ$ es la misma que la expresión para $R (θ)$ en el artículo que contiene la derivación del generador , $R (θ) = e Gθ$ .

En dos dimensiones, si $a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ y $b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$ , entonces $G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$ , $G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$ , y $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )$ Se reduce a la matriz estándar para una rotación plana.

La matriz $P = - G 2$ proyecta un vector sobre el plano $ab$ y la rotación solo afecta a esta parte del vector. Un ejemplo que ilustra esto es una rotación de $30° = π/6$ en el plano generado por $a$ y $b$ ,

${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Sea $N = I - P$ , entonces $N 2 = N$ y sus productos con $P$ y $G$ son cero. Esto nos permitirá evaluar potencias de $R.$

${\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}$

Evaluación de la serie Laurent

En virtud del teorema de Cayley-Hamilton, la exponencial matricial se puede expresar como un polinomio de orden $n$ −1.

Si $P$ y $Q t$ son polinomios no nulos en una variable, tales que $P (A) = 0$ , y si la función meromorfa $f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}$ es entero , entonces $e^{tA}=Q_{t}(A).$ Para demostrar esto, multiplique la primera de las dos igualdades anteriores por $P (z)$ y reemplace $z$ por $A$ .

Dicho polinomio $Q t (z)$ se puede encontrar de la siguiente manera (véase la fórmula de Sylvester ). Sea $a$ una raíz de $P$ , $Q a,t (z)$ se obtiene a partir del producto de $P$ por la parte principal de la serie de Laurent de $f$ en $a$ : Es proporcional a la covariante de Frobenius correspondiente . Entonces, la suma S _t de Q _a,t , donde $a$ recorre todas las raíces de $P$ , puede tomarse como un $Q t$ particular . Todos los demás Q _t se obtendrán sumando un múltiplo de $P$ a $S t (z)$ . En particular, $S t (z)$ , el polinomio de Lagrange-Sylvester , es el único $Q t$ cuyo grado es menor que el de $P$ .

Ejemplo : Consideremos el caso de una matriz arbitraria $de 2 \times 2 ,$ $A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$

La matriz exponencial $e tA$ , en virtud del teorema de Cayley-Hamilton , debe ser de la forma $e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.$

(Para cualquier número complejo $z$ y cualquier álgebra C $B$ , denotamos nuevamente por $z$ el producto de $z$ por la unidad de $B.$ )

Sean $α$ y $β$ las raíces del polinomio característico de $A$ , $P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.$

Entonces tenemos $S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,$ por eso ${\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}$

si $α \neq β$ ; mientras que si $α = β$ , $S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,$

de modo que ${\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}$

Definición ${\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}$

tenemos ${\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}$

donde $sin(qt)/ q$ es 0 si $t = 0$ , y $t$ si $q = 0$ .

De este modo,

$e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.$

Así, como se indicó anteriormente, la matriz $A$ se ha descompuesto en la suma de dos piezas que conmutan entre sí, la pieza traza y la pieza sin traza, $A=sI+(A-sI)~,$

La exponencial matricial se reduce a un simple producto de las exponenciales de las dos partes respectivas. Esta es una fórmula que se usa frecuentemente en física, ya que equivale al análogo de la fórmula de Euler para las matrices de espín de Pauli , es decir, rotaciones de la representación doblete del grupo SU(2) .

El polinomio $S t$ también puede recibir la siguiente caracterización de " interpolación ". Definimos $e t (z) \equiv e tz$ , y $n \equiv deg P$ . Entonces $S t (z)$ es el único polinomio de grado $< n$ que satisface $S t (k) (a) = e t (k) (a)$ siempre que $k$ sea menor que la multiplicidad de $a$ como raíz de $P$ . Suponemos, como es obvio, que $P$ es el polinomio mínimo de $A$ . Suponemos además que $A$ es una matriz diagonalizable . En particular, las raíces de $P$ son simples, y la caracterización de " interpolación " indica que $S t$ viene dado por la fórmula de interpolación de Lagrange , por lo que es el polinomio de Lagrange-Sylvester .

En el otro extremo, si $P = (z - a) n$ , entonces $S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.$

El caso más simple no contemplado en las observaciones anteriores es cuando $P=(z-a)^{2}\,(z-b)$ con $a \neq b$ , lo que produce $S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.$

Evaluación mediante la aplicación de la fórmula de Sylvester

Un cálculo práctico y acelerado de lo anterior se reduce a los siguientes pasos rápidos. Recordemos que una matriz $n \times n$ $exp(tA)$ equivale a una combinación lineal de las primeras $n$ −1 potencias de $A$ según el teorema de Cayley-Hamilton . Para matrices diagonalizables , como se ilustra arriba, por ejemplo en el caso de $2 \times 2$ , la fórmula de Sylvester produce $exp(tA) = B α exp(tα) + B β exp(tβ)$ , donde las $B$ son las covariantes de Frobenius de $A$ .

Sin embargo, lo más fácil es simplemente resolver directamente para estos $B$ , evaluando esta expresión y su primera derivada en $t = 0$ , en términos de $A$ e $I$ , para encontrar la misma respuesta que arriba.

Pero este sencillo procedimiento también funciona para matrices defectuosas , en una generalización debida a Buchheim. ^{[ 24 ]} Esto se ilustra aquí para un ejemplo de $4 \times 4$ de una matriz que no es diagonalizable y las $B$ no son matrices de proyección.

Considerar $A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,$ con autovalores $λ 1 = 3/4$ y $λ 2 = 1$ , cada uno con una multiplicidad de dos.

Consideremos la exponencial de cada autovalor multiplicado por $t$ , $exp(λ i t)$ . Multipliquemos cada autovalor exponenciado por la matriz de coeficientes indeterminada correspondiente $B i$ . Si los autovalores tienen una multiplicidad algebraica mayor que 1, repitamos el proceso, pero ahora multiplicando por un factor adicional de $t$ en cada repetición, para asegurar la independencia lineal.

(Si un valor propio tuviera una multiplicidad de tres, entonces habría tres términos: $B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}$ Por el contrario, cuando todos los autovalores son distintos, los $B$ son simplemente las covariantes de Frobenius , y resolverlos como se muestra a continuación equivale simplemente a la inversión de la matriz de Vandermonde de estos 4 autovalores. En el caso general, donde se permite cualquier multiplicidad para cada autovalor, llegamos al método de interpolación de Hermite con el uso de la matriz de Vandermonde confluente ; s. 1.2.2, pp. 4-7 de Higham ^{[ 25 ]} .

Suma todos esos términos, aquí cuatro de ellos, ${\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}$

Para resolver todas las matrices desconocidas $B$ en términos de las tres primeras potencias de $A$ y la identidad, se necesitan cuatro ecuaciones, la anterior proporciona una de ellas en $t$ = 0. Además, derrástrela con respecto a $t$ , $Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,$

y de nuevo, ${\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}$

y una vez más, ${\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}$

(En el caso general, es necesario calcular $n -1 derivadas).$

Haciendo $t$ = 0 en estas cuatro ecuaciones, ahora se pueden resolver las cuatro matrices de coeficientes $B s,$ ${\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}$

para ceder ${\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}$

Sustituyendo con el valor de $A$ se obtienen las matrices de coeficientes. ${\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

por lo tanto la respuesta final es $e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}$

El procedimiento es mucho más corto que el algoritmo de Putzer, que a veces se utiliza en estos casos.

Ilustraciones

Supongamos que queremos calcular la exponencial de $B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.$

Su forma jordana es $J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},$ donde la matriz P viene dada por $P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.$

Calculemos primero exp( J ). Tenemos $J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)$

La exponencial de una matriz $de 1 \times 1$ es simplemente la exponencial de una entrada de la matriz, por lo que $exp(J 1 (4)) = [e 4]$ . La exponencial de J ₂ (16) se puede calcular mediante la fórmula $e (λ I + N) = e λ e N$ mencionada anteriormente; esto produce ^{[ 26 ]}

${\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Por lo tanto, la exponencial de la matriz original $B$ es ${\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Aplicaciones

Ecuaciones diferenciales lineales

La exponencial matricial tiene aplicaciones en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . (Véase también ecuación diferencial matricial ). Recordemos que, como vimos anteriormente en este artículo, una ecuación diferencial homogénea de la forma $\mathbf {y} '=A\mathbf {y}$ tiene solución $e En y (0)$ .

Si consideramos el vector $\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,$ Podemos expresar un sistema de ecuaciones diferenciales lineales acopladas no homogéneas como $\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$ Haciendo una suposición para usar un factor integrante de $e - At$ y multiplicando en todo momento, se obtiene ${\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}$

El segundo paso es posible debido a que, si $AB = BA$ , entonces $e At B = Be At$ . Por lo tanto, calcular $e At$ conduce a la solución del sistema, simplemente integrando el tercer paso con respecto a $t$ .

Una solución a esto se puede obtener integrando y multiplicando por $e^{{\textbf {A}}t}$ para eliminar el exponente en el lado izquierdo. Observe que mientras $e^{{\textbf {A}}t}$ es una matriz, dado que es una exponencial matricial, podemos decir que $e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I$ . En otras palabras, $\exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}$ .

Ejemplo (homogéneo)

Considere el sistema ${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.$

La matriz defectuosa asociada es $A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$

La exponencial de la matriz es $e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$

de modo que la solución general del sistema homogéneo sea ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$

equivalente a ${\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}$

Ejemplo (no homogéneo)

Consideremos ahora el sistema no homogéneo ${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.$

De nuevo tenemos $A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$

y $\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$

Como ya hemos mencionado, disponemos de la solución general de la ecuación homogénea. Dado que la suma de las soluciones homogénea y particular nos da la solución general del problema no homogéneo, ahora solo necesitamos hallar la solución particular.

Tenemos, por lo anterior, ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}$ que podría simplificarse aún más para obtener la solución particular requerida mediante la variación de parámetros. Nótese que c = y _p (0). Para mayor rigor, véase la siguiente generalización.

Generalización del caso no homogéneo: variación de parámetros

Para el caso no homogéneo, podemos usar factores integrantes (un método similar a la variación de parámetros ). Buscamos una solución particular de la forma $y p (t) = exp(tA) z (t)$ , ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$

Para que $y p$ sea una solución, ${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$

De este modo, ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}$ donde $c$ está determinado por las condiciones iniciales del problema.

Más precisamente, consideremos la ecuación $Y'-A\ Y=F(t)$

con la condición inicial $Y (t 0) = Y 0$ , donde

$A$ es una matriz compleja de $n$ por $n ,$
$F$ es una función continua de algún intervalo abierto $I$ a $C n$ ,
$t_{0}$ es un punto de $I$ , y
$Y_{0}$ es un vector de $C n$ .

Multiplicando por la izquierda la igualdad mostrada anteriormente por $e -tA$ se obtiene $Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.$

Afirmamos que la solución a la ecuación $P(d/dt)\ y=f(t)$

con las condiciones iniciales $y^{(k)}(t_{0})=y_{k}$ para $0 \leq k < n$ es $y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,$

donde la notación es la siguiente:

$P\in \mathbb {C} [X]$ es un polinomio mónico de grado $n > 0$ ,
$f$ es una función continua de valores complejos definida en algún intervalo abierto $I$ ,
$t_{0}$ es un punto de $I$ ,
$y_{k}$ es un número complejo, y

$s k (t)$ es el coeficiente de $X^{k}$ en el polinomio denotado por $S_{t}\in \mathbb {C} [X]$ en la subsección Evaluación de la serie Laurent anterior.

Para justificar esta afirmación, transformamos nuestra ecuación escalar de orden $n$ en una ecuación vectorial de orden uno mediante la reducción habitual a un sistema de primer orden . Nuestra ecuación vectorial toma la forma ${\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},$ donde $A$ es la matriz compañera transpuesta de $P.$ Resolvemos esta ecuación como se explicó anteriormente, calculando las exponenciales de la matriz mediante la observación realizada en la subsección Evaluación mediante la implementación de la fórmula de Sylvester anterior.

En el caso $n$ = 2 obtenemos la siguiente afirmación. La solución a $y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}$

es $y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,$

donde las funciones $s 0$ y $s 1$ son como en la subsección Evaluación por la serie de Laurent anterior.

Véase también

Referencias

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↑ Esto se puede generalizar; en general, la exponencial de $J n (a)$ es una matriz triangular superior con $e a /0!$ en la diagonal principal, $e a /1!$ en la superior, $e a /2!$ en la siguiente, y así sucesivamente.

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Enlaces externos

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[3] Hall 2015 Teorema 2.12

[4] Brewer, JW (1969). "Una nota sobre productos matriciales de Kronecker y sistemas de ecuaciones matriciales". SIAM Journal on Applied Mathematics. 17 (3): 603–606. doi:10.1137/0117057.

[5] Weisstein, Eric W. "Suma de Kronecker". De MathWorld: un recurso de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/KroneckerSum.html

[6] Hall 2015 Teorema 2.11

[7] Hall 2015 Capítulo 5

[8] Bhatia, R. (1997). Análisis matricial . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 169. Springer. ISBN 978-0-387-94846-1.

[9] Lieb, Elliott H. (1973). "Funciones de traza convexas y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson" . Advances in Mathematics . 11 (3): 267– 288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

[10] H. Epstein (1973). "Observaciones sobre dos teoremas de E. Lieb" . Communications in Mathematical Physics . 31 (4): 317– 325. Bibcode : 1973CMaPh..31..317E . doi : 10.1007/BF01646492 . S2CID 120096681 .

[11] Hall 2015 Ejercicios 2.9 y 2.10

[12] RM Wilcox (1967). "Operadores exponenciales y diferenciación de parámetros en física cuántica". Journal of Mathematical Physics . 8 (4): 962– 982. Bibcode : 1967JMP.....8..962W . doi : 10.1063/1.1705306 .

[13] Hall 2015 Teorema 5.4

[lewis-14] Lewis, Adrian S.; Sendov, Hristo S. (2001). "Funciones espectrales dos veces diferenciables" (PDF) . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 23 (2): 368– 386. doi : 10.1137/S089547980036838X .Véase el teorema 3.3.

[deledalle-15] 1 2 Deledalle, Charles-Alban; Denis, Loïc; Tupin, Florence (2022). "Reducción de moteado en el dominio logarítmico matricial para imágenes de radar de apertura sintética" . Journal of Mathematical Imaging and Vision . 64 (3): 298– 320. Bibcode : 2022JMIV...64..298D . doi : 10.1007/s10851-022-01067-1 .Véanse las Proposiciones 1 y 2.

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[20] Véase Hall 2015, Sección 2.2

[21] un espacio euclidiano

[22] Weyl, Hermann (1952). Espacio, tiempo y materia . Dover. pág. 142. ISBN 978-0-486-60267-7.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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[26] Esto se puede generalizar; en general, la exponencial de $J n (a)$ es una matriz triangular superior con $e a /0!$ en la diagonal principal, $e a /1!$ en la superior, $e a /2!$ en la siguiente, y así sucesivamente.

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