multiplicación de matrices

Si A es una matriz m × n y B es una matriz n × p , $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$ El producto matricial C = AB (denotado sin signos de multiplicación ni puntos) se define como la matriz m × p ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}}$$ de tal manera que $${\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},}$$ para i = 1, ..., m y j = 1, ..., p .

Es decir, la entrada${\displaystyle c_{ij}}$El producto se obtiene multiplicando término por término las entradas de la i -ésima fila de A y la j -ésima columna de B , y sumando estos n productos. En otras palabras ,${\displaystyle c_{ij}}$es el producto escalar de la i -ésima fila de A y la j -ésima columna de B.

Por lo tanto, AB también se puede escribir como $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$

Por lo tanto, el producto AB se define si y solo si el número de columnas en A es igual al número de filas en B , ^{[ 1 ]} en este caso n .

En la mayoría de los casos, las entradas son números, pero pueden ser cualquier tipo de objeto matemático para el cual se definan una suma y una multiplicación, que sean asociativos , y tales que la suma sea conmutativa y la multiplicación sea distributiva con respecto a la suma. En particular, las entradas pueden ser matrices (véase matriz de bloques ).

Un vector${\displaystyle \mathbf {x} }$de longitud${\displaystyle n}$puede verse como un vector columna , que corresponde a un${\displaystyle n\times 1}$matriz${\displaystyle \mathbf {X} }$cuyas entradas son dadas por${\displaystyle \mathbf {X} _{i1}=\mathbf {x} _{i}.}$Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es un${\displaystyle m\times n}$matriz, el producto matriz-vector denotado por${\displaystyle \mathbf {Ax} }$es entonces el vector${\displaystyle \mathbf {y} }$que, visto como un vector columna, es igual a${\displaystyle m\times 1}$matriz${\displaystyle \mathbf {AX} .}$En notación de índices, esto equivale a:

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}.}$

Una forma de ver esto es que los cambios de vector "simple" a vector columna y viceversa se asumen y se dejan implícitos.

De manera similar, un vector${\displaystyle \mathbf {x} }$de longitud${\displaystyle n}$puede verse como un vector fila , correspondiente a un${\displaystyle 1\times n}$matriz. Para dejar claro que se refiere a un vector fila, es habitual en este contexto representarlo como la transpuesta de un vector columna; por lo tanto, se verán notaciones como${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} .}$La identidad${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }}$se cumple. En notación de índice, si${\displaystyle \mathbf {A} }$es un${\displaystyle n\times p}$matriz,${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }}$equivale a: ${\displaystyle y_{k}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{jk}.}$

Un vector con n componentes puede representarse como una matriz de 1 × n (un vector fila) o como una matriz de n × 1 (un vector columna). Suponiendo que${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$son ambos vectores columna el producto escalar (o producto interno)${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$es igual a la única entrada de la${\displaystyle 1\times 1}$matriz resultante de la multiplicación matricial del vector fila${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }}$con el vector columna${\displaystyle \mathbf {b} }$, es decir${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$.

La multiplicación de matrices entre el vector columna${\displaystyle \mathbf {a} }$y el vector fila${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }}$, también conocido como producto externo${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }}$, en cambio, dará una matriz n × n .

La figura de la derecha ilustra esquemáticamente el producto de dos matrices A y B , mostrando cómo cada intersección en la matriz producto corresponde a una fila de A y una columna de B.$${\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\\cdot &\cdot \\a_{31}&a_{32}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &b_{12}&b_{13}\\\cdot &b_{22}&b_{23}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}$$

Los valores en las intersecciones, marcadas con círculos en la figura de la derecha, son: $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{12}&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\c_{33}&=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}.\end{aligned}}}$$

Si un espacio vectorial tiene una base finita , cada uno de sus vectores se representa de forma única mediante una secuencia finita de escalares, denominada vector de coordenadas , cuyos elementos son las coordenadas del vector en la base. Estos vectores de coordenadas forman otro espacio vectorial, isomorfo al espacio vectorial original. Un vector de coordenadas se organiza comúnmente como una matriz columna (también llamada vector columna ), que es una matriz con una sola columna. Por lo tanto, un vector columna representa tanto un vector de coordenadas como un vector del espacio vectorial original.

Una aplicación lineal A de un espacio vectorial de dimensión n a un espacio vectorial de dimensión m transforma un vector columna en un vector columna.

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

sobre el vector columna

${\displaystyle \mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}$

La aplicación lineal A se define así por la matriz

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

y mapea el vector columna${\displaystyle \mathbf {x} }$al producto de la matriz

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ax} .}$

Si B es otra aplicación lineal del espacio vectorial precedente de dimensión m , en un espacio vectorial de dimensión p , se representa mediante una${\displaystyle p\times m}$matriz​${\displaystyle \mathbf {B} .}$Un cálculo sencillo muestra que la matriz del mapa compuesto ⁠${\displaystyle B\circ A}$es el producto matricial${\displaystyle \mathbf {BA} .}$La fórmula general${\displaystyle (B\circ A)(\mathbf {x} )=B(A(\mathbf {x} ))}$⁠ ) ​​que define la composición de funciones se instancia aquí como un caso específico de asociatividad del producto de matrices (véase §  Asociatividad más adelante):

${\displaystyle (\mathbf {BA} )\mathbf {x} =\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=\mathbf {BAx} .}$

Asignación de recursos en economía

Como ejemplo, una fábrica ficticia utiliza 4 tipos de materias primas básicas ,${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$producir 3 tipos de bienes intermedios ,${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$, que a su vez se utilizan para producir 3 tipos de productos finales ,${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$. Las matrices

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\0&1&1\\1&1&2\\\end{pmatrix}}}$ y ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\4&2&2\\\end{pmatrix}}}$

proporcionar la cantidad de materias primas básicas necesarias para una cantidad determinada de bienes intermedios, y la cantidad de bienes intermedios necesarios para una cantidad determinada de productos finales, respectivamente. Por ejemplo, para producir una unidad de bienes intermedios${\displaystyle m_{1}}$una unidad de producto básico${\displaystyle b_{1}}$, dos unidades de${\displaystyle b_{2}}$, ninguna unidad de${\displaystyle b_{3}}$y una unidad de${\displaystyle b_{4}}$son necesarios, correspondientes a la primera columna de${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Utilizando la multiplicación de matrices, calcule

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}5&4&3\\8&9&5\\\ 6&5&3\\11&9&6\\\end{pmatrix}};}$

Esta matriz proporciona directamente las cantidades de productos básicos necesarios para determinadas cantidades de bienes finales. Por ejemplo, la entrada inferior izquierda de${\displaystyle \mathbf {AB} }$se calcula como${\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 4=11}$, reflejando que${\displaystyle 11}$unidades de${\displaystyle b_{4}}$son necesarios para producir una unidad de${\displaystyle f_{1}}$De hecho, uno${\displaystyle b_{4}}$Se necesita una unidad para${\displaystyle m_{1}}$, uno por cada uno de los dos${\displaystyle m_{2}}$, y${\displaystyle 2}$para cada uno de los cuatro${\displaystyle m_{3}}$unidades que entran en el${\displaystyle f_{1}}$unidad, ver imagen.

Para producir, por ejemplo, 100 unidades del producto final.${\displaystyle f_{1}}$, 80 unidades de${\displaystyle f_{2}}$y 60 unidades de${\displaystyle f_{3}}$, las cantidades necesarias de bienes básicos se pueden calcular como

${\displaystyle (\mathbf {AB} ){\begin{pmatrix}100\\80\\60\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1000\\1820\\1180\\2180\end{pmatrix}},}$

eso es,${\displaystyle 1000}$unidades de${\displaystyle b_{1}}$,${\displaystyle 1820}$unidades de${\displaystyle b_{2}}$,${\displaystyle 1180}$unidades de${\displaystyle b_{3}}$,${\displaystyle 2180}$unidades de${\displaystyle b_{4}}$son necesarios. De manera similar, la matriz del producto${\displaystyle \mathbf {AB} }$puede utilizarse para calcular las cantidades necesarias de bienes básicos para otros datos de cantidades de bienes finales. ^{[ 9 ]}

La forma general de un sistema de ecuaciones lineales es

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}}$

Utilizando la misma notación que la anterior, dicho sistema es equivalente a la ecuación matricial simple.

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} .}$

El producto escalar de dos vectores columna es la única entrada del producto matricial.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$es el vector fila obtenido al transponer${\displaystyle \mathbf {x} }$(Como es habitual, una matriz de 1×1 se identifica con su única entrada).

De forma más general, cualquier forma bilineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita puede expresarse como un producto matricial.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,}$

y cualquier forma sesquilineal puede expresarse como

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }}$denota la transpuesta conjugada de${\displaystyle \mathbf {x} }$(conjugado de la transpuesta, o equivalentemente transpuesta del conjugado).

Una operación es conmutativa si, dados dos elementos A y B tales que el producto${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$se define, entonces${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$También se define, y${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} .}$

Si A y B son matrices de tamaños respectivos${\displaystyle m\times n}$y​​${\displaystyle p\times q}$, entonces${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$se define si${\displaystyle n=p}$y​${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$se define si${\displaystyle m=q}$Por lo tanto, si uno de los productos está definido, el otro no necesita estar definido. Si${\displaystyle m=q\neq n=p}$⁠ , los dos productos están definidos, pero tienen tamaños diferentes; por lo tanto, no pueden ser iguales. Solo si ⁠${\displaystyle m=q=n=p}$⁠ , es decir, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, ambos productos están definidos y son del mismo tamaño. Incluso en este caso, se tiene en general

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} .}$

Por ejemplo

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

pero

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Este ejemplo puede ampliarse para mostrar que, si A es un${\displaystyle n\times n}$matriz con entradas en un campo F , entonces${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} }$por cada${\displaystyle n\times n}$matriz B con entradas en F , si y solo si${\displaystyle \mathbf {A} =c\,\mathbf {I} }$donde​${\displaystyle c\in F}$⁠ , y yo soy el/la ⁠${\displaystyle n\times n}$Matriz identidad . Si, en lugar de un campo, se supone que las entradas pertenecen a un anillo , entonces se debe agregar la condición de que c pertenezca al centro del anillo.

One special case where commutativity does occur is when D and E are two (square) diagonal matrices (of the same size); then DE = ED.^[10] Again, if the matrices are over a general ring rather than a field, the corresponding entries in each must also commute with each other for this to hold.

The matrix product is distributive with respect to matrix addition. That is, if A, B, C, D are matrices of respective sizes m × n, n × p, n × p, and p × q, respectively, one has (left distributivity)

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ,}$

and (right distributivity)

${\displaystyle (\mathbf {B} +\mathbf {C} )\mathbf {D} =\mathbf {BD} +\mathbf {CD} .}$^[10]

This results from the distributivity for coefficients by

${\displaystyle \sum _{k}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}c_{kj}}$

${\displaystyle \sum _{k}(b_{ik}+c_{ik})d_{kj}=\sum _{k}b_{ik}d_{kj}+\sum _{k}c_{ik}d_{kj}.}$

If A is a matrix and c a scalar, then the matrices ${\displaystyle c\mathbf {A} }$ and ${\displaystyle \mathbf {A} c}$ are obtained by left or right multiplying all entries of A by c. If the scalars have the commutative property, then ${\displaystyle c\mathbf {A} =\mathbf {A} c.}$

If the product ${\displaystyle \mathbf {AB} }$ is defined (that is, the number of columns of A equals the number of rows of B), then

${\displaystyle c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$ and ${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c).}$

If the scalars have the commutative property, then all four matrices are equal. More generally, all four are equal if c belongs to the center of a ring containing the entries of the matrices, because in this case, cX = Xc for all matrices X.

These properties result from the bilinearity of the product of scalars:

${\displaystyle c\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)=\sum _{k}(ca_{ik})b_{kj}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)c=\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}c).}$

If the scalars have the commutative property, the transpose of a product of matrices is the product, in the reverse order, of the transposes of the factors. That is

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathsf {T}}=\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$

where ^T denotes the transpose, that is the interchange of rows and columns.

This identity does not hold for noncommutative entries, since the order between the entries of A and B is reversed, when one expands the definition of the matrix product.

If A and B have complex entries, then

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {B} ^{*}}$

where ^* denotes the entry-wise complex conjugate of a matrix.

Esto resulta de aplicar a la definición de producto matricial el hecho de que el conjugado de una suma es la suma de los conjugados de los sumandos y el conjugado de un producto es el producto de los conjugados de los factores.

La transposición actúa sobre los índices de las entradas, mientras que la conjugación actúa independientemente sobre las entradas mismas. Resulta que, si A y B tienen entradas complejas, se tiene

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger },}$

donde ^† denota la transpuesta conjugada (conjugada de la transpuesta, o equivalentemente transpuesta de la conjugada).

Dadas tres matrices A , B y C , los productos ( AB ) C y A ( BC ) están definidos si y solo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B , y el número de columnas de B es igual al número de filas de C (en particular, si uno de los productos está definido, entonces el otro también lo está). En este caso, se tiene la propiedad asociativa .

${\displaystyle (\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} ).}$

En cuanto a cualquier operación asociativa, esto permite omitir los paréntesis y escribir los productos anteriores como ⁠${\displaystyle \mathbf {ABC} .}$⁠

Esto se extiende naturalmente al producto de cualquier número de matrices siempre que las dimensiones coincidan. Es decir, si A ₁ , A ₂ , ..., A _n son matrices tales que el número de columnas de A _i es igual al número de filas de A _{i + 1} para i = 1, ..., n – 1 , entonces el producto

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{n}}$

está definido y no depende del orden de las multiplicaciones , si el orden de las matrices se mantiene fijo.

Estas propiedades pueden demostrarse mediante manipulaciones de suma sencillas pero complejas . Este resultado también se deriva del hecho de que las matrices representan funciones lineales . Por lo tanto, la propiedad asociativa de las matrices es simplemente un caso específico de la propiedad asociativa de la composición de funciones .

Se puede elevar una matriz cuadrada a cualquier potencia entera no negativa multiplicándola repetidamente por sí misma de la misma manera que para los números ordinarios. Es decir,

${\displaystyle \mathbf {A} ^{0}=\mathbf {I} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}=\mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}=\underbrace {\mathbf {A} \mathbf {A} \cdots \mathbf {A} } _{k{\text{ times}}}.}$

Calcular la k -ésima potencia de una matriz requiere k – 1 veces el tiempo de una sola multiplicación de matrices, si se realiza con el algoritmo trivial (multiplicación repetida). Dado que esto puede consumir mucho tiempo, generalmente se prefiere usar la exponenciación por elevación al cuadrado , que requiere menos de 2 log ₂ k multiplicaciones de matrices y, por lo tanto, es mucho más eficiente.

Un caso sencillo para la exponenciación es el de una matriz diagonal . Dado que el producto de matrices diagonales equivale simplemente a multiplicar los elementos diagonales correspondientes, la k -ésima potencia de una matriz diagonal se obtiene elevando sus entradas a la potencia k :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{k}\end{bmatrix}}.}$